![[Picture]](/rendered/understandingFunctions/exercises/expandingBox1-69a9653c144b95e19a82bc3187d7e0fc.svg)
\(
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\)
Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço
retangular de papelão com dimensões \(12\unit {in}\) por \(20\unit {in}\), recortando quadrados iguais
de lado \(x\) em cada canto e depois dobrando as laterais para cima:
Expresse o volume
\(V\) da caixa como função de \(x\). \[ V(x) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Simplifique sua resposta acima: \[ V(x) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}x^3 + \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}x^2 + \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}x \]
Qual é o
domínio (natural) de \(V\)? \[ \left [\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}},\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right ] \]
A função \(V\) é um polinômio?
sim não
\(V\) não é um
polinômio. O domínio de um polinômio é \((-\infty ,\infty )\). \(V\) é um polinômio em um domínio restrito.
Calcule (escreva um número ou “DNE”, de “Does Not Exist”, isto é, não
existe): \begin{align*} V(1) &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\\ V(5) &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\\ V(10) &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \end{align*}
Se \(x = 1\) e aumenta em \(h\), quanto o volume da caixa vai variar? Simplifique.
xmhintVocê pode achar úteis as seguintes fórmulas de multiplicação de binômios:
\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2\\ (a + b)^3 &= a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3 \end{align*}
\[ V(1+h) - V(1) =4(1+h)^3 -64(1+h)^2 +240(1+h)-180=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-10}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}h^3 +\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-11}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}h^2 + \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-12}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}h \] Quando \(x\) aumenta de \(x=1\) para \(x=5\), qual é o valor de \(h\)? \[ h=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-13}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \] Agora calcule \begin{align*} V(5) &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-14}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\\ V(1) &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-15}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\\ V(5) - V(1) &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-16}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \end{align*}
Também sabemos, pelo seu trabalho acima, que \begin{align*} V(1+h) -V(1) &= 4h^3 -52h^2 + 124h\\ V(1+4) -V(1) &= 4(4)^3 -52(4)^2 + 124(4)\\ V(1+4) - V(1) &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-17}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \end{align*}
Expresse a área total da superfície (incluindo AMBOS os lados, o de dentro e o de
fora) da caixa aberta como função de \(x\). \[ S(x) = 2\cdot \left [(20-2x)(12-2x)+2(12-2x)\cdot \left (\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-18}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right )+2x\cdot \left (\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-19}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right )\right ] \] Simplifique a expressão acima. \[ S(x) =480- \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-20}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Quando \(x\) aumenta de \(1\) para \((1+h)\), a área total da superfície da caixa varia em
\[ S(1+h) - S(1) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-21}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}h^2 + \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-22}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}h \] Portanto, quando \(x\) aumenta de \(1\) para \((1+h)\), a área da superfície diminui em
\(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-23}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Como exercício final, ilustre essa variação em um desenho e compartilhe seu desenho com um colega.
Eu fiz isso. Eu não fiz isso.