Devyn está certo Riley está certo Os dois estudantes
estão certos Nenhum dos dois está certo
Os dois estudantes estão certos! A
aparente discrepância vem do fato de que o “+C” em cada caso é diferente!
\(
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\)
Neste ponto, temos três integrais “diferentes”.
Neste ponto, temos três “integrais” diferentes. Vamos ver se conseguimos esclarecer as diferenças.
1 Integrais indefinidas
Uma integral indefinida, também chamada de antiderivada, calcula classes de funções: \[ \int f(x) \d x = \text {``uma classe de funções cuja derivada é $f$''} \] Aqui não há limites de integração, e sua resposta terá um “\(+C\)” no final. Preste atenção à notação:
![[Picture]](/rendered/secondFundamentalTheoremOfCalculus/digInATaleOfThreeIntegrals-06234d401dc1213f3e6a7ded615b644c.svg)
Onde \(F'(x) = f(x)\).
Integrais indefinidas têmnão têm limites de integração, e elas
calculam área com sinaluma antiderivadauma classe de antiderivadas.
Dois estudantes, digamos Devyn e Riley, estão trabalhando com a seguinte integral
indefinida: \[ \int \frac {2}{x\ln (x^2)}\d x \] Devyn calcula a integral como \[ \int \frac {2}{x\ln (x^2)}\d x = \ln |\ln |x^2|| + C \] e Riley calcula a integral como \[ \int \frac {2}{x\ln (x^2)}\d x = \ln |\ln |x|| + C. \] Qual dos
estudantes está certo?
2 Funções acumulação
Uma função acumulação, também chamada de função área, calcula a área acumulada: \[ \int _a^x f(t) \d t = \text {``uma função $F$ cuja derivada é $f$''} \] Esta é uma função de \(x\) cuja derivada é \(f\), com a propriedade adicional de que \(F(a)=0\). Preste atenção à notação:
![[Picture]](/rendered/secondFundamentalTheoremOfCalculus/digInATaleOfThreeIntegrals-fffdff6b2c6e930491a295f09f681c94.svg)
Onde \(F'(x) = f(x)\).
Funções acumulação têmnão têm limites de integração, e elas calculam área com sinaluma antiderivadauma classe de antiderivadas.
Verdadeiro ou
falso: existe uma função \(f\) tal que \[ \int _0^x f(t) \d t = e^x \]
verdadeiro falso
Seja \[ F(x) = \int _0^x f(t) \d t, \] esta é uma função
acumulação e \(F(0) = 0\), já que nenhuma área foi acumulada ainda. No entanto, \(e^0 =1\). Logo, não
pode existir tal função \(f\). Por outro lado, existe uma função \(g\) com \[ \int _0^x g(t) \d t = e^x-1 \] a saber, \(g(x) = e^x\).
Essa sutileza vem do fato de que uma função acumulação \[ F(x) = \int _a^x f(t) \d t \] fornece uma
antiderivada específica de \(f\), aquela que, quando avaliada em \(x=a\), vale zero.
3 Integrais definidas
Uma integral definida calcula área com sinal: \[ \int _a^b f(x) \d x = \text {``a área com sinal entre o eixo $x$ e $f$''} \] Aqui sempre temos limites de integração, e ambos são números. Além disso, integrais definidas têm valores definidos, a área com sinal entre \(f\) e o eixo \(x\). Preste atenção à notação:
![[Picture]](/rendered/secondFundamentalTheoremOfCalculus/digInATaleOfThreeIntegrals-f2d7b170f0baa0d29dc4968b4f940f58.svg)
Onde \(F'(x) = f(x)\).