\(
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\)
Aqui discutimos como posição, velocidade e aceleração se relacionam com as
derivadas de ordem superior.
Estudar funções e suas derivadas pode parecer algo um tanto abstrato. No entanto, considere esta passagem de um livro de física:
Supondo que a aceleração \(a\) seja constante, podemos escrever a velocidade e a posição como \begin{align*} v(t) &= v_0 + at,\\ x(t) &= x_0 + v_0 t + (1/2) a t^2, \end{align*}
onde \(a\) é a aceleração (constante), \(v_0\) é a velocidade no instante zero e \(x_0\) é a posição no instante zero.
Essas equações modelam a posição e a velocidade de qualquer objeto com aceleração constante. Em particular, essas equações podem ser usadas para modelar o movimento de um objeto em queda, já que a aceleração devida à gravidade é constante.
O cálculo nos permite ver a conexão entre essas equações. Primeiro, observe que a derivada da fórmula da posição em relação ao tempo é a fórmula da velocidade em relação ao tempo. \[ x'(t) = v_0 + at = v(t). \] Além disso, a derivada da fórmula da velocidade em relação ao tempo é simplesmente \(a\), a aceleração.
Uma bola foi lançada no instante \(t=0\). Suponha que \(s(t)\) represente a posição
da bola no instante \(t\). Lembrando que a aceleração para \(t>0\) se deve apenas à
gravidade, e sabendo que a aceleração devida à gravidade é \(-9.8~\mathrm {m}/\mathrm {s}^2\), quanto vale \(s''(t)\)? \[ s''(t) = \class{xm-given}{-9.8} \]
Você fez recentemente uma viagem de carro de Columbus, Ohio, até Urbana-Champaign,
Illinois. A distância percorrida a partir de Columbus, Ohio, é modelada
aproximadamente por: \[ s(t) = 36t^2 -4.8t^3 \qquad \text {(milhas a oeste de Columbus)} \] onde \(t\) é medido em horas e está entre \(0\) e \(6\). Determine uma
fórmula para a sua aceleração.