\(
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\)
Dois jovens matemáticos discutem a otimização de latas de alumínio.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Riley, você já reparou nas latas de alumínio?
- Riley
- Tão recicláveis!
- Devyn
- Eu sei! Mas também reparei que algumas são baixas e largas, e outras são altas e finas, e mesmo assim elas podem ter o mesmo volume!
- Riley
- Que observador!
- Devyn
- Isso me deixou pensando: se quisermos fazer uma lata com volume \(V\), que formato de lata usa menos alumínio?
- Riley
- Ah! Isso parece um trabalho para o cálculo! O volume de uma lata cilíndrica
é dado por \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \] onde \(r\) é o raio do cilindro e \(h\) é a altura do cilindro. Além disso, a
área da superfície é dada por \begin{align*} A &= \underbrace {\pi \cdot r^2}_{\text {fundo}} + \underbrace {2\cdot \pi \cdot r\cdot h}_{\text {lateral}} + \underbrace {\pi \cdot r^2}_{\text {tampa}}\\ &= 2\cdot \pi \cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r\cdot h. \end{align*}
De algum jeito queremos minimizar a área da superfície, porque ela é a quantidade de alumínio usada, mas também queremos manter o volume constante.
- Devyn
- Uau, temos letras demais aqui.
- Riley
- É, de algum jeito precisamos de uma única variável. Eita. Letras demais.
Suponha que queremos construir uma lata de alumínio com volume \(V\) que use a
menor quantidade possível de alumínio. No contexto acima, o que queremos
minimizar?
Como Devyn e Riley perceberam, quando resolvemos esse tipo de problema, precisamos reduzir o problema a uma única variável.
Considere \(r\) como a variável e expresse \(A\) como função de \(r\).
xmhintPrimeiro, vamos
eliminar a variável \(h\). Sabemos que \(V\) é uma constante e que \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \] então \(h=V/(\pi r^2)\). Substitua essa
expressão para \(h\) na equação \[ A = 2\cdot \pi \cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r \cdot h. \]
\[ A(r) = 2\cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot V/ \class{xm-given}{r} \] Agora considere \(h\) como a variável e expresse \(A\) como função de \(h\).
xmhintPrimeiro,
vamos eliminar a variável \(r\). Sabemos que \(V\) é uma constante e que \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \] então \(r=\sqrt {V/(\pi h)}\). Substitua
essa expressão para \(h\) na equação \[ A = 2\cdot \pi \cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r \cdot h. \]
\[ A(h) = 2\cdot V/\class{xm-given}{h}+ 2 \cdot \sqrt {V\pi h} \] Observe que reduzimos (de um jeito ou de outro) essa função de duas variáveis a uma função de uma variável. Esse processo será um passo fundamental em praticamente todos os problemas da próxima seção.