Estudamos um tipo especial de equação diferencial.
Uma equação diferencial é simplesmente uma equação que contém uma derivada,
como esta: \[ f'(x) = k f(x). \] Quando um matemático resolve uma equação diferencial, ele está
encontrando uma função que satisfaz a equação.
Considere um objeto em queda. Lembre-se de que a aceleração da gravidade é de
aproximadamente \(-9.8\) m/s\(^2\). Como a primeira derivada da função velocidade é a
aceleração e a segunda derivada de uma função posição é a aceleração, temos as
equações diferenciais \begin{align*} v'(t) &= -9.8,\\ s''(t) &= -9.8. \end{align*}
A partir dessas equações simples, podemos obter expressões para a velocidade e para
a posição do objeto usando antiderivadas.
Uma bola é lançada para cima com velocidade inicial de \(15\) m/s. Qual é a velocidade
da bola após 1 segundo? E após 2 segundos?
Sabendo que a aceleração da gravidade
é \(-9.8\) m/s\(^2\), escrevemos \[ v'(t) = \class{xm-given}{-9.8}. \] Para resolver essa equação diferencial, tome a antiderivada de
ambos os lados \begin{align*} \int v'(t) \d t &= \int \class{xm-given}{-9.8} \d t\\ v(t) &= \class{xm-given}{-9.8 t} + C. \end{align*}
Como a bola é lançada para cima com velocidade inicial de \(15\) m/s, \[ \class{xm-given}{15} = v(0) = -9.8\cdot 0 + C, \] e vemos que \(C=\class{xm-given}{15}\).
Portanto, \(C\) representa a velocidade inicial da bola. Logo, \(v(t) = -9.8t + 15\).
Agora, quando \(t=1\), \(v(1) = 5.2\) m/s, e a bola está subindo; e em \(t=2\), \(v(2) = -4.6\) m/s, e a bola está caindo.
Agora vamos resolver um problema parecido, mas, em vez de encontrar a velocidade,
vamos encontrar a posição.
Uma bola é lançada para cima com velocidade inicial de \(15\) m/s a partir de uma altura
de 2 metros. Quando a bola atinge o chão?
Sabendo que a aceleração da gravidade é \(-9.8\)
m/s\(^2\), escrevemos \[ v'(t) = \class{xm-given}{-9.8}. \] Comece tomando a antiderivada de ambos os lados da equação
\begin{align*} \int v'(t) \d t &= \int \class{xm-given}{-9.8} \d t\\ v(t) &= \class{xm-given}{-9.8 t} + C. \end{align*}
Aqui \(C\) representa a velocidade inicial da bola. Como ela é lançada para cima com
velocidade inicial de \(15\) m/s, \(C = 15\) e \[ v(t) = -9.8t + 15. \] Como a velocidade é a derivada da posição, podemos
escrever, de forma equivalente, \[ s'(t) = -9.8t + 15. \] Agora vamos tomar a antiderivada novamente.
\begin{align*} \int s'(t) \d t &= \int \class{xm-given}{-9.8t +15} \d t\\ s(t) &= \class{xm-given}{\frac {-9.8t^2}{2} + 15t} + D. \end{align*}
Como sabemos que a altura inicial era \(2\) metros, escrevemos \[ 2 = s(0) = \frac {-9.8\cdot 0^2}{2} + 15\cdot 0 + D. \] Logo, \(s(t) = \frac {-9.8t^2}{2} + 15t + 2\). Precisamos saber
quando a bola atinge o chão, ou seja, quando \(s(t)=0\). Resolvendo a equação \[ \frac {-9.8t^2}{2} + 15t + 2 = 0 \] encontramos
duas soluções, \(t\approx -0.1\) e \(t\approx 3.2\). Descartando a solução negativa, vemos que a bola atingirá o chão
após aproximadamente \(3.2\) segundos.
O poder do cálculo está em nos libertar da memorização mecânica de fórmulas e nos
permitir deduzir o que precisamos.