sim não
Observe que \[ b^{-x} = \left (b^{-1}\right )^x = \left (\frac {1}{b}\right )^x. \]
\(
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\)
Funções exponenciais e logarítmicas sob uma nova luz.
As funções exponenciais e logarítmicas podem parecer um tanto esotéricas à primeira vista, mas elas modelam muitos fenômenos do mundo real.
1 O que são funções exponenciais e logarítmicas?
Uma função exponencial é uma função da forma \[ f(x) = b^x \] em que \(b\neq 1\) é um número real
positivo. O domínio de uma função exponencial é \((-\infty ,\infty )\).
\(b^{-x}\) é uma função exponencial?
Uma função logarítmica é uma função definida da seguinte forma \[ \log _b(x) = y \qquad \text {significa que}\qquad b^y = x \] em
que \(b\ne 1\) é um número real positivo. O domínio de uma função logarítmica é \((0,\infty )\).
Em ambas as definições acima, \(b\) é chamado de base.
Lembre-se de que, no caso das funções exponenciais e logarítmicas, existe uma base muito especial: \[ e = 2.7182818284590\ldots \] Esse é um número irracional que você verá com frequência. A exponencial de base \(e\), \(f(x) = e^x\), costuma ser chamada de função ‘exponencial natural’. Para o logaritmo de base \(e\), temos uma notação especial: \(\ln (x)\) é a função ‘logaritmo natural’.
1.1 Conexões entre funções exponenciais e logaritmos
Seja \(b\) um número real positivo com \(b\ne 1\).
- \(b^{\log _b(x)} = x\) para todo \(x\) positivo
- \(\log _b(b^x) = x\) para todo \(x\) real
Que expoente torna verdadeira a expressão a seguir? \[ 3^x = e^{\left ( x \cdot \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \right )}. \]
2 Como podem ser os gráficos?
2.1 Gráficos de funções exponenciais
Aqui vemos os gráficos de quatro funções exponenciais.
![[Picture]](/rendered/reviewOfFamousFunctions/digInExponentialAndLogarithmeticFunctions-1f4161aad5eb99d5a11728e626aa91ca.svg)
Associe as curvas \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\)
às funções \[ e^x, \qquad \left (\frac {1}{2}\right )^{x}, \qquad \left (\frac {1}{3}\right )^{x}, \qquad 2^{x}. \]
Uma maneira de resolver esse tipo de problema é comparar essas funções
ao longo da reta vertical \(x=1\), ![[Picture]](/rendered/reviewOfFamousFunctions/digInExponentialAndLogarithmeticFunctions-9778565cba2febe45876be8fd6d544fd.svg)
Observe que \[ \left (\frac {1}{3}\right )^1 < \left (\frac {1}{2}\right )^1 < 2^1 < e^1. \] Logo, vemos que:
- \(\left (\frac {1}{3}\right )^{x}\) corresponde a \(\class{xm-given}{B}\).
- \(\left (\frac {1}{2}\right )^{x}\) corresponde a \(\class{xm-given}{A}\).
- \(2^x\) corresponde a \(\class{xm-given}{D}\).
- \(e^x\) corresponde a \(\class{xm-given}{C}\).
2.2 Gráficos de funções logarítmicas
Aqui vemos os gráficos de quatro funções logarítmicas.
![[Picture]](/rendered/reviewOfFamousFunctions/digInExponentialAndLogarithmeticFunctions-8b9d0328c23afb73c16306c997343439.svg)
Associe as curvas \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\)
às funções \[ \ln (x),\qquad \log _{1/2}(x), \qquad \log _{1/3}(x),\qquad \log _2(x). \]
Primeiro, lembre-se do que \(\log _b(x)=y\) significa: \[ \log _b(x) = y \qquad \text {significa que}\qquad b^y = x. \] Além disso, \(\ln (x) = \log _e(x)\), em que
\(e= 2.71828\dots \). Agora examine cada uma dessas funções ao longo da reta horizontal \(y=1\)
![[Picture]](/rendered/reviewOfFamousFunctions/digInExponentialAndLogarithmeticFunctions-daa4d52ae2e7c4c9304320aadce0b107.svg)
Observe novamente (isso
vem da definição de logaritmo) \[ \left (\frac {1}{3}\right )^1 < \left (\frac {1}{2}\right )^1 < 2^1 < e^1. \] Logo, vemos que:
- \(\log _{1/3}(x)\) corresponde a \(\class{xm-given}{B}\).
- \(\log _{1/2}(x)\) corresponde a \(\class{xm-given}{A}\).
- \(\log _2(x)\) corresponde a \(\class{xm-given}{D}\).
- \(\ln (x)\) corresponde a \(\class{xm-given}{C}\).
3 Propriedades das funções exponenciais e dos logaritmos
Trabalhar com funções exponenciais e logarítmicas muitas vezes fica mais simples quando aplicamos as propriedades dessas funções. Essas propriedades vão aparecer ao longo de todo o nosso trabalho.
3.1 Propriedades dos expoentes
Seja \(b\) um número real positivo com \(b\neq 1\).
- \(b^m\cdot b^n = b^{m+n}\)
- \(b^{-1} = \frac {1}{b}\)
- \(\left (b^m\right )^n = b^{mn}\)
Que expoente torna verdadeira a igualdade a seguir? \[ 2^4 \cdot 2^3 = 2^{\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}} \]
xmhint\[ (2^4) \cdot (2^3) = (2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2\cdot 2) \]
3.2 Propriedades dos logaritmos
Seja \(b\) um número real positivo com \(b\neq 1\).
- \(\log _b(m\cdot n) = \log _b(m) + \log _b(n)\)
- \(\log _b(m^n) = n\cdot \log _b(m)\)
- \(\log _b\left (\frac {1}{m}\right ) = \log _b(m^{-1}) = -\log _b(m)\)
- \(\log _a(m) = \frac {\log _b(m)}{\log _b(a)}\)
Que valor torna verdadeira a expressão a seguir? \[ \log _2\left (\frac {8}{16}\right ) = 3-\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
O que torna verdadeira a expressão a seguir? \[ \log _3(x) = \frac {\ln (x)}{\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}} \]
Resolva a equação: \(\displaystyle 5^{2x-3} = 7\).
Como não conseguimos reescrever facilmente os dois lados como
exponenciais de mesma base, vamos usar logaritmos. Acima dissemos que \(\log _b(x) = y\) significa
que \(b^y = x\). Essa afirmação quer dizer que toda equação exponencial tem uma forma
logarítmica equivalente, e vice-versa. Vamos converter para uma equação
logarítmica e resolver a partir daí. \begin{align*} 5^{2x-3} &= 7\\ \log _{\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}}\left ( \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \right ) &= 2x-3 \end{align*}
A partir daqui, podemos isolar \(x\) diretamente. \begin{align*} 2x &= \log _{5}\left (7\right ) + 3\\ x &= \frac {\log _{5}\left (7\right ) + 3}{2} \end{align*}
Resolva a equação: \(\displaystyle e^{2x} = e^x + 6\).
Aplicar logaritmos imediatamente aos dois lados não vai ajudar
aqui, pois o lado direito tem mais de um termo. Sabemos que os logaritmos se
comportam bem com produtos e quocientes, mas não com somas. Observe que
\(e^{2x} = \left (e^x\right )^2\). (Esse é um truque comum que você provavelmente verá muitas vezes.)
\begin{align*} e^{2x} &= e^x + 6\\ \left (e^x\right )^2 &= e^x + 6\\ \left (e^x\right )^2 - e^x - 6 &= 0 \end{align*}
Nossa equação é, na verdade, uma equação quadrática em \(e^x\). O lado esquerdo se fatora como \(\left ( e^x - \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-7}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right ) \left (e^x + \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-8}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right )\), de modo que estamos lidando com \[ e^x - \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-9}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} = 0 \qquad \textrm {e} \qquad e^x+\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-10}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} = 0.\] Do primeiro fator: \begin{align*} e^x &= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-11}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\\ x &= \ln \left ( \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-12}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\right ). \end{align*}
Do segundo fator: \(\displaystyle e^x = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-13}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\). Lembre-se de que vimos acima que a imagem da função exponencial é \((0, \infty )\). Não existe entrada que torne a saída um número negativo, então \(e^x = -2\) não tem soluções.
A solução de \(\displaystyle e^{2x} = e^x + 6\) é \(x = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-14}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).