A ideia da substituição

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Aprendemos uma nova técnica, chamada substituição, para nos ajudar a resolver problemas envolvendo integração.

Calcular antiderivadas não é tão fácil quanto calcular derivadas. Um dos problemas é que a regra da cadeia pode ser difícil de “desfazer”. Temos um método geral chamado “integração por substituição” que ajuda, em certa medida, com essa dificuldade.

Se as funções forem deriváveis, podemos aplicar a regra da cadeia e obter \[ \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \] Se as derivadas forem contínuas, podemos usar essa igualdade para calcular uma integral definida. A saber, \begin{align*} \int _a^b f'(g(x))g'(x) \d x &= \eval {f(g(x))}_a^b \\ &= f(g(b)) - f(g(a)). \\ \end{align*}

Por outro lado, também é verdade que \begin{align*} \int _{g(a)}^{g(b)} f'(u)\d u &= \eval {f(u)}_{g(a)}^{g(b)}\\ &= f(g(b)) - f(g(a)). \\ \end{align*}

Como os lados direitos dessas igualdades são iguais, os lados esquerdos também devem ser iguais. Então, segue que

\[ \int _a^b f'(g(x))g'(x) \d x = \int _{g(a)}^{g(b)} f'(u)\d u . \]

Essa observação simples nos leva ao teorema a seguir.

Fórmula de substituição para integrais Seja $g'$ a derivada de uma função $g$ e seja $f'$ a derivada de uma função $f$. Se $g'$ é contínua no intervalo $[a,b]$ e $f'$ é contínua no intervalo $[g(a),g(b)]$, então \[ \int _a^b f'(g(x)) g'(x) \d x =\int _{g(a)}^{g(b)} f'(u) \d u. \]

A integral da direita parece ser muito mais simples do que a integral original. Então, ao calcular uma integral difícil, tentamos aplicar esse teorema e substituir a integral original por uma mais simples. Podemos fazer isso desde que as condições do teorema sejam satisfeitas.

Vamos aplicar a Fórmula de Substituição para Integrais (FSI) ao exemplo a seguir.

Calcule: \[ \int _0^2 x e^{x^2}\d x \]

Por que achamos que a FSI pode ser útil neste exemplo?

Essa integral tem a estrutura \[ \int _a^b f'(g(x)) g'(x) \d x , \] de modo que possamos aplicar a FSI?

Fazemos $g(x) =x^2$, de modo que $g'(x)dx =2xdx$, e observamos que

\[ \int _0^2 x e^{x^2}\d x =\frac {1}{2}\int _0^{2} e^{\underbrace {x^2}}\underbrace {2x\d x}=\frac {1}{2}\int _0^{2} e^{g(x)}g'(x)\d x \] Assim, escrevemos a integral em uma forma adequada para a aplicação da FSI. Portanto, podemos colocar $u$ no lugar de $g(x)$ e $\d u$ no lugar de $g'(x)\d x$ e escrever

\[ \int _0^2 x e^{x^2}\d x=\frac {1}{2}\int _0^{2} e^{g(x)}g'(x)\d x=\frac {1}{2}\int _{g(0)}^{g(2)} e^{u}\d u \] Agora, calculamos as extremidades: \begin{align*} g(0) &= 0^2 = 0 \\ g(2) &=2^2 = 4. \end{align*}

Podemos calcular facilmente a última integral \[ \frac {1}{2}\int _{g(0)}^{g(2)} e^{u}\d u= \frac {1}{2}\int _{0}^{4} e^{u}\d u=\frac {1}{2}\eval {e^u}_0^4=\frac {1}{2}\left (\class{xm-given}{e^4}-e^0\right )=\frac {\class{xm-given}{e^4}-1}{2} \] Em resumo,

\[ \int _0^2 x e^{x^2}\d x=\frac {1}{2}\int _{0}^{4} e^{u}\d u \] A figura abaixo ilustra as duas integrais.

As duas áreas sombreadas na figura, $A= \int _0^2 x e^{x^2}\d x$ e $B=\frac {1}{2}\int _{0}^{4} e^{u}\d u$, parecem ser iguais, e isso confirma o que foi estabelecido antes por meio do cálculo.

Portanto, sempre que nos deparamos com o problema de calcular uma integral difícil, tentamos substituí-la por uma mais simples, desde que as duas integrais representem a mesma área líquida.

Podemos resolver um problema como esse de um modo um pouco diferente. Vamos fazer o mesmo exemplo de novo, mas desta vez pensando em termos de diferenciais.

Calcule: \[ \int _0^2 x e^{x^2}\d x \]

Aqui vamos fazer \[ u=g(x) = x^2. \] Então \[ \d u =g'(x)\d x=2x\d x. \] Aqui, estamos pensando em termos de diferenciais. Podemos isolar $\d x$ para obter \[ \d x = \frac {\d u}{2x}. \]

Usando essa igualdade, podemos escrever

\begin{align*} \int _0^2 x e^{x^2}\d x &= \int _{g(0)}^{g(2)} x e^{u} \frac {\d u}{2x}\\ &= \int _{0}^{4} \frac {e^u}{2}\d u . \end{align*}

Observe que substituímos a nova variável $u$ tanto no integrando quanto nos limites de integração. Quando fazemos a substituição, precisamos atualizar os limites de integração, reescrevendo-os em termos da nova variável de substituição.

A partir daqui, podemos continuar como fizemos antes e escrever \[ \int _{0}^{4} \frac {e^u}{2}\d u= \frac {\class{xm-given}{e^4} -e^0}{2}. \]

Por fim, às vezes queremos simplesmente lidar com a antiderivada por si só. Vamos repetir o exemplo mais uma vez para demonstrar essa abordagem.

Calcule: \[ \int _0^2 x e^{x^2}\d x \]

Podemos aplicar o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo e, para isso, precisamos primeiro calcular uma integral indefinida. \[ \int x e^{x^2} \d x. \]

Como antes, fazemos $u=g(x)=x^2$ e calculamos $\d u = 2x \d x$, pensando em termos de diferenciais. Agora vemos que \[ \int x e^{x^2} \d x = \int x e^{u} \frac {\d u}{2x} = \int \frac {e^{u}}{2}\d u . \] Logo \[ \int x e^{x^2} \d x = \frac {e^{u}}{2}+C . \] Isso não parece certo, pois precisamos encontrar uma antiderivada da função $ x e^{x^2},$ e nosso resultado é uma função de $u$. Podemos corrigir isso facilmente, bastando substituir $u$ por $g(x)=x^2$. Portanto, \[ \int xe^{x^2}\d x =\frac {e^{u}}{2}+C= \frac {e^{x^2}}{2}+C . \] Finalmente, podemos aplicar o STFC \begin{align*} \int _0^2 x e^{x^2}\d x &=\eval {\frac {e^{x^2}}{2}}_0^2\\ &= \frac {\class{xm-given}{e^4} -e^0}{2}. \end{align*}

Neste caso, como usamos a substituição para encontrar a integral indefinida, não precisamos modificar os limites de integração ao calcular a integral definida. Porém, tivemos o passo extra de reescrever a antiderivada em termos da variável original. Se você seguir esse método, observe que estará realizando dois cálculos separados. O primeiro usa a substituição para calcular a antiderivada (sem nenhum limite de integração); depois, usa-se esse resultado para calcular a integral definida por meio do STFC.

1 Mais exemplos

Com alguma experiência, (em geral) não é tão difícil ver o que substituir por $u$. Vamos resolver os exemplos a seguir do mesmo modo que fizemos no Exemplo 4.

Calcule: \[ \int x^4(x^5+1)^{9} \d x \]

Aqui fazemos $u = \class{xm-given}{x^5+1}$, de modo que $\d u = \class{xm-given}{5x^4} \d x$. Então segue que $\d x=\frac {\d u}{5x^4}$. Portanto \begin{align*} \int x^4(x^5+1)^{9} \d x &= \int x^4 (u)^{9} \frac {\d u}{5x^4} \\ &= \frac {1}{5} \int u^{9} \d u\\ &=\frac {u^{10}}{ \class{xm-given}{50}}. \end{align*}

Observe que este exemplo é uma integral indefinida, e não uma integral definida, o que significa que não há limites de integração. Assim, não precisamos nos preocupar em mudar as extremidades da integral. Porém, precisamos desfazer a substituição na nossa resposta, de modo que a resposta final seja uma função de $x$. Lembrando que $u= x^5+1$, temos nossa resposta final \[ \int x^4(x^5+1)^{9} \d x= \frac {(x^5+1)^{10}}{\class{xm-given}{50}}+C. \] Lembrete: você sempre pode verificar seu resultado derivando.

Se a substituição funciona para calcular uma integral (e nem sempre é o caso!), um truque comum para descobrir o que substituir é localizar a parte “feia” da função que está sendo integrada. Substituímos, então, o “interior” dessa parte feia. Embora essa técnica certamente não seja rigorosa, ela pode se mostrar muito útil. Isso vale especialmente para estudantes que estão começando a aprender a técnica da substituição. Os dois próximos problemas são exemplos muito bons dessa filosofia.

Calcule: \[ \int _{-1}^0 12x^3 \cos ({x^4}) \d x \]

A parte “feia” da função que está sendo integrada é $\cos ({x^4})$. O “interior” desse termo é, então, $x^4$. Portanto, uma boa possibilidade é tentar \[ u =g(x)= x^4. \] Então \[ \d u = (4x^3) \d x \qquad \Rightarrow \qquad \d x = \class{xm-given}{\frac {1}{4x^3}} \d u \] e assim \begin{align*} \int _{-1}^0 12x^3 \cos ({x^4}) \d x &= \int _{g(-1)}^{g(0)} 12 x^3 \cos ({u}) \class{xm-given}{\frac {1}{4x^3}} \d u \\ &= \int _{\class{xm-given}{1}}^{\class{xm-given}{0}} 3 \cos ({u}) \d u \\ &= \eval {3\sin ({u})}_{\class{xm-given}{1}}^{\class{xm-given}{0}} \\ &= \class{xm-given}{3(0-\sin ({1}))}. \end{align*}

Calcule: \[ \int _{1}^{e^{\frac {\pi }{4}}} \frac {\cos (\ln (x))}{x} \d x \]

Aqui a parte “feia” é $\cos (\ln (x))$. Então substituímos o interior: \[ u=g(x)=\class{xm-given}{\ln (x)}. \] Então \[ \d u = \class{xm-given}{\frac {1}{x}} \d x \qquad \Rightarrow \qquad \d x = \class{xm-given}{x} \d u. \] Observe que \begin{align*} g(1) &= \ln (1) = \class{xm-given}{0} \\ g \left ( e^{\frac {\pi }{4}} \right ) &= \ln \left ( e^{\frac {\pi }{4}} \right ) = \class{xm-given}{\frac {\pi }{4}}. \end{align*}

Em seguida, substituímos de volta na integral original e resolvemos: \begin{align*} \int _{1}^{e^{\frac {\pi }{4}}} \frac {\cos (\ln (x))}{x} \d x &= \int _0^{\frac {\pi }{4}} \frac {\cos (u)}{x} x \d u \\ &= \int _0^{\frac {\pi }{4}} \cos (u) \d u \\ &= \eval {\class{xm-given}{\sin (u)}}_{0}^{\frac {\pi }{4}} \\ &= \frac {\sqrt {2}}{\class{xm-given}{2}} - \class{xm-given}{0} = \frac {\sqrt {2}}{\class{xm-given}{2}}. \end{align*}

Resumindo, se suspeitamos que uma dada função é a derivada de outra via regra da cadeia, introduzimos uma nova variável $u=g(x)$, em que $g$ é uma candidata provável para a função interna. Reescrevemos a integral inteiramente em termos de $u$, sem que sobre nenhum $x$ na expressão. Se conseguirmos integrar essa nova função de $u$, então a antiderivada da função original é obtida substituindo $u$ por $g(x)$.