A derivada como função

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Aqui estudamos a derivada de uma função como uma função por si só.

1 A derivada de uma função, como função

Primeiro, precisamos encontrar uma definição alternativa para $f'(a)$, a derivada de uma função $f$ em $a$.

Vamos começar com a taxa de variação média da função $f$ quando a entrada varia de $a$ a $x$. Vamos introduzir uma nova variável, $h$, para denotar a diferença entre $x$ e $a$. Isto é, $x-a=h$ ou $x=a+h$. Dê uma olhada na figura abaixo.

Agora podemos escrever \[ {\text {taxa de variação média }}=\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac {f(a+h)-f(a)}{h} \] O que acontece se $h\to 0$? Em outras palavras, qual é o significado do limite \[ \lim _{h\to 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h}?\] Esse limite representa $f'(a)$, a taxa de variação instantânea de $f$ em $a$! Portanto, temos uma maneira alternativa de escrever a definição da derivada no ponto $a$, a saber, \[ f'(a) = \lim _{h\to 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h}. \]

Seja $f(x) = x^2-2x$. Usando a expressão alternativa para a derivada, determine a inclinação da reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $(2,f(2))$.

A inclinação da reta tangente é dada pela derivada, $f'(2)$. \[ f'(2) = \lim _{h\to 0}\frac {f\left (\class{xm-given}{2+h}\right )-f\left (2\right )}{h}. \] Agora substitua a função que conhecemos, \[ f'(2) = \lim _{h\to 0}\frac {(2+h)^2-2(2+h) -0}{h}.\] Agora expanda o numerador da fração, \[ f'(2) =\lim _{h\to 0} \frac {4+4h+h^2-4-2h }{h}. \] Agora combine os termos semelhantes, \[ f'(2) = \lim _{h\to 0} \frac {2h+h^2}{h}.\] Coloque $h$ em evidência em todos os termos do numerador, \[ f'(2) = \lim _{h\to 0}\frac {\cancel {h}\left (2+h\right )}{\cancel {h}}. \] Calcule o limite, \[ f'(2) = \lim _{h\to 0}(2+h)=\class{xm-given}{2}. \]

Essa definição alternativa da derivada de $f$ em $a$, a saber, \[ f'(a) = \lim _{h\to 0}\frac {f(a+h)-f(a)}{h}, \] (desde que o limite exista), nos permite definir $f'(x)$ para qualquer valor de $x$, \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h},\] (desde que o limite exista).

É assim que definimos uma nova função, $f'$, a derivada de $f$. O domínio de $f'$ consiste em todos os pontos do domínio de $f$ em que a função $f$ é derivável. O valor $f'(x)$ nos dá a taxa de variação instantânea de $f$ em qualquer ponto $x$ do domínio de $f'$.

Dada uma função $f$ de algum conjunto de números reais nos números reais, a derivada $f'$ também é uma função de algum conjunto de números reais nos números reais. Entender a relação entre as funções $f$ e $f'$ nos ajuda a entender qualquer situação (real ou imaginária) que envolva valores que variam.

Dada a função $f(x) = 3x+2$, determine $f'(x)$.

Comece com a definição de $f'(x)$ \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(\class{xm-given}{x})}{h}. \] Substitua $f$ pela sua fórmula, \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {3(x+h)+2-\left (\class{xm-given}{3x+2}\right )}{h}. \] Simplifique o numerador, \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {3\cancel {h}}{\cancel {h}}. \] Calcule o limite. \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}{3}=\class{xm-given}{3}. \]

Dada a função $f(x) = |x|$, determine $f'(x)$.

Lembre-se de que o domínio de $f$ é $(-\infty , \infty )$ e que $f$ pode ser vista como uma função definida por partes, já que \[ f(x) = |x|= \begin{cases} \class{xm-given}{-x} &\text {se $x<0$,}\\ \class{xm-given}{x} &\text {se $x\ge 0$}. \end{cases} \] Primeiro vamos calcular $f'(x)$ quando $x>0$. Comece com a definição de $f'(x)$ \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(\class{xm-given}{x})}{h}.\] Substitua $f$ pela sua fórmula, \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {|x+h|-\class{xm-given}{|x|}}{h}. \] \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {x+h-\class{xm-given}{x}}{h}.\] Observação: quando $x>0$, então, para todos os valores suficientemente pequenos de $h$, segue que $x+h>0$. Portanto, $|x+h|=x+h$. Agora temos \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {h}{h}= \lim _{h\to 0}\class{xm-given}{1}=\class{xm-given}{1}.\]

Em seguida, calculamos a derivada $f'(x)$ quando $x<0$. \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(\class{xm-given}{x})}{h}. \] Substitua $f$ pela sua fórmula, \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {|x+h|-\class{xm-given}{|x|}}{h}. \] \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {-x-h-\class{xm-given}{-x}}{h}. \] Observação: quando $x<0$, então, para todos os valores suficientemente pequenos de $h$, segue que $x+h<0$. Portanto, $|x+h|=-(x+h)=-x-h$. Isso nos dá \[ f'(x) = \lim _{h\to 0}\frac {-h}{h}= \lim _{h\to 0}\class{xm-given}{-1}=\class{xm-given}{-1}.\]

O que falta fazer é verificar se a derivada $f'(0)$ existe. Comece com a definição de $f'(0)$ \[ f'(0) = \lim _{h\to 0}\frac {f(0+h)-f(\class{xm-given}{0})}{h}. \] Substitua $f$ pela sua fórmula, \[ f'(0) = \lim _{h\to 0}\frac {|0+h|-\class{xm-given}{|0|}}{h}.\] \[ f'(0) = \lim _{h\to 0}\frac {|h|}{h}. \] Observação: quando $h>0$, então $|h|=h$, mas, quando $h<0$, então $|h|=-h$. Portanto, em vez de calcular o limite acima, vamos calcular os dois limites laterais e compará-los.

\[ \lim _{h\to 0^+}\frac {|h|}{h}= \lim _{h\to 0^+}\frac {h}{h}=\lim _{h\to 0^+}\class{xm-given}{1}=\class{xm-given}{1}; \] \[ \lim _{h\to 0^-}\frac {|h|}{h}= \lim _{h\to 0^-}\frac {-h}{h}=\lim _{h\to 0^-}\class{xm-given}{-1}=\class{xm-given}{-1};\] Como os dois limites laterais não são iguais, segue que \[ \lim _{h\to 0}\frac {|h|}{h} {\text { NÃO EXISTE!}}\] Portanto, $f'(0)$ NÃO EXISTE, o que significa que $f$ NÃO É DERIVÁVEL em $x=0$!

Resumindo, \[ f'(x) = \begin{cases} \class{xm-given}{-1} &\text {se $x<0$,}\\ \class{xm-given}{1} &\text {se $x> 0$}. \end{cases} \]

É verdade que, para qualquer função $f$, o domínio de $f'$ é igual ao domínio de $f$?

sim não

Isso não é verdade. Considere a função $f(x)=|x|$. O domínio de $f$ é $(-\infty , \infty )$ e o domínio de $f'$ é $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$

Esse exemplo mostra que uma função $f$ e sua derivada, $f'$, podem ter domínios diferentes.

Duas funções diferentes, digamos, $f$ e $g$, podem ter a mesma derivada?

sim não

Muitas funções diferentes podem ter a mesma derivada. Considere duas funções diferentes, $f$ e $g$, definidas por
$f(x)=x$ e $g(x)=x+5$. Então, $f'(x)=1$ e $g'(x)=1$, para todos os números reais $x$.
Logo, as derivadas dessas duas funções diferentes são iguais.

Vamos comparar os gráficos de $f$ e $f'$ para as derivadas que calculamos até agora:

\[f(x)=x^2, f'(x)=2x\]

\[f(x)=3x+2, f'(x)=3\]

\[f(x)=|x|, f'(x)=\begin{cases} 1 & \text {for } x>0 \\ -1 & \text {for } x<0 \end{cases}\]

Para cada um dos três pares de funções, descreva $y=f(x)$ quando $f'$ é positiva e quando $f'$ é negativa.
Quando $f'$ é positiva, $y=f(x)$ é positivacrescentenegativadecrescente. Quando $f'$ é negativa, $y=f(x)$ é positivacrescentenegativadecrescente

Aqui vemos o gráfico de $f'$, a derivada de alguma função $f$.

Qual dos gráficos a seguir poderia ser $y = f(x)$?