Primeiro, introduzimos as variáveis \(P\), \(r\) e \(A\), que denotam o perímetro, o raio e a área do círculo, nessa ordem.

Identificamos a taxa dada, \(\frac {dP}{dt}=4\) m/s, e a taxa desconhecida, \(\frac {dA}{dt}\), no instante em que \(r=3\).

Em seguida, desenhamos uma figura.

Naturalmente, pensamos nas fórmulas do perímetro e da área de um círculo \[ P = 2\cdot \pi \cdot \class{xm-given}{r} \qquad \text {e}\qquad A = \pi \cdot \class{xm-given}{r^{2}}. \] Sabemos que o perímetro do círculo está aumentando. Isso implica que o raio e a área do círculo também estão variando no tempo. Assim, observamos que \(P\), \(r\) e \(A\) são funções do tempo \[ P(t) = 2\cdot \pi \cdot r(t) \qquad \text {e}\qquad A(t) = \pi \cdot r(t)^2. \] Derivamos ambos os lados de cada equação em relação ao tempo, \(t\). Usando derivação implícita, obtemos

\[ \underbrace { \dfrac {d}{dt}P(t)}_{given\hspace {0.05in} rate} = 2\cdot \pi \cdot \dfrac {d}{dt}r(t) \qquad \text {e}\qquad \underbrace { \dfrac {d}{dt}A(t)}_{unknown \hspace {0.05in}rate} = 2\cdot \pi \cdot r(t) \cdot \dfrac {d}{dt}r(t). \]

Essas duas equações valem em algum intervalo de tempo. Em particular, ambas são verdadeiras no instante em que \(r=3\).

Sabemos que nesse instante \( \dfrac {d}{dt}P(t) = \class{xm-given}{4}\) e \(r = \class{xm-given}{3}\).

Agora calculamos as duas equações no instante em que \(r=3\).

\[ 4 = 2\cdot \pi \cdot \dfrac {d}{dt}r(t) \qquad \text {e}\qquad \dfrac {d}{dt}A(t) = 2\cdot \pi \cdot 3 \cdot \dfrac {d}{dt}r(t) \]

Da primeira equação, obtemos \begin{align*} \dd {t}r(t)&= 2/\pi \hspace {0.1in} m/s, \hspace {0.1in} when \hspace {0.1in} r=3. \end{align*}

Usando esse resultado e a equação da direita, obtemos, no instante em que \(r=3\),

\begin{align*} \dfrac {d}{dt}A(t) &= 2\cdot \pi \cdot 3 \cdot 2/\pi \\ &=\class{xm-given}{12}\hspace {0.1in} m^2/s. \end{align*}

Logo, a área está aumentando a uma taxa de \(12\) \(m^2/s\) no instante em que \(r=3\) m.

Em seguida, encontramos equações que relacionem as variáveis relevantes. Aqui usamos o Teorema de Pitágoras. \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Observe que \(a=3\) é uma constante, e \(c\) e \(b\) são funções do tempo, \(t\). Então, derivamos ambos os lados da equação em relação a \(t\), usando derivação implícita

\[ 2\cdot c(t)\cdot \dfrac {d}{dt}c(t) = 2\cdot b\cdot \dfrac {d}{dt}b(t). \] Agora, calculamos todas as quantidades no instante em que \(b=3\), observando que \(\dfrac {db}{dt} = 2\) e que \(b = 3\). Portanto, \[ 2\cdot c\cdot \dfrac {dc}{dt}= \class{xm-given}{12},\hspace {0.08in} when\hspace {0.08in}b=3. \] Precisamos calcular \(c\), o comprimento da hipotenusa no instante em que \(b=3\). Aqui usamos o Teorema de Pitágoras \begin{align*} c^2 &= 3^2 + 3^2\\ &=\class{xm-given}{18}, \end{align*}

Assim, vemos que \(c = 3\sqrt {2}\), quando \(b=3\).
Então, resolvemos para a taxa no instante em que \(b=3\),
\begin{align*} 6\sqrt {2}\cdot \dfrac {dc}{dt} &= 12 \\ \dfrac {dc}{dt} &= \sqrt {2}. \end{align*}

Portanto, a hipotenusa está crescendo a uma taxa de \(\class{xm-given}{\sqrt {2}}\) m/s quando ambos os catetos medem \(3m\).

Identificamos a taxa dada \(\frac {db}{dt}=2\) m/s e a taxa desconhecida \(\frac {d\theta }{dt}\), quando \(b=3\).

Em seguida, desenhamos uma figura.

Agora encontramos equações que combinem as variáveis relevantes. Aqui observamos que \[ \tan (\theta ) = \frac {3}{\class{xm-given}{b}}. \] Como \(\theta \) e \(b\) são funções do tempo, derivamos ambos os lados da equação usando derivação implícita

\[ \sec ^2(\theta )\frac {d\theta }{dt} = \frac {-3}{b^2}\cdot \frac {db}{dt}. \] Agora, calculamos todas as quantidades no instante em que \(b=3\), lembrando que \(\frac {db}{dt} = 2\) e \(b = 3\), \[ \sec ^2(\theta )\cdot \dfrac {d\theta }{dt}= \frac {-3}{3^2}\cdot 2\\ = \frac {-2}{3} . \] Está claro que ainda precisamos calcular \( \sec ^2(\theta )\) no instante em que \(b=3\). Uma figura vai ajudar.

Como conhecemos os comprimentos dos dois catetos do triângulo retângulo, é mais fácil calcular

\(\tan (\theta )\) do que \(\sec (\theta )\). Lembre-se da identidade trigonométrica: \( \sec ^2(\theta )=1+ \tan ^2(\theta )\). \begin{align*} \sec ^2(\theta )&= 1+ \tan ^2(\theta )\\ &= 1+\Bigl (\frac {3}{3}\Bigr )^2\\ &= \class{xm-given}{2} \end{align*}

Agora resolvemos para a taxa desconhecida, quando \(b=3\), \begin{align*} 2\cdot \dfrac {d\theta }{dt} &= \frac {-2}{3}\\ \dfrac {d\theta }{dt}&= \frac {-1}{3} \end{align*}

Assim, quando \(b=3\), o ângulo está variando a \(\class{xm-given}{-1/3}\) radianos por segundo.

Em seguida, encontramos equações que combinem as variáveis relevantes. Neste caso, há duas. A primeira é a fórmula da área de um triângulo: \[ A = \frac {1}{2} \cdot x \cdot h \] A segunda usa o fato de que o triângulo maior é semelhante ao triângulo menor, o que significa que as razões entre os lados correspondentes dos dois triângulos são iguais, \[ \frac {h}{x} = \frac {3}{\class{xm-given}{6}}\qquad \text {logo}\qquad h = \frac {1}{\class{xm-given}{2}}\cdot x \] Neste ponto, poderíamos derivar as duas equações, mas escolhemos um caminho mais simples e expressamos \(A\) em termos de \(x\) \begin{align*} A& = \frac {1}{2} \cdot x\cdot \underbrace { \frac {1}{2}\cdot x}_{h} . \end{align*}

Portanto, \[ A=\frac {1}{4}\cdot x^2. \] Como \(A\) e \(x\) são ambas funções do tempo, derivamos ambos os lados desta equação em relação a \(t\)

\[ \frac {dA}{dt}=\frac {1}{4}\cdot 2\cdot x\cdot \frac {dx}{dt}. \] Em particular, quando \(x=5\), \[ \frac {dA}{dt}=\frac {1}{4}\cdot 2\cdot 5\cdot 3=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}. \]

Logo, a área está variando a uma taxa de \( \frac {15}{2}\) \(\text {m}^2/\text {s}\) quando \(x=5\) m.