\(
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\)
Aqui calculamos derivadas de composições de funções
Até agora vimos como calcular a derivada de uma função construída a partir de outras funções por adição, subtração, multiplicação e divisão. Há outra maneira muito importante de combinar funções: a composição. A regra da cadeia nos permite lidar com esse caso. Considere \[ h(x) = \sin (1+2x). \] Embora existam várias maneiras diferentes de derivar essa função, se fizermos \(f(x) = \sin (x)\) e \(g(x) = 1+2x\), então podemos escrever \(h(x) = f(g(x))\). A pergunta é: podemos calcular a derivada de uma composição de funções usando as derivadas das funções que a compõem, \(f(x)\) e \(g(x)\)? Para isso, precisamos da regra da cadeia.
Vai ser preciso um pouco de prática para que o uso da regra da cadeia se torne natural; ela é mais complicada do que as regras de derivação que vimos até aqui. Vamos voltar ao nosso exemplo motivador.
Calcule: \[ \ddx \sin (1+2x) \]
Faça \(f(x) = \sin (x)\) e \(g(x) = 1+2x\); então \[ f'(x) = \class{xm-given}{\cos (x)} \qquad \text {e}\qquad g'(x) = \class{xm-given}{2}.\] Logo \begin{align*} \ddx \sin (1+2x) &= \ddx f(g(x))\\ &=f'(g(x))g'(x) \\ &= \cos (\class{xm-given}{1+2x})\cdot \class{xm-given}{2}\\ &= 2\cos (1+2x). \end{align*}
Vamos ver uma cadeia de composições mais complicada.
Calcule: \[ \ddx \sqrt {1+\sqrt {x}} \]
Faça \(f(x)=\sqrt {x}\) e \(g(x)=1+x\). Logo, \[\sqrt {1+\sqrt {x}}=f(g(\class{xm-given}{f}(x))) \] e, pela regra da cadeia, sabemos que \[ \ddx f(g(f(x))) = f'(g(f(x)))g'(f(x))f'(x).\] Como \[ f'(x) = \class{xm-given}{\frac {1}{2\sqrt {x}}} \qquad \text {e}\qquad g'(x) = \class{xm-given}{1} \] temos que \[ \ddx \sqrt {1+\sqrt {x}} = \frac {1}{2\sqrt {1+\sqrt {x}}}\cdot 1\cdot \class{xm-given}{\frac {1}{2\sqrt {x}}}. \]
A regra da cadeia nos permite derivar composições de funções que, de outra forma, seriam difíceis de tratar.
Calcule: \[ \ddx e^{\sin (x^2)} \]
Faça \(f(x) = \class{xm-given}{e^x}\), \(g(x) = \class{xm-given}{\sin (x)}\) e \(h(x) = \class{xm-given}{x^2}\), de modo que \(f(g(h(x))) = e^{\sin (x^2)}\). Agora \begin{align*} \ddx e^{\sin (x^2)} &= \ddx f(g(h(x)))\\ &= f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\\ &= e^{\class{xm-given}{\sin (x^2)}} \cdot \cos (\class{xm-given}{x^2}) \cdot \class{xm-given}{2x}. \end{align*}
Usando a regra da cadeia, a regra da potência e a regra do produto, é possível evitar completamente o uso da regra do quociente.
Calcule: \[ \ddx \frac {x^3}{x^2+1} \]
Reescrevendo isso como \[ \ddx x^3(x^2+1)^{-1}, \] faça \(f(x) = \class{xm-given}{x^{-1}}\) e \(g(x) = \class{xm-given}{x^2+1}\), de modo que \(f(g(x)) = (x^2 + 1)^{-1}\). Agora \[ x^3(x^2+1)^{-1} = x^3 f(g(x)), \] e, pelas regras do produto e
da cadeia, \[ \ddx x^3 f(g(x)) = \class{xm-given}{3x^2} \cdot f(g(x))+ \class{xm-given}{x^3} \cdot f'(g(x))g'(x). \] Como \(f'(x) = \class{xm-given}{\frac {-1}{x^2}}\) e \(g'(x) = \class{xm-given}{2x}\), escrevemos \[ \ddx \frac {x^3}{x^2+1} = \frac {3x^2}{x^2+1}-\frac {2x^4}{(x^2+1)^2}. \]
Agora que estamos nos acostumando com a regra da cadeia, tente mais um.
Suponha
que \(f\) é uma função cujos valores são dados na tabela a seguir.
| x | f(x) | f’(x) |
| 1 | -3 | 4 |
| 2 | 5 | -1 |
| 3 | 2 | 0 |
Determine \(\displaystyle \eval { \ddx \left ( (4x-3) f\left ( x^2+1\right ) \right )}_{x=1}\)
No nível mais externo, esta é um produto de \(4x-3\) por \(f\left (x^2+1\right )\), então começamos
pela regra do produto. \begin{align*} \ddx \left ( (4x-3) f\left ( x^2+1\right ) \right ) &= (\class{xm-given}{4} ) \cdot f\left ( x^2+1\right ) \\ &+ (4x-3) \cdot \ddx \left ( f\left ( x^2+1\right ) \right ) \\ &= 4 f(x^2+1) + (4x-3) f'( x^2+1 ) \cdot (\class{xm-given}{2x} )\\ &= 4 f(x^2 + 1) + (4x-3) f'(x^2+1) \cdot 2x. \end{align*}
Avaliando em \(x=1\), obtemos: \begin{align*} \eval { \ddx \left ( (4x-3) f\left ( x^2+1\right ) \right )}_{x=1} &= 4 f(2) + (1) f'(2) \cdot 2\\ &= 4 \cdot ( \class{xm-given}{5} ) + 2 \cdot (\class{xm-given}{-1})\\ &= \class{xm-given}{18}. \end{align*}