A definição da derivada

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Calculamos a taxa de crescimento instantânea calculando o limite de taxas de crescimento médias.

Dada uma função, muitas vezes é útil conhecer a taxa com que a função varia. Para você ter uma ideia de por que isso é verdade, considere o seguinte:

Se $s(t)$ representa a posição de um objeto sobre uma reta (em relação ao tempo), a taxa de variação fornece a velocidade do objeto.
Se $v(t)$ representa a velocidade de um objeto em relação ao tempo, a taxa de variação fornece a aceleração do objeto.
Se $R(x)$ representa a receita gerada pela venda de $x$ objetos, a taxa de variação nos fornece a receita marginal, isto é, a receita adicional gerada pela venda de uma unidade a mais. Observe que há uma suposição implícita de que $x$ é bem grande em comparação com $1$.
Se $C(x)$ representa o custo de produzir $x$ objetos, a taxa de variação nos fornece o custo marginal, isto é, o custo adicional gerado pela venda de uma unidade a mais. De novo, há uma suposição implícita de que $x$ é bem grande em comparação com $1$.
A taxa de variação de uma função pode nos ajudar a aproximar uma função complicada por uma função simples.
A taxa de variação de uma função pode ser usada para nos ajudar a resolver equações que não conseguiríamos resolver por outros métodos.

1 Das inclinações de retas secantes às inclinações de retas tangentes

Já faz um tempo que estamos calculando taxas de variação médias,

\[ {\text {average rate of change= }} \frac {\text {change in the function (output)}}{\text {change in the variable (input) }}. \]

Mais precisamente, a taxa de variação média de uma função $f$ é dada por \[{\text {taxa de variação média de $f$ }} =\frac {f(x)-f(a)}{x-a},\] quando a entrada varia de $a$ até $x$.

O que acontece se calcularmos essa taxa de variação média de $f$ para cada valor de $x$ à medida que $x$ se aproxima cada vez mais de $a$? Em outras palavras, qual é o significado do limite \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a},\] desde que o limite exista?

Naturalmente, chamamos esse limite de taxa de variação instantânea da função $f$ em $a$.

(Neste exemplo, usaremos a abreviação AvRCh para a taxa de variação média e InRCh para a taxa de variação instantânea.)

Seja $f(x)=2x^2+3$.

Determine a expressão da taxa de variação média de $f$ entre os pontos $a=2$ e $x=-1$. \[ AvRCh=\frac {f(-1)-f(2)}{-1-\left (\class{xm-given}{2}\right )}\] Agora calcule a função, \[ AvRCh=\frac {2(-1)^2+3-(2(2)^2+3)}{-1-\left (\class{xm-given}{2}\right )}.\] Simplifique, \[ AvRCh=\frac {5-11}{-3}=2. \]
Determine a taxa de variação média de $f$ entre os pontos $a=2$ e $x$, $x\ne 2$. \[ AvRCh=\frac {f(x)-f(2)}{x-\class{xm-given}{2}} \] Agora substitua a expressão da função, \[ AvRCh=\frac {2x^2+3-11}{x-\class{xm-given}{2}} \] Simplifique o numerador, \[ AvRCh=\frac {2x^2-8}{x-\class{xm-given}{2}}. \] Fatore, \[ AvRCh=\frac {2(x^2-4)}{x-2} \] Fatore e cancele, \[ AvRCh=\frac {2(x+2)\cancel {(x-2)}}{\cancel {x-2}}=2(x+2). \]
Determine a taxa de variação instantânea de $f$ no ponto $x=2$. \[ InRCh= \lim _{x\to 2} \frac {f(x)-f(2)}{x-2} \] Assim, a taxa de variação instantânea é o limite, quando $x\to 2$, das taxas de variação médias de $f$ entre os pontos $a=2$ e $x$, para $x\ne 2$.
Já calculamos uma expressão para a taxa de variação média para todo $x\ne 2$. Portanto, \[ InRCh=\lim _{x\to 2}2(x+2)=8.\]

Esse mesmo limite \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a},\] também surge em um contexto completamente diferente.

Dê uma olhada na figura abaixo. A figura mostra o gráfico da função $f$, dois pontos do gráfico, $(a,f(a))$ e $(x,f(x))$, e uma reta secante que passa por esses dois pontos.

A inclinação dessa reta secante é igual a $\frac {f(x)-f(a)}{x-a}$! Essa é exatamente a expressão da taxa de variação média de $f$ quando a entrada varia de $a$ até $x$!

Portanto, o cálculo para encontrar a inclinação da reta secante é exatamente o mesmo cálculo que o usado para calcular a taxa de variação média de uma função.

Como antes, podemos nos perguntar: o que acontece à medida que $x$ se aproxima cada vez mais de $a$? Em outras palavras, qual é o significado do limite das inclinações das retas secantes que passam pelos pontos $(a,f(a))$ e $(x,f(x))$ à medida que $x$ se aproxima cada vez mais de $a$?

Como podemos interpretar o limite \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a}, \] desde que o limite exista?

Esse cenário está ilustrado na figura abaixo. O que acontece quando $x\to a$?

Observe que todas as retas secantes da figura passam pelo ponto dado $(a,f(a))$. O que distingue essas retas são suas inclinações; a inclinação de cada reta é determinada por um ponto adicional sobre a reta, $(x,f(x))$. A figura sugere que “o limite das inclinações das retas secantes” é a inclinação de uma reta especial, chamada reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $(a,f(a))$. Observe como a reta tangente e a curva são indistinguíveis perto do ponto $(a,f(a))$. Se for possível “ampliar” o gráfico em $(a, f(a))$ o suficiente para que ele pareça uma linha reta, então essa reta é a reta tangente a $f(x)$ no ponto $(a,f(a))$. Isso está ilustrado na figura abaixo.

Para ver isso de outra maneira, na figura interativa a seguir, veja o que acontece com a reta contínua (verde) quando você usa o controle deslizante para arrastar o ponto que começa em $(1.75, 4)$ cada vez mais perto de $(1,1)$ ao longo do gráfico. Como ela se compara com a reta tangente pontilhada (preta)?

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Cada uma das quatro figuras a seguir mostra o gráfico da mesma função $f$ e uma reta que passa pelo ponto $(1,f(1))$.

Apenas uma das figuras mostra a reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $(1,f(1))$. Qual delas?

Figura A Figura B Figura C Figura D

Apenas a reta da figura $B$ parece indistinguível da curva $y=f(x)$ perto do ponto $(1,f(1))$.

O limite \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a},\] tem muitas interpretações diferentes, dependendo do contexto, como a inclinação da reta tangente, a taxa de variação instantânea e a velocidade instantânea. Portanto, esse limite merece um nome especial, que possa ser usado independentemente do contexto.

A derivada de $f$ em $a$, denotada por $f'(a)$, é dada por \[ f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {f(x) - f(a)}{x-a}, \] desde que o limite exista. Dizemos que $f$ é derivável em $a$ se esse limite existe. Caso contrário, dizemos que $f$ é não derivável em $a$.

A definição da derivada nos permite definir reta tangente com precisão.

Seja $f$ uma função derivável em $a$. A reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $(a,f(a))$ é a reta que passa pelo ponto $(a,f(a))$ e cuja inclinação é igual a $f'(a)$.

Usando a equação ponto-inclinação da reta, a reta tangente é dada pela equação \[ y = f(a)+f'(a)(x-a). \]

Seja $f$ a função dada por $f(x) = 4x-3$. Qual é a taxa de variação instantânea de $f$ em $a$, em que $a$ é um número real qualquer?

xmhintA taxa de variação é dada por $f'(a)$ e, portanto, é a inclinação da reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $(a,f(a))$.

xmhintA reta tangente à curva $y=f(x) = 4x-3$ é simplesmente a própria curva!

A derivada é a inclinação da reta $y= 4x-3$! Portanto, $f'(a)=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}$, para todo número real $a$.

xmhintPodemos verificar esse raciocínio calculando $f'(a)$ pela definição da derivada. \[ f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {f(x) - f(a)}{x-a}.\] Substitua $f$ por sua fórmula, \[ f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {(4x-3)-(4a-3)}{x-a}.\] Simplifique o numerador, \[ f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {4x-4a}{x-a}.\] Fatore o numerador, \[ f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {4\cancel {(x-a)}}{\cancel {x-a}}.\] Calcule o limite, \[ f'(a) =4.\]

A maioria das funções não é linear, e seus gráficos não são linhas retas. Para a maioria das funções, o cálculo da derivada não é tão simples quanto no exemplo anterior.

Seja $f(x) = 2x^2+3$.

Determine a inclinação da reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $(2,f(2))$.

Encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $(2,f(2))$ significa encontrar $f'(2)$ \[ f'(2) = \lim _{x\to 2} \frac {f(x) - f(2)}{x-2}\] Esse limite nos dá a taxa de variação instantânea de $f$ em $a=2$, que foi calculada em nosso primeiro exemplo! Portanto, a inclinação da reta tangente é \[ f'(2) = \lim _{x\to 2} \frac {f(x) - f(2)}{x-2}=8. \]

Podemos confirmar nossos resultados observando o gráfico de $y=f(x)$ e a reta $y=8x-5$.

Seja $f(x) = \frac {1}{3-x}$. Determine uma equação da reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $(2, 1)$.

Para encontrar a equação de uma reta, precisamos de duas informações. Precisamos conhecer um ponto da reta e precisamos conhecer a inclinação da reta. Nesta pergunta, foi dado que o ponto $(2,1)$ está sobre a reta. Logo, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente. Encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $(2,1)$ significa encontrar $f'(2)$.

Comece escrevendo a definição da derivada, \[ f'(2) = \lim _{x\to 2} \frac {f\left (\class{xm-given}{x}\right )-f\left (2\right )}{x-2} = \lim _{x\to 2} \frac {\frac {1}{3-x}-1}{x-2}. \] Multiplique por $\frac {3-x}{3-x}$ para eliminar a fração do numerador, \[ f'(2) = \lim _{x\to 2} \frac {1 - \left (\class{xm-given}{3-x}\right )}{(x-2)(3-x)}. \] Combine os termos semelhantes do numerador, \[ f'(2) = \lim _{x\to 2} \frac {\cancel {x-2}}{\cancel {(x-2)}(3-x)}, \]

Calcule o limite quando $x$ tende a $2$, \[ f'(2)= \lim _{x\to 2} \frac {1}{3-x} = \class{xm-given}{1}. \] Estamos procurando uma equação da reta que passa pelo ponto $(2,1)$ com inclinação $m = f'(2) = 1$. A fórmula ponto-inclinação nos diz que a reta tem equação dada por \[ y= 1+\class{xm-given}{x-2 }, \] ou, equivalentemente, $y=x-1$.

Podemos confirmar nossos resultados observando o gráfico de $y=f(x)$ e a reta $y=x-1$.

Um objeto que se move ao longo de uma linha reta tem posição dada por $s(t) = \sqrt {t+3}$, em que a posição é medida em metros e o tempo em segundos. Determine a velocidade (instantânea) do objeto no instante $t=6$.

A velocidade é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo. Estamos sendo solicitados a encontrar $v(6)=s'(6)$. Precisamos ajustar a definição da derivada, isto é, substituir $x$ por $t$, \[ s'(6) = \lim _{t \to 6} \frac {s(t)-s(6)}{t-6} = \lim _{t\to 6} \frac {\sqrt {\class{xm-given}{t+3}}-3}{t-6}. \] Multiplique por $\frac {\sqrt {t+3}+3}{\sqrt {t+3}+3}$ para racionalizar a expressão, \[ s'(6) = \lim _{t\to 6} \left (\frac {\sqrt {t+3}-3}{t-6} \right )\left (\frac {\sqrt {t+3}+3}{\sqrt {t+3}+3} \right ). \] Agora simplifique o numerador, \[ s'(6) = \lim _{t \to 6} \frac {t+3 - 9}{(t-6)\left (\sqrt {t+3}+3 \right )}. \] Combine os termos semelhantes, \[ s'(6)= \lim _{t \to 6} \frac {\cancel {t-6}}{\cancel {(t-6)}\left (\sqrt {t+3}+3\right )}. \] Calcule o limite quando $t$ tende a $6$, \[ s'(6)= \lim _{t\to 6} \frac {1}{\sqrt {t+3}+3}=\class{xm-given}{\frac {1}{6}}. \]

O objeto tem velocidade $\frac {1}{6}$ $\frac {\unit {m}}{\unit {s}}$ no instante $t=6$.

Abaixo podemos ver o gráfico de $s=s(t)$ e a reta tangente em $t=6$, com inclinação $\frac {1}{6}$. Observe, mais uma vez, como a reta se ajusta ao gráfico da função $s$ perto do ponto $(6,3)$.