O teorema trabalho-energia

\( \newenvironment {prompt}{}{} \newcommand {\accordion }[0]{} \newcommand {\ungraded }[0]{} \newcommand {\xmDefaultPreamble }[0]{xmPreamble.tex} \newcommand {\xmDefaultPrintstyle }[0]{xmPrintstyle.sty} \newcommand {\todo }[0]{} \newcommand {\oiint }[0]{{\large \bigcirc }\kern -1.56em\iint } \newcommand {\mooculus }[0]{\textsf {\textbf {MOOC}\textnormal {\textsf {ULUS}}}} \newcommand {\tkzTabSlope }[1]{\foreach \x /\y /\z in {#1}{\node [left = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\y $}; \node [right = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\z $}; }} \newcommand {\RR }[0]{\mathbb R} \newcommand {\R }[0]{\mathbb R} \newcommand {\N }[0]{\mathbb N} \newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z} \newcommand {\sagemath }[0]{\textsf {SageMath}} \newcommand {\d }[0]{\,d} \newcommand {\l }[0]{\ell } \newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}} \newcommand {\zeroOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{0}}}} \newcommand {\inftyOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\infty }{\infty }}}} \newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}} \newcommand {\zeroTimesInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {0\cdot \infty }}} \newcommand {\inftyMinusInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {\infty - \infty }}} \newcommand {\oneToInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {1^\infty }}} \newcommand {\zeroToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {0^0}}} \newcommand {\inftyToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\infty ^0}}} \newcommand {\numOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}}} \newcommand {\dfn }[0]{\textbf } \newcommand {\unit }[0]{\mathop {}\!\mathrm } \newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]} \newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )} \newcommand {\epsilon }[0]{\varepsilon } \newcommand {\phi }[0]{\varphi } \newcommand {\iff }[0]{\Leftrightarrow } \DeclareMathOperator {\arccot }{arccot} \DeclareMathOperator {\arcsec }{arcsec} \DeclareMathOperator {\arccsc }{arccsc} \DeclareMathOperator {\si }{Si} \DeclareMathOperator {\scal }{scal} \DeclareMathOperator {\sign }{sign} \newcommand {\arrowvec }[1]{{\overset {\rightharpoonup }{#1}}} \newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}} \newcommand {\point }[1]{\left (#1\right )} \newcommand {\pt }[1]{\mathbf {#1}} \newcommand {\Lim }[2]{\lim _{\point {#1} \to \point {#2}}} \DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}} \newcommand {\veci }[0]{{\boldsymbol {\hat {\imath }}}} \newcommand {\vecj }[0]{{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}} \newcommand {\veck }[0]{{\boldsymbol {\hat {k}}}} \newcommand {\vecl }[0]{\vec {\boldsymbol {\l }}} \newcommand {\uvec }[1]{\mathbf {\hat {#1}}} \newcommand {\utan }[0]{\mathbf {\hat {t}}} \newcommand {\unormal }[0]{\mathbf {\hat {n}}} \newcommand {\ubinormal }[0]{\mathbf {\hat {b}}} \newcommand {\dotp }[0]{\bullet } \newcommand {\cross }[0]{\boldsymbol \times } \newcommand {\grad }[0]{\boldsymbol \nabla } \newcommand {\divergence }[0]{\grad \dotp } \newcommand {\curl }[0]{\grad \cross } \newcommand {\lto }[0]{\mathop {\longrightarrow \,}\limits } \newcommand {\bar }[0]{\overline } \newcommand {\surfaceColor }[0]{violet} \newcommand {\surfaceColorTwo }[0]{redyellow} \newcommand {\sliceColor }[0]{greenyellow} \newcommand {\vector }[1]{\left \langle #1\right \rangle } \newcommand {\sectionOutcomes }[0]{} \newcommand {\VerbMathToks }[2]{\alteqtoks {\begin {#2} #1 \end {#2}}} \newcommand {\DeclareMicrotypeVariants }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeAlias }[2]{} \newcommand {\LoadMicrotypeFile }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeFilePrefix }[1]{} \newcommand {\DeclareMicrotypeBabelHook }[2]{} \newcommand {\microtypesetup }[1]{} \newcommand {\microtypecontext }[1]{} \newcommand {\textmicrotypecontext }[2]{#2} \newcommand {\leftprotrusion }[1]{#1} \newcommand {\rightprotrusion }[1]{#1} \newcommand {\noprotrusionifhmode }[0]{} \newcommand {\lsstyle }[0]{} \newcommand {\lslig }[1]{#1} \newcommand {\maketitle }[0]{} \newcommand {\problem }[0]{ } \newcommand {\exercise }[0]{ } \newcommand {\question }[0]{ } \newcommand {\exploration }[0]{ } \newcommand {\dialogue }[0]{\begin {description}} \newcommand {\GetTranslation }[1]{#1} \)

A substituição recebe um significado físico.

Na física, tomamos grandezas mensuráveis do mundo real e tentamos encontrar relações significativas entre elas. Um exemplo básico disso seria o conceito físico de força. Uma força aplicada a um objeto altera o movimento desse objeto. Mas a questão é que, em um nível básico, \[ \mathrm {força} = \mathrm {massa} \cdot \mathrm {aceleração}. \] e, embora possamos dar uma interpretação física a essa definição aritmética, no fim das contas força é simplesmente “massa vezes aceleração”. A unidade de força no SI é o newton, definido como \[ 1\unit {N} = 1\unit {kg}\cdot \unit {m}/\unit {s}^2. \]

Para ter uma noção do que é um newton, considere o seguinte: se uma maçã tem massa de $0.1\unit {kg}$, que força essa maçã exerceria sobre a sua mão devido à aceleração da gravidade? \[ F = (0.1) \cdot (-9.8) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\unit {N}, \]

Logo, o “peso” de uma maçã é aproximadamente $1\unit {N}$.

De modo parecido, a ideia de energia cinética é a “energia” que os objetos têm por estarem em movimento. Ela é definida pela fórmula \[ E_k = \frac {m \cdot v^2}{2}. \] A unidade de energia no SI é o joule, definido como \[ 1\unit {J} = 1\unit {kg}\cdot \unit {m}^2/\unit {s}^2 = 1\unit {N}\cdot \unit {m}. \] Para ter uma noção do “tamanho” de um joule, considere o seguinte: se uma maçã tem massa de $0.1\unit {kg}$ e é solta de uma altura de $1\unit {m}$, então aproximadamente $1$ joule de energia é liberado quando ela atinge o chão. Vamos ver se conseguimos explicar por que isso é verdade.

Se uma maçã tem massa de $0.1\unit {kg}$ e é solta de uma altura de $1\unit {m}$, quanta energia é liberada quando ela atinge o chão? Suponha que a aceleração da gravidade seja $-9.8\unit {m}/\unit {s}^2$.

Primeiro precisamos encontrar a velocidade com que a maçã atinge o chão. Seja $a(t)=-9.8$ a aceleração no instante $t$ e $v(t)$ a velocidade. Como $v(0) = 0$, sabemos que \begin{align*} v(t) &= \int _0^t a(x) \d x\\ &= \int _0^t \class{xm-given}{-9.8} \d x \\ &= \class{xm-given}{-9.8t}. \end{align*}

Agora precisamos saber quanto tempo a maçã leva para atingir o chão depois de ser solta de uma altura de $1$ metro. Para isso, vamos precisar de uma fórmula para a posição. Aqui $s(0) = 1$, então vamos precisar usar uma integral indefinida: \begin{align*} s(t)&=\int v(t) \d t\\ &= \int \class{xm-given}{-9.8t} \d t \\ &= \class{xm-given}{\frac {-9.8 t^2}{2}} + C \end{align*}

Como $s(0)= 1$, escreva comigo \[ s(0) = \frac {-9.8 \cdot 0}{2} + C = \class{xm-given}{1}, \] logo $C =1$ e $s(t) = \frac {-9.8 t^2}{2}+1$. Resolver a equação \[ s(t) = 0 \] para $t$ nos dá o instante em que a maçã atinge o chão. Escreva comigo \begin{align*} s(t) &= 0 \\ \frac {-9.8 t^2}{2} +1 &= 0\\ -9.8 t^2 &=-2\\ t^2 &=\frac {2}{9.8}\\ t &=\sqrt {\frac {2}{9.8}}. \end{align*}

Então a maçã atinge o chão após $\sqrt {\frac {2}{9.8}}$ segundos. Finalmente, a fórmula da energia cinética é \begin{align*} E_k &= \frac {m \cdot v^2}{2} \\ &= \frac {0.1 \cdot \left (a\cdot t\right )^2}{2} \\ &= \frac {0.1 \cdot \left ((-9.8)\cdot \sqrt {\frac {2}{9.8}}\right )^2}{2} \\ &= \frac {0.1 \cdot (9.8)^2\cdot \frac {2}{9.8}}{2} \\ &= \frac {0.1 \cdot 9.8\cdot 2}{2} \\ &= 0.98. \end{align*}

Ah! Então a energia cinética liberada por uma maçã solta de uma altura de $1$ metro é aproximadamente $1$ joule.

Finalmente, trabalho é definido como força acumulada ao longo de uma distância. Observe que deve haver alguma força na direção (ou na direção oposta) em que o objeto está se movendo para que isso seja considerado trabalho.

Quais das alternativas a seguir são exemplos em que trabalho desse tipo está sendo realizado?

estudar cálculo um carro freando até parar ao longo de uma distância de $100\unit {ft}$ um jovem matemático escalando uma montanha um jovem matemático parado, segurando um livro de cálculo de $1000$ páginas por $10$ minutos um jovem matemático andando por aí com um livro de cálculo de $1000$ páginas um jovem matemático levantando um livro de cálculo de $1000$ páginas

Estudar cálculo pode “parecer” trabalho, mas não é (em geral) um exemplo de força acumulada ao longo de uma distância e, portanto, nenhum trabalho é realizado.

Por outro lado, um carro freando é uma mudança de movimento e, portanto, uma força é aplicada. Como essa força é aplicada ao longo de uma distância, há trabalho realizado.

Escalar uma montanha também é um exemplo de trabalho, pois a pessoa aplica força para vencer a aceleração da gravidade ao longo da distância que está escalando.

Nenhum trabalho é realizado ao segurar um livro de cálculo, pois não há força acumulada ao longo de uma distância.

Também não há trabalho realizado quando alguém anda por aí com um livro de cálculo; isso ocorre porque a “força” está em uma direção perpendicular ao movimento.

Finalmente, quando alguém levanta um livro de cálculo, está movendo o livro contra a força devida à aceleração da gravidade. Logo, há trabalho realizado.

Podemos escrever a definição de trabalho na linguagem do cálculo como \[ W = \int _{s_0}^{s_1} F(s) \d s. \] A unidade de trabalho no SI também é o joule. Para ajudar a entender isso, $1$ joule é aproximadamente o trabalho realizado quando você levanta uma maçã por um metro.

Vamos ver novamente por que isso é verdade.

Se uma maçã tem massa de $0.1\unit {kg}$, quanto trabalho é necessário para levantar essa maçã $1$ metro? Suponha que a aceleração da gravidade seja $-9.8\unit {m}/\unit {s}^2$.

Bem, o trabalho é calculado por \[ W = \int _{s_0}^{s_1} F(s) \d s. \] Como força é massa vezes aceleração, \begin{align*} F(s) &= 0.1\cdot \class{xm-given}{(-9.8)} \\ &= \class{xm-given}{-0.98}. \end{align*}

Assim, nossa integral se torna \begin{align*} \int _{0}^{1} \class{xm-given}{-0.98} \d s &= \eval {\class{xm-given}{-0.98 s}}_0^1\\ &=\class{xm-given}{-0.98}. \end{align*}

Ah! Então levantar uma maçã $1$ metro requer $\class{xm-given}{-0.98}$ joules de trabalho. O sinal é negativo porque estamos levantando a maçã contra a força gravitacional.

Agora temos uma pergunta:

Por que trabalho e energia cinética têm as mesmas unidades?

Uma maneira de responder a isso é por meio do teorema trabalho-energia.

Teorema trabalho-energia Suponha que um objeto de massa $m$ esteja se movendo ao longo de uma reta. Se $s_0$ e $s_1$ são as posições inicial e final, $v_0$ e $v_1$ são as velocidades inicial e final, e $F(s)$ é a força que atua sobre o objeto em cada posição, então \[ W = \int _{s_0}^{s_1} F(s) \d s = \frac {m\cdot v_1^2}{2} - \frac {m\cdot v_0^2}{2}. \]

Primeiro precisamos deixar clara toda a nossa notação. Sejam:

$s(t)$ a posição em função do tempo,
$v(t)$ a velocidade em função do tempo,
$a(s)$ a aceleração em função da posição,
$t_0$ o instante inicial,
$t_1$ o instante final,

então também temos que

$s(t_0)$ representa a posição inicial, $s_0$,
$s(t_1)$ representa a posição final, $s_1$,
$v(t_0)$ representa a velocidade inicial, $v_0$,
$v(t_1)$ representa a velocidade final, $v_1$.

Agora escreva comigo, \[ W = \int _{s_0}^{s_1} F(s) \d s = \int _{s(t_0)}^{s(t_1)} F(s) \d s \] aqui estamos trabalhando com funções da distância. Vamos usar a fórmula de substituição,

transformando da direita para a esquerda, para ver que \[ \int _{s(t_0)}^{s(t_1)} F(s) \d s = \int _{t_0}^{t_1} F(s(t)) s'(t) \d t \] e agora estamos trabalhando com funções do tempo. Como $s'(t) = v(t)$, podemos escrever \[ \int _{t_0}^{t_1} F(s(t)) s'(t) \d t = \int _{t_0}^{t_1} F(s(t)) v(t) \d t \] e agora lembre-se de que $F=m\cdot a$, então \[ \int _{t_0}^{t_1} F(s(t)) v(t) \d t = \int _{t_0}^{t_1} m\cdot a(s(t)) v(t) \d t. \] Porém, $a(s(t)) = v'(t)$, então, reorganizando, temos \[ \int _{t_0}^{t_1} m\cdot a(s(t)) v(t) \d t = m\cdot \int _{t_0}^{t_1} v(t) v'(t)\d t. \] Agora aplicamos a fórmula de substituição de novo, desta vez transformando da esquerda para a direita

e assim vemos que \[ m\cdot \int _{t_0}^{t_1} v(t) v'(t)\d t = m\cdot \int _{v(t_0)}^{v(t_1)} v \d v \] e estamos trabalhando com funções da velocidade. Por fim, fazendo $v(t_0) = v_0$ e $v(t_1) = v_1$, podemos calcular essa integral, \begin{align*} m \cdot \int _{v_0}^{v_1} v \d v &= m \cdot \eval {\frac {v^2}{2}}_{v_0}^{v_1}\\ &=\frac {m\cdot v_1^2}{2} - \frac {m\cdot v_0^2}{2}. \end{align*}

O teorema trabalho-energia diz que:

Isso pode ser interpretado assim:

A acumulada força ao longo da distância é a variação da energia cinética.

Além disso, isso responde à nossa pergunta inicial sobre por que trabalho e energia cinética têm as mesmas unidades. Em essência, a energia alimenta o trabalho.