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\(
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\)
Aqui vemos uma consequência de uma função ser contínua.
O teorema do valor intermediário não deve ser tratado com descaso. Depois de compreendido, ele pode parecer “óbvio”, mas os matemáticos não devem subestimar o seu poder.
Teorema do valor intermediário Se \(f\) é uma função contínua para todo \(x\) no intervalo
fechado \([a,b]\) e \(d\) é qualquer valor estritamente entre \(f(a)\) e \(f(b)\), então existe um número \(c\) em \((a, b)\) tal
que \(f(c) = d\).
Se você é uma pessoa mais visual, imagine uma função contínua da qual você conhece o valor em duas extremidades, \(x=a\) e \(x=b\), mas não sabe realmente o que a função faz entre os pontos \(x=a\) e \(x=b\):
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O teorema do valor intermediário diz que, apesar de você não saber realmente o que a função está fazendo entre as extremidades, existe um ponto \(x=c\) que fornece um valor intermediário para \(f\).
Agora, vamos contrastar isso com uma situação em que a conclusão do teorema do valor intermediário não vale.
Considere a seguinte situação, e selecione todas as afirmações verdadeiras:
Com base na pergunta acima, não é difícil perceber que cada uma das hipóteses do teorema do valor intermediário é necessária.
Vamos ver o teorema do valor intermediário em ação.
Explique por que a função \(f(x)=x^3 + 3x^2+x-2\) tem um zero entre \(0\) e \(1\).
Como \(f\) é um polinômio, vemos que \(f\) é contínua para todos os números reais.
Vamos aplicar o TVI aqui. Sejam \(a=\class{xm-given}{0}\), \(b=\class{xm-given}{1}\) e \(d=\class{xm-given}{0}\), já que \(f(a)=f(0)=\class{xm-given}{-2}\), \(f(b)=f(1)=\class{xm-given}{3}\) e \(0\) está entre \(f(a)=-2\) e \(f(b)=3\). Então, pelo
teorema do valor intermediário, existe um ponto \(c\) no intervalo \((0,1)\) tal que \(f(c)=d=\class{xm-given}{0}\).
Este exemplo também aponta o caminho para um método simples de aproximar raízes.
Aproxime uma raiz de \(f(x) =x^3 + 3x^2+x-2\) entre \(0\) e \(1\) com precisão de uma casa decimal.
Novamente, como \(f\) é um polinômio, vemos que \(f\) é contínua para todos os números
reais. Considere a tabela \[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0.1 & -1.869\\ 0.2 &-1.672\\ 0.3 & -1.403\\ 0.4 & -1.056\\ 0.5 & -0.625\\ 0.6 & -0.104\\ 0.7 & 0.513 \end{array} \] Pelo teorema do valor intermediário, \(f\) tem uma raiz entre \(0.6\) e
\(0.7\). Repetindo o processo \[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0.61 &-0.046719\\ 0.62 & 0.011528 \end{array} \] e usando o teorema do valor intermediário, podemos concluir
que \(f\) tem uma raiz entre \(0.61\) e \(0.62\), e a raiz é \(0.6\) arredondada para uma casa decimal.
O teorema do valor intermediário pode ser usado para mostrar que curvas se cruzam:
Explique por que os gráficos das funções \(f(x) = x^2\ln (x)\) e \( g(x) = 2x\cos (\ln (x))\) se intersectam no intervalo \([1,e]\).
Para
começar, observe que tanto \(f\) quanto \(g\) são funções contínuas no intervalo \([1,e]\) e, portanto, \(h = f-g\)
também é uma função contínua no intervalo \([1,e]\). Agora \begin{align*} h(1) &= f(1) - g(1) \\ &= (\class{xm-given}{1})^2\cdot \ln (\class{xm-given}{1}) - 2\cdot \class{xm-given}{1}\cdot \cos (\ln (\class{xm-given}{1}))\\ &= \class{xm-given}{-2}. \end{align*}
e, de modo semelhante, \begin{align*} h(e) &= f(e) - g(e) \\ &= e^2\cdot \class{xm-given}{1} - 2\cdot e\cos (\class{xm-given}{1}) \end{align*}
Como \(e>2\) e \(0 < \cos (1)<1\), vemos que a expressão acima é positiva. Portanto, \(h(1)<0<h(e)\) e, pelo teorema do valor intermediário, existe um número \(c\) em \((1,e)\) tal que \[h(c)=0.\] Mas isso significa que \[ f(c)-g(c)=0, \] e que \(f(c)=g(c)\). Portanto, as curvas \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) se intersectam no ponto \((c,f(c))\).
Podemos ver esse ponto de interseção olhando para os gráficos de \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\) no intervalo dado. \[ \graph [xmin=1,xmax=e,ymin=-10,ymax=10]{x^2\ln (x), 2x\cos (\ln (x))} \]
Agora passamos a um exemplo mais sutil:
Suponha que você tenha dois gatos, Roxy e Yuri. Existe algum instante em
que Roxy e Yuri têm a mesma quantidade de água em seus potes, supondo
que:
- Eles começam e terminam de beber nos mesmos instantes.
- Roxy começa com mais água do que Yuri e deixa menos água sobrando em seu pote do que Yuri.
Para resolver este problema, considere duas funções:
- \(W_{\mathrm {Roxy}}(t) =\) a quantidade de água no pote de Roxy no instante \(t\).
- \(W_{\mathrm {Yuri}}(t) =\) a quantidade de água no pote de Yuri no instante \(t\).
Agora, se \(t_\mathrm {início}\) é o instante em que os gatos começam a beber e \(t_\mathrm {fim}\) é o instante em que os gatos terminam de beber, então temos \[ W_\mathrm {Roxy}(t_\mathrm {início})-W_{\mathrm {Yuri}}(t_\mathrm {início}) > 0\] e \[ W_\mathrm {Roxy}(t_\mathrm {fim})-W_{\mathrm {Yuri}}(t_\mathrm {fim}) < 0. \] Como a quantidade de água em um pote no instante \(t\) é uma função contínua, já que a água é “lambida” em quantidades contínuas, \[ W_\mathrm {Roxy}-W_{\mathrm {Yuri}} \] é uma função contínua e, portanto, o teorema do valor intermediário se aplica. Como \(W_\mathrm {Roxy}-W_{\mathrm {Yuri}}\) é positiva em \(t_\mathrm {início}\) e negativa em \(t_\mathrm {fim}\), existe algum instante \(t_\mathrm {igual}\) em que o valor é zero, ou seja, \[ W_\mathrm {Roxy}(t_\mathrm {igual})- W_{\mathrm {Yuri}}(t_\mathrm {igual}) =0 \] o que significa que há a mesma quantidade de água em cada um dos potes.
E, finalmente, um exemplo em que o teorema do valor intermediário não se aplica.
Suponha que você tenha dois gatos, Roxy e Yuri. Existe algum instante em que
Roxy e Yuri têm a mesma quantidade de ração seca em seus potes, supondo
que:
- Eles começam e terminam de comer nos mesmos instantes.
- Roxy começa com mais ração do que Yuri e deixa menos ração sem comer do que Yuri.
Aqui poderíamos tentar a mesma abordagem de antes, definindo:
- \(F_{\mathrm {Roxy}}(t) =\) a quantidade de ração seca no pote de Roxy no instante \(t\).
- \(F_{\mathrm {Yuri}}(t) =\) a quantidade de ração seca no pote de Yuri no instante \(t\).
No entanto, neste caso, a quantidade de ração em um pote no instante \(t\) não é uma função contínua! Isso porque a ração seca consiste em grãos discretos e não é comida de maneira contínua. Logo, o teorema do valor intermediário não se aplica, e não podemos fazer nenhuma afirmação definitiva a respeito da pergunta acima.
Para uma leitura extra interessante, confira: