Regras básicas de derivação

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Deduzimos a regra da constante, a regra da potência e a regra da soma.

É tedioso calcular um limite toda vez que precisamos conhecer a derivada de uma função. Felizmente, podemos desenvolver uma pequena coleção de exemplos e regras que nos permitem calcular rapidamente a derivada de quase qualquer função que provavelmente encontraremos. Vamos começar de forma simples e avançar até exemplos mais complicados.

Primeiro, apresentamos uma notação diferente para a derivada, que às vezes pode ser mais conveniente.

Há várias notações diferentes para a derivada. As duas que usaremos principalmente são \[ f'(x)= \ddx f(x). \] O valor da derivada em $x=a$ também pode ser escrito usando duas notações diferentes \[ f'(a)= \eval {\ddx f(x)}_{x=a}. \]

1 A regra da constante

Os exemplos mais simples de funções, e portanto o melhor lugar para começar nossa investigação, são as funções constantes. Lembre-se de que as derivadas medem a taxa de variação de uma função em um dado ponto. Isso significa que a derivada de uma função constante é zero. Aqui estão algumas maneiras de pensar nessa situação.

O gráfico de uma função constante é uma reta horizontal, então a inclinação da reta tangente é $0$.
Se $s(t)$ representa a posição de um objeto em relação ao tempo e $s(t)$ é constante, então o objeto não está se movendo, de modo que sua velocidade é zero. Logo, $\dd {t} s(t) = 0$.
Se $v(t)$ representa a velocidade de um objeto em relação ao tempo e $v(t)$ é constante, então a aceleração do objeto é zero. Logo, $\dd {t} v(t) = 0$.

Os exemplos acima nos levam ao nosso próximo teorema. Para ganhar intuição, você deveria calcular a derivada de $f(x) = 6$ usando a definição de derivada por limite.

A regra da constante Dada uma constante $c$, \[ \ddx c = 0. \]

Pela definição de derivada por limite, escreva \begin{align*} \ddx c &= \lim _{h\to 0}\frac {c-c}{\class{xm-given}{h}}\\ &= \lim _{h\to 0} \frac {0}{h}\\ &= \lim _{h\to 0} 0 = 0. \end{align*}

A quanto é igual \[ \ddx e \] ?

xmhintLembre-se, \[ e = 2.718281828459045\dots . \]

É igual a $\class{xm-given}{0}$.

2 A regra da potência

Em seguida, vamos examinar derivadas de potências de uma única variável. Para ganhar intuição, você deveria calcular a derivada de $f(x) = x^3$ usando a definição de derivada por limite. Antes de calcular essa derivada, devemos lembrar o Teorema Binomial.

Teorema binomial Se $n$ é um inteiro não negativo, então \[ (a+b)^n = a^nb^0 + \binom {n}{1} a^{n-1}b^1 + \dots + \binom {n}{n-1} a^{1}b^{n-1} + a^{0}b^n \] onde \[ \binom {n}{k} = \frac {n!}{k!(n-k)!}, \hspace {0.2in}k=0,1,...,n. \]

O Teorema Binomial nos dá o padrão dos coeficientes na forma expandida de \[ (a+b)^n, \] o que nos ajudará a demonstrar nossa próxima regra de derivação.

Expanda $(x+h)^3$ usando o Teorema Binomial.

Aplicamos o Teorema Binomial à expressão em questão e, em seguida, simplificamos. \begin{align*} (x+h)^3 &= x^3h^0 + \binom {3}{1} x^{3-1}h^1 + \binom {3}{2} x^{3-2}h^2 + x^{0}h^3\\ & = x^3 + \class{xm-given}{3} x^2 h + \class{xm-given}{3} xh^2 + h^3 \end{align*}

A regra da potência Para qualquer número real $n$, \[ \ddx x^n = n x^{n-1}. \]

Neste momento, vamos demonstrar este teorema apenas para valores de $n$ que são inteiros positivos. Mais adiante daremos a explicação completa. Pela definição de derivada por limite, escreva comigo \[ \ddx x^n = \lim _{ h\to 0} \frac {\left (\class{xm-given}{x+ h}\right )^n-x^n}{h}. \] Expanda o termo $(x+h)^n$:

Observe que estamos usando o Teorema Binomial para escrever $\binom {n}{k}$ para os coeficientes. Cancelando os termos $x^n$ e $-x^n$, e notando que $\binom {n}{1}= n$, escreva comigo

já que todos os termos, exceto o primeiro, têm um fator $h$. Portanto, \[ \ddx x^n = nx^{n-1}. \]

Vamos considerar vários exemplos. Começamos com algo básico.

Calcule: \[ \ddx x^{13} \]

Aplicando a regra da potência, escrevemos \[ \ddx x^{13} = \class{xm-given}{13x^{12}}. \]

Às vezes, não é tão óbvio que se deva aplicar a regra da potência.

Calcule: \[ \ddx \frac {1}{x^4} \]

Aplicando a regra da potência, escrevemos \[ \ddx \frac {1}{x^4} = \ddx x^{-4} = \class{xm-given}{-4x^{-5}}. \]

A regra da potência também se aplica a radicais, desde que os reescrevamos como expoentes.

Calcule: \[ \ddx \sqrt [5]{x} \]

Aplicando a regra da potência, escrevemos \[ \ddx \sqrt [5]{x} = \ddx x^{1/5} = \class{xm-given}{\frac {x^{-4/5}}{5}}. \]

3 A regra da soma

Queremos ser capazes de calcular derivadas de funções “um pedaço de cada vez”. A regra da soma nos permite fazer exatamente isso. A regra da soma diz que podemos somar as taxas de variação de duas funções para obter a taxa de variação da soma das duas funções. Por exemplo, vendo a derivada como a velocidade de um objeto, a regra da soma afirma que, para encontrar a velocidade de uma pessoa caminhando dentro de um ônibus em movimento, somamos a velocidade do ônibus e a velocidade da pessoa caminhando.

A regra da soma Se $f(x)$ e $g(x)$ são deriváveis e $c$ é uma constante, então

$\ddx \big ( f(x) + g(x)\big ) = f'(x) + g'(x)$,
$\ddx \big ( f(x) - g(x)\big ) = f'(x) - g'(x)$,
$\ddx \big (c\cdot f(x)\big ) = c\cdot f'(x)$.

Vamos demonstrar apenas o item (a) acima; os demais são semelhantes. Escreva comigo

Usar notações diferentes para a derivada pode ser confuso. Quais das alternativas a seguir são o mesmo que o item (a) da Regra da Soma?

$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$ $(f(x) + g(x))' = \ddx f(x) + \ddx g(x)$ $\ddx f(x) + \ddx g(x) = f'(x) + g'(x)$ $(f'(x) + g(x))' = \ddx ( f(x) + g(x))$

Suponha que temos duas funções, $f$ e $g$, e sabemos que $f'(2) = 6$ e $g'(2) = -3$. Qual é a inclinação da reta tangente ao gráfico de $y=f(x) + g(x)$ em $x = 2$?

A inclinação da reta tangente ao gráfico da função $f(x) + g(x)$ em $x = 2$ é a derivada $ \eval {\ddx \left (f(x)+g(x)\right )}_{x=2}$. Pela Regra da Soma, essa derivada é dada por $f'(2) + g'(2)$. Neste caso, temos $f'(2) + g'(2) = \class{xm-given}{3}$.

Agora temos as ferramentas para resolver alguns exemplos mais complicados.

Calcule: \[ \ddx \left ( x^5+\frac {1}{x}\right ) \]

Escreva comigo \begin{align*} \ddx \left (x^5+\frac {1}{x}\right ) &= \ddx x^5 + \ddx x^{-1} \\ &=\class{xm-given}{5x^4 - x^{-2}}. \end{align*}

Calcule: \[ \ddx \left (\frac {3}{\sqrt [3]{x}}-2\sqrt {x}+\frac {1}{x^7}\right ) \]

Escreva comigo \begin{align*} \ddx &\left (\frac {3}{\sqrt [3]{x}}-2\sqrt {x}+\frac {1}{x^7}\right )\\ &= 3\ddx x^{-1/3} -2\ddx x^{1/2}+\ddx x^{-7}\\ &=\class{xm-given}{-x^{-4/3} - x^{-1/2}-7x^{-8}}. \end{align*}