Para cada entrada, exatamente uma saída

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Nós vamos definir o conceito de uma função.

A vida é complexa. Parte dessa complexidade vem do fato de que existem muitas relações entre eventos aparentemente desconexos. Munidos da matemática, buscamos compreender o mundo. Talvez a relação “do mundo real” mais relevante seja

a posição de um objeto em função do tempo.

Nossas observações parecem indicar que cada instante de tempo está associado a um único posicionamento dos objetos no universo. Você talvez já tenha ouvido o ditado

não se pode estar em dois lugares ao mesmo tempo,

e é esse fato que motiva a nossa definição de função.

Uma função é uma relação entre conjuntos em que, para cada entrada, existe exatamente uma saída.

Se a nossa função é a “posição em função do tempo” de algum objeto, então a entrada é

a posição o tempo nenhuma das anteriores

e a saída é

a posição o tempo nenhuma das anteriores

Algo tão simples quanto um dicionário poderia ser pensado como uma relação, já que ele associa palavras a definições. No entanto, um dicionário não é uma função, pois há palavras com várias definições. Por outro lado, se cada palavra tivesse uma única definição, então um dicionário seria uma função.

Quais das alternativas a seguir são funções?

Associar palavras à sua definição em um dicionário. Dado um objeto se deslocando pelo espaço, associar o tempo à posição do objeto no espaço. Associar pessoas à sua data de nascimento. Associar mães aos seus filhos.

Como as palavras podem ter mais de uma definição, “relacionar palavras à sua definição em um dicionário” não é uma função.
Como, em qualquer instante dado, os objetos não podem estar “em dois lugares ao mesmo tempo”, isto é uma função.
Como cada pessoa tem apenas uma data de nascimento, “relacionar pessoas à sua data de nascimento” é uma função.
Como as mães podem ter mais (ou menos) de um filho, “relacionar mães aos seus filhos” não é uma função.

O que esperamos convencê-lo é de que as afirmações a seguir são verdadeiras:

(a): A definição de função está bem fundamentada em um contexto real.
(b): A definição de função é flexível o bastante para poder ser usada na modelagem de uma ampla gama de fenômenos.

Sempre que falamos de funções, devemos dizer explicitamente que tipo de coisas são as entradas e que tipo de coisas são as saídas. Em cálculo, as funções frequentemente definem uma relação de (um subconjunto de) os números reais (denotados por $\RR $) em (um subconjunto de) os números reais.

Chamamos o conjunto das entradas de uma função de domínio, e chamamos o conjunto das saídas de uma função de imagem.

Considere a função $f$ que leva os números reais nos números reais tomando um número e associando-o ao seu cubo:

\begin{align*} 1 &\mapsto 1\\ -2 &\mapsto -8\\ 1.5 &\mapsto 3.375 \end{align*}

e assim por diante. Essa função pode ser descrita pela fórmula $f(x)=x^3$ ou pelo gráfico mostrado na figura abaixo:

Uma função é uma relação (tal que, para cada entrada, existe exatamente uma saída) entre conjuntos. A fórmula e o gráfico são apenas descrições dessa relação.

Uma fórmula descreve a relação usando símbolos.
Um gráfico descreve a relação usando figuras.

A função é a relação em si, e independe de como ela é descrita.

Nosso próximo exemplo talvez seja uma função nova para você. É a função maior inteiro.

Considere a função maior inteiro. Essa função associa a cada número real $x$ o maior inteiro menor do que ou igual a $x$.

Às vezes as pessoas escrevem isso como $f(x) = \lfloor x\rfloor $, em que esses símbolos esquisitos significam exatamente as palavras acima que descrevem a função. Para o seu deleite visual, aqui está um gráfico da função maior inteiro:

Observe que aqui temos várias entradas que produzem a mesma saída. Isso não é um problema! Para ser uma função, basta verificar que, para cada entrada, existe exatamente uma saída, e essa condição está satisfeita.

Calcule:

\[ \lfloor 2.4 \rfloor \begin{prompt} =\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \end{prompt} \]

Calcule:

\[ \lfloor -2.4 \rfloor \begin{prompt} =\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \end{prompt} \]

Note que ambas as funções descritas acima passam no chamado teste da reta vertical.

A curva $y=f(x)$ representa $y$ como função de $x$ em $x=a$ se, e somente se, a reta vertical $x=a$ intersecta a curva $y=f(x)$ em exatamente um ponto. Isso é chamado de teste da reta vertical.

Às vezes o domínio e a imagem são o conjunto inteiro dos números reais, que em notação de intervalo é denotado por $(-\infty , \infty )$. Nos próximos exemplos, mostramos que nem sempre é esse o caso. (Ocasionalmente você verá uma notação alternativa para o conjunto de todos os números reais, $\RR $. Para os nossos propósitos, conjuntos como o domínio e a imagem devem ser dados em notação de intervalo.)

Considere a função que associa a cada número real não negativo a sua raiz quadrada positiva. Essa função pode ser descrita pela fórmula

\[ f(x) = \sqrt {x}. \]

O domínio é $0\le x<\infty $, que escrevemos em notação de intervalo como $[0,\infty )$. A imagem é $[0,\infty )$. Aqui está um gráfico de $y=f(x)$:

Para realmente evidenciar a diferença entre uma função e a sua descrição, vamos considerar um exemplo de uma função com duas descrições diferentes.

Explique por que $\sqrt {x^2} = |x|$.

Embora $\sqrt {x^2}$ possa parecer se simplificar para apenas $x$, vamos ver o que acontece quando substituímos alguns valores.

\[ \begin{aligned} \sqrt {3^2} &= \sqrt {9}\\ &=3, \end{aligned} \qquad \text {e}\qquad \begin{aligned} \sqrt {(-3)^2} &= \sqrt {9}\\ &=3. \end{aligned} \]

Seja $f(x)=\sqrt {x^2}$. Vemos que, para qualquer $x$ negativo, $x=-|x|$ e, portanto, $f(x)=f(-|x|)=\sqrt {(-|x|)^2}=\sqrt {|x|^2}=\class{xm-given}{|x|}$. Logo $\sqrt {x^2}\ne x$. Em vez disso, vemos que $\sqrt {x^2} = |x|$. O domínio de $f(x)=\sqrt {x^2}$ é $(-\infty ,\infty )$ e a imagem é $[0,\infty )$. Para o seu deleite visual, incluímos um gráfico de $y=f(x)$:

Por fim, vamos considerar uma função cujo domínio é o conjunto de todos os números reais exceto um único ponto.

As funções

\[ f(x) = \frac {x^2 - 3x + 2}{x-2} = \frac {(x-2)(x-1)}{(x-2)} \]

\[ g(x) = x-1 \]

são a mesma função?

Vamos usar uma sequência de passos para pensar sobre essa pergunta. Primeiro, e se compararmos os gráficos? Aqui vemos um gráfico de $f$:

Por outro lado, aqui está um gráfico de $g$:

Segundo, e se compararmos os domínios? Não podemos calcular $f$ em $x=\class{xm-given}{2}$. É aí que $f$ não está definida. Por outro lado, não há nenhum valor de $x$ em que não possamos calcular $g$. Em outras palavras, o domínio de $g$ é $(-\infty , \infty )$.

Como essas duas funções não têm o mesmo gráfico e não têm o mesmo domínio, elas não podem ser a mesma função.

No entanto, se olharmos para as duas funções em todos os pontos exceto em $x = 2$, podemos dizer que $f(x)=g(x)$. Em outras palavras,

\[ f(x)=x-1\qquad \text {quando}\qquad \text {$x \ne 2$}. \]

Com esse exemplo, vemos que é fundamental levar em conta o domínio e a imagem de uma função.