Aproximando a área com retângulos

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Apresentamos a ideia básica de usar retângulos para aproximar a área sob uma curva.

1 Retângulos e áreas

Sabemos calcular a área de muitas figuras diferentes: retângulos, triângulos, trapézios, círculos etc. E a área de algo como a região sob o gráfico de uma função?

Queremos calcular a área entre a curva $y=f(x)$ e o eixo horizontal no intervalo $[a,b]$:

Uma maneira de fazer isso seria aproximar a área com retângulos. Com um retângulo, obtemos uma aproximação grosseira:

Dois retângulos talvez deem uma aproximação melhor:

Com ainda mais retângulos, obtemos uma aproximação cada vez melhor:

Se estamos aproximando a área entre uma curva e o eixo $x$ em $[a,b]$ com $n$ retângulos de largura $\Delta x$, então \[ \Delta x = \frac {b-a}{n}. \]

Suponha que queiramos aproximar a área entre a curva $y=x^2+1$ e o eixo $x$ no intervalo $[-1,1]$, com $8$ retângulos. Quanto vale $\Delta x$? \[ \Delta x = \class{xm-given}{1/4} \]

À medida que acrescentamos retângulos, aproximamos cada vez melhor a área que nos interessa:

Poderíamos encontrar a área exata se conseguíssemos calcular o limite quando a largura dos retângulos tende a zero e o número de retângulos tende a infinito.

Vamos estabelecer alguma notação para ajudar nesses cálculos:

Ao aproximar uma área com $n$ retângulos, os pontos da malha \[ x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n \] são as coordenadas $x$ que determinam os lados dos retângulos. No gráfico abaixo, numeramos os retângulos para ajudar você a ver a relação entre os índices dos pontos da malha e o $k$-ésimo retângulo.

Observe que, se estamos aproximando a área entre uma curva e o eixo horizontal em $[a,b]$ com $n$ retângulos, então sempre vale que \[ x_0=a\qquad \text {e}\qquad x_n = b. \]

Se estamos aproximando a área entre uma curva e o eixo horizontal com $11$ retângulos, quantos pontos da malha teremos?

xmhintVocê pode desenhar!

Teremos $\class{xm-given}{12}$ pontos da malha.

2 Mas qual conjunto de retângulos?

Quando usamos $n$ retângulos para calcular a área sob uma curva, a largura de cada retângulo é $\Delta x=\frac {b-a}{n}$. É claro que $\Delta x=x_k-x_{k-1}$, para $k=1,\dots , n$.

Isso significa que: \begin{align*} x_0 &= a\\ x_1 &= a + \Delta x\\ x_2 &= a + 2\Delta x\\ x_3 &= a + 3 \Delta x\\ ... & ...\\ x_n &= a + n\Delta x = b \end{align*}

Isso nos dá uma fórmula para o $k^{th}$ ponto da malha \[ x_k = a + k\Delta x. \]

Isso nos informa sobre os lados dos retângulos, mas como determinamos a altura do retângulo?

Escolhemos um ponto amostral $x_k^*$ em $[x_{k-1}, x_k]$ e calculamos a função nesse ponto. O valor $f(x_k^*)$ determina a altura de um retângulo.

Ao aproximar uma área com retângulos, um ponto amostral é a coordenada $x$ que determina a altura do $k^{th}$ retângulo. Para $k=1,\dots , n$, denotamos um ponto amostral por: \[ x_k^* \] que está no subintervalo $[x_{k-1}, x_k]$, e o valor \[ f( x_k^*) \] é a altura do $k^{th}$ retângulo.

Há dois tipos diferentes de pontos cujas notações se parecem muito. Os pontos da malha, $x_0, x_1, \dots , x_n$, e os pontos amostrais, $x^*_1, x^*_2, \dots , x^*_n$. Os pontos da malha nos dizem onde ficam os lados esquerdo e direito dos retângulos que estamos construindo. Os pontos amostrais são substituídos na função para encontrar as alturas dos retângulos. Temos uma fórmula para os pontos da malha, $x_k = a + k \Delta x$, mas nem sempre temos uma fórmula para os pontos amostrais.

Qual é a área do $k^{th}$ retângulo mostrado na figura acima?

$A=\Delta x $ $A=f(x)\Delta x $ $A= f( x_k^*)x_k^*$ $A= f( x_k^*)\Delta x$ $A=f(x)x$ $A=k\Delta k$ $A= f( x_k^*)(x_k-x_{k-1})$

Os pontos amostrais $x_k^*$ podem ser qualquer ponto do subintervalo $[x_{k-1}, x_k]$, mas há algumas escolhas padrão que podemos fazer para facilitar nossos cálculos. Aqui estão três opções de pontos amostrais que consideramos com frequência:

2.1 Retângulos definidos pelas extremidades esquerdas

Podemos montar os retângulos de modo que o ponto amostral seja a extremidade esquerda, $x_k^* = x_{k-1}$.

No gráfico acima, a extremidade esquerda do $k^{th}$ retângulo determina a altura do retângulo.

2.2 Retângulos definidos pelas extremidades direitas

Podemos montar os retângulos de modo que a extremidade direita determine a altura, $x_k^* = x_{k}$.

No gráfico acima, a extremidade direita da base do $k^{th}$ retângulo determina a altura.

2.3 Retângulos definidos pelos pontos médios

Podemos montar os retângulos de modo que o ponto médio da base determine a altura, $x_k^* = \dfrac {x_{k-1}+x_k}{2}$.

No gráfico acima, o ponto médio da base do $k^{th}$ retângulo determina a altura.

3 Somas de Riemann e aproximação de áreas

Uma vez que sabemos identificar nossos retângulos, podemos calcular aproximações de algumas áreas. Se estamos aproximando uma área com $n$ retângulos, então \begin{align*} \text {Área} &\approx \sum _{k=1}^n (\text {altura do $k$-ésimo retângulo})\times (\text {largura do $k$-ésimo retângulo}) \\ &=\sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x \\ &= f(x_1^*)\Delta x + f(x_2^*)\Delta x + f(x_3^*)\Delta x + \dots + f(x_n^*)\Delta x. \end{align*}

Uma soma da forma: \[ \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x = f(x_1^*)\Delta x + f(x_2^*)\Delta x + \dots + f(x_n^*)\Delta x \] é chamada de soma de Riemann, pronuncia-se “ríman”.

Uma soma de Riemann calcula uma aproximação da área entre uma curva e o eixo $x$ no intervalo $[a,b]$. Ela pode ser definida de várias maneiras diferentes. No nosso curso, ela será definida por extremidades esquerdas, extremidades direitas ou pontos médios. Aqui vemos a conexão explícita entre uma soma de Riemann definida por extremidades esquerdas e a área entre uma curva e o eixo $x$ no intervalo $[a,b]$:

e aqui está a soma de Riemann associada \[ \sum _{k=1}^5 f(x_k^*)\Delta x = f(x_1^*)\Delta x + f(x_2^*)\Delta x + f(x_3^*)\Delta x + f(x_4^*)\Delta x + f(x_5^*)\Delta x. \]

3.1 Somas de Riemann à esquerda

Considere $f(x) = x^3/8-x+2$. Aproxime a área entre a curva $y=f(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[-1,3]$ usando uma soma de Riemann por extremidades esquerdas com $n=5$ retângulos.

Primeiro, observe que a largura de cada retângulo é \[ \Delta x = \frac {3-(-1)}{5} = \class{xm-given}{4/5}. \] Os pontos da malha definem os lados dos retângulos e podem ser vistos abaixo:

Por outro lado, os pontos amostrais indicam quais extremidades usamos:

É útil reunir todos esses dados em uma tabela: \[ \begin{array}{c|c|c|c} k & x_k & x^*_k & f(x^*_k) \\ \hline 0 & \class{xm-given}{-1} & \text {NA} & \text {NA} \\ 1 & \class{xm-given}{-0.2} & \class{xm-given}{-1} & \class{xm-given}{2.875} \\ 2 & \class{xm-given}{0.6} & \class{xm-given}{-0.2} & \class{xm-given}{2.199} \\ 3 & \class{xm-given}{1.4} & \class{xm-given}{0.6} & \class{xm-given}{1.427} \\ 4 & \class{xm-given}{2.2} & \class{xm-given}{1.4} & \class{xm-given}{0.943} \\ 5 & \class{xm-given}{3} & \class{xm-given}{2.2} & \class{xm-given}{1.131} \\ \end{array} \] Agora podemos escrever uma soma de Riemann à esquerda \[ f(x_1^*)\Delta x + f(x_2^*)\Delta x + f(x_3^*)\Delta x +f(x_4^*)\Delta x+ f(x_5^*)\Delta x, \] que resulta em \begin{align*} = 2.875 \cdot (4/5) &+ 2.199 \cdot (4/5) + 1.427 \cdot (4/5)\\ &+ 0.943 \cdot (4/5) + 1.131 \cdot (4/5) \end{align*}

e obtemos \[ = \class{xm-given}{6.86}. \]

3.2 Somas de Riemann à direita

Considere $f(x) = x^3/8-x+2$. Aproxime a área entre o gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[-1,3]$ usando uma soma de Riemann por extremidades direitas com $n=5$ retângulos.

Primeiro, observe que a largura de cada retângulo é \[ \Delta x = \frac {3-(-1)}{5} = \class{xm-given}{4/5}. \] Os pontos da malha definem os lados dos retângulos e podem ser vistos abaixo:

Por outro lado, os pontos amostrais indicam quais extremidades usamos:

É útil reunir todos esses dados em uma tabela: \[ \begin{array}{c|c|c|c} k & x_k & x^*_k & f(x^*_k) \\ \hline 0 & \class{xm-given}{-1} & \text {NA} & \text {NA} \\ 1 & \class{xm-given}{-0.2} & \class{xm-given}{-0.2} & \class{xm-given}{2.199} \\ 2 & \class{xm-given}{0.6} & \class{xm-given}{0.6} & \class{xm-given}{1.427} \\ 3 & \class{xm-given}{1.4} & \class{xm-given}{1.4} & \class{xm-given}{0.943} \\ 4 & \class{xm-given}{2.2} & \class{xm-given}{2.2} & \class{xm-given}{1.131} \\ 5 & \class{xm-given}{3} & \class{xm-given}{3} & \class{xm-given}{2.375} \\ \end{array} \] Agora podemos escrever uma soma de Riemann à direita \[ f(x_1^*)\Delta x + f(x_2^*)\Delta x + f(x_3^*)\Delta x +f(x_4^*)\Delta x+ f(x_5^*)\Delta x, \] que resulta em \begin{align*} = 2.199 \cdot (4/5) &+ 1.427 \cdot (4/5) + 0.943 \cdot (4/5)\\ &+ 1.131 \cdot (4/5) + 2.375 \cdot (4/5) \end{align*}

e obtemos \[ = \class{xm-given}{6.46}. \]

3.3 Somas de Riemann do ponto médio

Considere $f(x) = x^3/8-x+2$. Aproxime a área entre o gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[-1,3]$ usando uma soma de Riemann do ponto médio com $n=5$ retângulos.

Primeiro, observe que a largura de cada retângulo é \[ \Delta x = \frac {3-(-1)}{5} = \class{xm-given}{4/5}. \] Os pontos da malha definem os lados dos retângulos e podem ser vistos abaixo:

Por outro lado, os pontos amostrais indicam quais pontos usamos:

É útil reunir todos esses dados em uma tabela: \[ \begin{array}{c|c|c|c} k & x_k & x^*_k & f(x^*_k) \\ \hline 0 & \class{xm-given}{-1} & \text {NA} & \text {NA} \\ 1 & \class{xm-given}{-0.2} & \class{xm-given}{-0.6} & \class{xm-given}{2.573} \\ 2 & \class{xm-given}{0.6} & \class{xm-given}{0.2} & \class{xm-given}{1.801} \\ 3 & \class{xm-given}{1.4} & \class{xm-given}{1} & \class{xm-given}{1.125} \\ 4 & \class{xm-given}{2.2} & \class{xm-given}{1.8} & \class{xm-given}{0.929} \\ 5 & \class{xm-given}{3} & \class{xm-given}{2.6} & \class{xm-given}{1.597} \\ \end{array} \] Agora podemos escrever uma soma de Riemann do ponto médio \[ f(x_1^*)\Delta x + f(x_2^*)\Delta x + f(x_3^*)\Delta x+ f(x_4^*)\Delta x + f(x_5^*)\Delta x, \] que resulta em \begin{align*} = 2.573 \cdot (4/5) &+ 1.801\cdot (4/5) + 1.125 \cdot (4/5) \\ &+ 0.929 \cdot (4/5) + 1.597\cdot (4/5) \end{align*}

e obtemos \[ = \class{xm-given}{6.42}. \]

Considere a função \[ f(x) = 16 - x^2 \] no intervalo $[0,4]$. Vamos aproximar a área entre o gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,4]$. Veja a figura abaixo.

A imagem mostra uma soma de Riemann à esquerdaà direitado ponto médio com $n=\class{xm-given}{8}$ subintervalos.

\begin{align*} x_1^* &= \class{xm-given}{0.5}\\ f(x_1^*) &= \class{xm-given}{15.75}\\ x_6^* &= \class{xm-given}{3}\\ f(x_6^*) &= \class{xm-given}{7}\\ x_n^* &= \class{xm-given}{4}\\ f(x_n^*) &= \class{xm-given}{0}\\ \Delta x &= \class{xm-given}{\frac {1}{2}}\\ \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x &= \class{xm-given}{38.5} \end{align*}

Há mais área sob o gráfico da função que não foi incluída na coleção de retângulos. Isso significa que essa aproximação é uma estimativa por excessoestimativa por falta.

Considere a função \[ f(x) = 16 - x^2 \] no intervalo $[0,4]$. Vamos aproximar a área entre o gráfico de $f$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,4]$ usando uma soma de Riemann à direita com $n$ retângulos. Primeiro, determine a largura de cada retângulo. \[ \Delta x = \class{xm-given}{\frac {4}{n}}\\ \] Em seguida, vamos determinar os pontos da malha.

\begin{align*} x_0 &= \class{xm-given}{0}\\ x_1 &=0+\Delta x=\frac {4}{n}\\ x_2 &= x_1+\Delta x=\class{xm-given}{2}\frac {4}{n}\\ x_3 &= x_2+\Delta x= \class{xm-given}{3}\frac {4}{n}\\ &\vdots \\ x_{k-1}&= x_{k-2}+\Delta x=(\class{xm-given}{k-1})\frac {4}{n}\\ x_k&= x_{k-1}+\Delta x=\class{xm-given}{k}\frac {4}{n}\\ &\vdots \\ x_n&=\class{xm-given}{4}. \end{align*}

Para uma soma de Riemann à direita, para $k=1,\dots ,n$, determinamos os pontos amostrais da seguinte forma: \[ x_k^* = x_k=\class{xm-given}{k}\frac {4}{n}. \] Agora podemos aproximar a área com uma soma de Riemann à direita. \begin{align*} A\approx \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x &= \sum _{k=1}^n f(x_k)\frac {4}{n} \\ &= \sum _{k=1}^n f\left (k\frac {4}{n}\right )\frac {4}{n} \\ &= \sum _{k=1}^n \left (16-k^2\frac {16}{n^2}\right )\frac {4}{n} \end{align*}

Podemos simplificar a última soma usando as propriedades distributiva, comutativa e associativa de uma soma. \begin{align*} A\approx \sum _{k=1}^n \left (16-k^2\frac {16}{n^2}\right )\frac {4}{n} &=\frac {4}{n} \sum _{k=1}^n \left (16-k^2\frac {16}{n^2}\right )\\ &=\frac {4}{n}\left ( \sum _{k=1}^n 16-\sum _{k=1}^n k^2\frac {16}{n^2}\right ) \end{align*}

Na última soma, a constante $\frac {16}{n^2}$ é um fator comum, então podemos aplicar novamente a propriedade distributiva e obter o seguinte \[ A\approx \frac {4}{n}\left ( \sum _{k=1}^n 16-\frac {16}{n^2}\sum _{k=1}^n k^2\right ) \] Na primeira soma acima, a constante $16$ é somada $n$ vezes, e temos uma fórmula para a segunda soma. Lembre-se: $\sum _{k=1}^n k^2=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$. Portanto, \[ A\approx \frac {4}{n}\left ( n(16)-\frac {16}{n^2}\cdot \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\right ) \] Podemos simplificar essa expressão e obter \[ A\approx 64-\frac {32(n+1)(2n+1)}{3n^2} \] Essa aproximação é uma estimativa por excessoestimativa por falta.

No exemplo anterior, calculamos uma soma de Riemann à direita para $n=8$. Verifique se o seu resultado estava correto substituindo $n=8$ na fórmula acima.

Agora podemos tomar o limite das somas de Riemann quando $n\to \infty $ para encontrar o valor exato da área da região sob a curva $y=f(x)$ no intervalo $[0,4]$. Isto é, \[ A=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x, \] e, portanto, \[ A=\lim _{n\to \infty }\left (64-\frac {32(n+1)(2n+1)}{3n^2}\right )=\class{xm-given}{\frac {128}{3}}. \]

3.4 Resumo

As somas de Riemann aproximam a área entre curvas e o eixo $x$ por meio de retângulos. Ao calcular essa área com retângulos, há várias coisas que precisamos saber:

Em que intervalo estamos? Na discussão acima, chamamos esse intervalo de $[a,b]$.
Quantos retângulos serão usados? Na discussão acima, chamamos esse número de $n$.
Qual é a largura de cada retângulo? Na discussão acima, chamamos essa largura de $\Delta x$.
Que pontos determinarão a altura do retângulo? Na discussão acima, chamamos esses pontos de pontos amostrais, $x_k^*$, e eles podem ser extremidades esquerdas, extremidades direitas ou pontos médios.
Qual é, de fato, a altura do retângulo? Ela será sempre $f(x_k^*)$.
Aproximamos a área $A$ por uma soma de Riemann
$A\approx \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x$.
À medida que $n$ fica cada vez maior, $\Delta x$ fica cada vez menor, e a aproximação fica cada vez melhor. Calculamos o valor exato de $A$ tomando o limite das somas de Riemann
$A= \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x$.