Derivabilidade implica continuidade

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Vemos que, se uma função é derivável em um ponto, então ela deve ser contínua nesse ponto.

Há conexões entre continuidade e derivabilidade.

Derivabilidade implica continuidade Se $f$ é uma função derivável em $x = a$, então $f$ é contínua em $x=a$.

Para explicar por que isso é verdade, vamos usar a seguinte definição da derivada \[ f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a}. \] Supondo que $f'(a)$ existe, queremos mostrar que $f(x)$ é contínua em $x=a$; logo, devemos mostrar que \[ \lim _{x\to a} f(x) = f(a). \] Começando com \[ \lim _{x\to a} \left (f(x) - f(a)\right ) \] multiplicamos e dividimos por $(x-a)$ para obter \begin{align*} &= \lim _{x\to a} \left ((x-a)\frac {f(x) - f(a)}{x-a}\right ) \\ &= \left (\lim _{x\to a} (x-a) \right ) \left (\lim _{x\to a}\frac {f(x) - f(a)}{x-a}\right ) &\text {Lei dos limites.} \\ &= \class{xm-given}{0}\cdot f'(a) = \class{xm-given}{0}. \end{align*}

Como \[ \lim _{x\to a}\left (f(x) - f(a)\right ) = 0 , \] aplicamos a lei da diferença ao lado esquerdo \[ \lim _{x\to a}f(x) - \lim _{x\to a}f(a) = 0 , \] e usamos a continuidade de uma constante para obter que \[ \lim _{x\to a}f(x) - f(a) = 0 . \] Em seguida, somamos $f(a)$ aos dois lados e obtemos \[ \lim _{x\to a}f(x) = f(a). \] Agora vemos que $\lim _{x\to a} f(x) = f(a)$, e portanto $f$ é contínua em $x=a$.

Esse teorema é frequentemente escrito na forma de sua contrapositiva:

Se $f(x)$ não é contínua em $x=a$, então $f(x)$ não é derivável em $x=a$.

Pelo teorema acima, vemos que todas as funções deriváveis em $(-\infty , \infty )$ são contínuas em $(-\infty , \infty )$. No entanto, existem funções contínuas em $(-\infty , \infty )$ que não são deriváveis em $(-\infty , \infty )$.

Qual das funções a seguir é contínua, mas não derivável em $(-\infty , \infty )$?

$x^2$ $\lfloor x \rfloor $ $|x|$ $\frac {\sin (x)}{x}$

Considere \[ f(x) = \begin{cases} x^2 &\text {se $x<3$,}\\ mx+b &\text {se $x\ge 3$.} \end{cases} \] Quais valores de $m$ e $b$ tornam $f$ derivável em $x=3$?

Para começar, sabemos que $f$ deve ser contínua em $x=3$, já que precisa ser derivável nesse ponto. Vamos começar tornando $f$ contínua em $x=3$. Escreva comigo: \begin{align*} \lim _{x\to 3^-} f(x) &= \class{xm-given}{9}\\ \lim _{x\to 3^+} f(x) &= \class{xm-given}{m 3 + b}\\ f(3) &= \class{xm-given}{m 3 + b} \end{align*}

Logo, para que a função seja contínua, devemos ter \[ m\cdot 3 + b =9.\] Também precisamos garantir que a função seja derivável em $x=3$. Em outras palavras, temos de garantir que o seguinte limite exista \[ \lim _{x\to 3}\frac {f(x)-f(3)}{x-3}.\]

Para calcular esse limite, temos de calcular os dois limites laterais \[ \lim _{x\to 3^{+}}\frac {f(x)-f(3)}{x-3} \] e \[ \lim _{x\to 3^{-}}\frac {f(x)-f(3)}{x-3}, \] já que $f(x)$ muda de expressão em $x=3$. Escreva comigo \begin{align*} \lim _{x\to 3^{-}}\frac {f(x)-f(3)}{x-3}&= \lim _{x\to 3}\frac {x^2 -9}{x-3}\\ &= \lim _{x\to 3^{-}}\frac {\cancel {(x-3)}(x+3)}{\cancel {x-3}}\\ &= \lim _{x\to 3^{-}}\left (x+3\right )\\ &=6, \end{align*}

e \begin{align*} \lim _{x\to 3^{+}}\frac {f(x)-f(3)}{x-3}&= \lim _{x\to 3}\frac {mx+b -(3m+b)}{x-3}\\ &= \lim _{x\to 3^{+}}\frac {mx-3m}{x-3}\\ &= \lim _{x\to 3^{+}}\frac {m\cancel {(x-3)}}{\cancel {x-3}}\\ &= \lim _{x\to 3^{+}}m\\ &=m. \end{align*}

Logo, devemos ter \[ m=6.\] Ah! Então agora a equação que deve ser satisfeita \begin{align*} 9 &= m\cdot 3 + b,\\ becomes\hspace {0.3in} 9 &= 6\cdot 3 + b.\\ \end{align*}

Portanto, $b=\class{xm-given}{-9}$. Assim, tomar $m=\class{xm-given}{6}$ e $b=\class{xm-given}{-9}$ nos dá uma função que é derivável (e, portanto, contínua) em $x=3$.

Podemos dizer, a partir do gráfico, se a função é ou não derivável em um ponto $a$?

Como pode ser o gráfico de uma função $f$ quando $f$ não é derivável em $a$?

Cada uma das figuras A-D mostra uma função que não é derivável em $a=1$.

A função na figura A não é contínua em $a$ e, portanto, não é derivável nesse ponto.

Nas figuras $B$–$D$ as funções são contínuas em $a$, mas, em cada caso, o limite \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a} \] não existe, cada vez por uma razão diferente.

Na figura $B$ \[ \lim _{x\to a^{+}} \frac {f(x)-f(a)}{x-a}\ne \lim _{x\to a^{-}} \frac {f(x)-f(a)}{x-a}. \]

Na figura $C$ \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a}=\infty . \] Na figura $D$ os dois limites laterais não existem e nenhum deles é infinito.

Então, se no ponto $a$ uma função tem um “salto” no gráfico, ou um bico, ou algo que se parece com uma “reta tangente vertical”, ou se ela oscila rapidamente perto de $a$, então a função não é derivável em $a$.