Esse cenário nos dará uma aproximação bem grosseira do deslocamento, mas é um bom ponto de partida. \[ \text {deslocamento}\approx v(0)\cdot \Delta t=1\cdot (4-0)=4 \unit {ft}/\unit {s} \] Esse cenário está ilustrado na figura abaixo.

No próximo passo, vamos supor que a velocidade é constante durante os intervalos de tempo de dois segundos \([0,2]\) e \([2,4]\). Em cada um desses dois intervalos, supomos que a velocidade é igual à velocidade no início do intervalo de tempo.

Nesse caso, o objeto se deslocaria \(v(0)\cdot 2 \unit {ft}\) durante o intervalo de tempo \([0,2]\) e, nos dois segundos seguintes, o objeto se deslocaria \(v(2)\cdot 2 \unit {ft}\).

Se denotarmos por \(\Delta t\) o comprimento do intervalo de tempo, podemos aproximar o deslocamento e escrever

\[ \text {displacement}\approx v(0)\cdot \Delta t+v(2)\cdot \Delta t=1\cdot 2+2\cdot 2=\class{xm-given}{6} \unit {ft}/\unit {s} \] Usando a notação de somatório, escrevemos \[ \text {deslocamento}\approx \sum _{k=1}^2v((k-1)\cdot \Delta t)\Delta t \] Como calculamos a velocidade nos pontos amostrais \(t_{k}^*=(k-1)\cdot \Delta t\), \(k=1,2\), também podemos escrever

\[ \text {displacement}\approx \sum _{k=1}^2v(t_{k}^*)\Delta t. \] Esta é uma soma de Riemann à esquerda para a função \(v\) no intervalo \([0,4]\), quando \(n=2\). Esse cenário está ilustrado na figura abaixo.

Sob essa hipótese, durante o primeiro segundo, o objeto se deslocaria \(v(0)\cdot 1 \unit {ft}\); durante o segundo intervalo de tempo de um segundo, o objeto se deslocaria \(v(1)\cdot 1 \unit {ft}\); durante o terceiro segundo, o objeto se deslocaria \(v(2)\cdot 1 \unit {ft}\); e, durante o último segundo, se deslocaria \(v(3)\cdot 1 \unit {ft}\).

Durante todo o intervalo de tempo, o objeto se deslocaria \begin{align*} \text {deslocamento} &\approx v(0)\cdot \Delta t+v(1)\cdot \Delta t+v(2)\cdot \Delta t+v(3)\cdot \Delta t\\ &=\frac {\class{xm-given}{30}}{4} \unit {ft}/\unit {s} \end{align*}

Usando a notação de somatório e o fato de que \(\Delta t=\frac {4-0}{4}=1\), podemos escrever \[ \text {deslocamento}\approx \sum _{k=1}^4v((k-1)\cdot \Delta t)\Delta t \] Novamente, denotamos os pontos amostrais por \(t_{k}^*=(k-1)\cdot \Delta t\), \(k=1,2,3,4\), e escrevemos \[ \text {deslocamento}\approx \sum _{k=1}^4v(t_{k}^*)\Delta t \] Esta é uma soma de Riemann à esquerda para a função \(v\) no intervalo \([0,4]\), quando \(n=4\). Esse cenário está ilustrado na figura abaixo.

Sob essa hipótese, durante o primeiro meio segundo, o objeto se deslocaria \(v(0)\cdot \frac {1}{2} \unit {ft}\); durante o segundo intervalo de tempo de meio segundo, o objeto se deslocaria \(v\left (\frac {1}{2}\right )\cdot \frac {1}{2} \unit {ft}\); durante o terceiro intervalo de meio segundo, o objeto se deslocaria \(v(1)\cdot \frac {1}{2} \unit {ft}\), e assim por diante.

Durante todo o intervalo de tempo, o objeto se deslocaria \begin{align*} \text {deslocamento} &\approx v(0)\Delta t+v\left (\frac {1}{2}\right )\Delta t+ \cdots +v\left (\frac {7}{2}\right )\Delta t\\ &=\class{xm-given}{8.375} \unit {ft} \end{align*}

Usando a notação de somatório e o fato de que \(\Delta t=\frac {4-0}{8}=\frac {1}{2}\), podemos escrever

\[ \text {displacement}\approx \sum _{k=1}^8v((k-1)\cdot \Delta t)\Delta t \] Usando a notação padrão para os pontos amostrais, podemos escrever \[ \text {deslocamento}\approx \sum _{k=1}^8v(t_{k}^*)\Delta t \]

Esta é uma soma de Riemann à esquerda para a função \(v\) no intervalo \([0,4]\), quando \(n=8\). Esse cenário está ilustrado na figura abaixo.

Continuamos aproximando o deslocamento do objeto supondo que a velocidade é constante durante intervalos de tempo de \(4/n\) segundos, com velocidade igual à velocidade no início de cada intervalo de tempo.

Sob essa hipótese, durante o primeiro intervalo de \(\frac {4}{n}\) segundos, o objeto se deslocaria \(v(0)\cdot \frac {4}{n} \unit {ft}\); durante o segundo intervalo de tempo desse tipo, o objeto se deslocaria \(v\left (\frac {4}{n}\right )\cdot \frac {4}{n} \unit {ft}\); durante o terceiro intervalo de tempo, o objeto se deslocaria

\(v\left (2\frac {4}{n}\right )\cdot \frac {4}{n} \unit {ft}\), e assim por diante.

Durante todo o intervalo de tempo, o objeto se deslocaria \begin{align*} \text {deslocamento} \approx v(0)\cdot \Delta t &+v\left (\frac {4}{n}\right )\cdot \Delta t+v\left (2\frac {4}{n}\right )\cdot \Delta t+\cdots \\ &+v\left ((n-1)\frac {4}{n}\right )\cdot \Delta t \end{align*}

Usando a notação de somatório, a notação para o comprimento de cada intervalo de tempo, \(\Delta t=\frac {4-0}{n}=\frac {4}{n}\), e a notação para os pontos amostrais, escrevemos

\[ \text {displacement}\approx \sum _{k=1}^nv((k-1)\cdot \Delta t)\Delta t \] e \[ \text {deslocamento}\approx \sum _{k=1}^nv(t_{k}^*)\Delta t. \] Esta é uma soma de Riemann à esquerda para a função \(v\) no intervalo \([0,4]\).

O que acontece quando fazemos \(n\to \infty \)?

As aproximações ficam cada vez melhores, porque aproximamos a velocidade por uma constante em intervalos de tempo cada vez menores. Portanto, parece razoável escrever

\[ \text {displacement}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^nv(t_k^*)\Delta t \]

Pela definição de integral definida, podemos escrever

\[ \text {displacement}=\int _{0}^{4}v(t)\d t. \]

Isso nos dá outra interpretação da integral definida. A saber,

“integral definida da velocidade em \([a,b]\) = deslocamento em \([a,b]\).”

Por outro lado, o deslocamento de um objeto durante o intervalo de tempo \([0,4]\) é dado por \[ \text {deslocamento}=\text {variação da posição} \]

A variação da posição pode ser escrita em termos de \(s\), a função posição do objeto \[ \text {deslocamento}=s(4)-s(0). \] Mas sabemos que \(s\) é uma antiderivada de \(v\). Portanto, \[ s(t)=\int v(t)\d t=\int \left (\frac {t^2}{4}+1\right )\d t=\frac {t^3}{\class{xm-given}{12}}+\class{xm-given}{t}+C \] Se \(t=0\), obtemos \[ s(0)=C \] Assim, a função posição é dada por \[ s(t)=\frac {t^3}{\class{xm-given}{12}}+\class{xm-given}{t}+s(0). \] Agora podemos calcular o deslocamento \[ \text {deslocamento}=s(4)-s(0)=\frac {\class{xm-given}{28}}{3}. \]

\begin{align*} s(t) &= \int v(t) \d t\\ &= \int \left ( 3\sin (t) + e^t\right ) \d t \\ &= 3\cos (t) + e^t + C \end{align*}

Não nos foi dada uma condição inicial que nos permitisse calcular o valor de \(C\), então vamos deixá-lo como está.

Substituindo \(\pi \) e \(0\) e subtraindo, obtemos: \begin{align*} s(\pi )-s(0) &= \left (3\cos (\pi )+e^\pi + C\right ) - \left (3\cos (0)-e^0+C \right ) \\ &= (-3+e^\pi + C) - (3-1+C)\\ &= \class{xm-given}{-5+e^\pi } \end{align*}

Assim, \[ \int _0^\pi v(t) \d t = -5+e^\pi \unit {meters}\] Observe que o valor real de \(C\) não importou. O termo \(+C\) em \(s(\pi )\) foi cancelado pelo termo \(+C\) em \(s(0)\) após a subtração.