O teorema do valor médio

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Aqui vemos um teorema fundamental do cálculo.

Eis algumas perguntas interessantes envolvendo derivadas:

Suponha que você lance uma bola para cima e depois a pegue de volta. A velocidade da bola deve ter sido zero em algum instante?
Suponha que você dirija um carro por um trecho reto de rodovia, de um pedágio até outro pedágio $30$ milhas adiante, em meia hora. Você deve ter dirigido a $60$ milhas por hora em algum instante?
Suponha que duas funções diferentes tenham a mesma derivada. O que podemos dizer sobre a relação entre essas duas funções?

Embora esses problemas pareçam muito diferentes, acontece que eles estão intimamente relacionados. Vamos começar de forma simples:

Teorema de Rolle Suponha que $f$ seja derivável no intervalo $(a,b)$, contínua no intervalo $[a,b]$ e que $f(a)=f(b)$.

Então \[ f'(c)=0 \] para algum $c$ no intervalo aberto $(a,b)$.

Se a função $f$ for constante, então $f'(c)=0$ para todos os pontos $c$ do intervalo aberto $(a,b)$.

Se $f$ não for constante, então ela deve atingir ambos os extremos absolutos no intervalo $[a,b]$, pelo Teorema do Valor Extremo. Um desses dois extremos distintos é atingido no intervalo aberto $(a,b)$, em algum ponto $c$, e a função $f$ tem um ponto crítico ali. Como $f$ é derivável em $(a,b)$, segue que $f'(c)=0$.

Agora podemos responder à nossa primeira pergunta acima.

Suponha que você lance uma bola para cima e depois a pegue de volta no mesmo ponto de onde a lançou. A velocidade da bola deve ter sido zero em algum instante?

Seja $p(t)$ a posição da bola (na reta vertical) no instante $t$. O intervalo de tempo em questão será \[ [t_\mathrm {início},t_\mathrm {fim}]. \] Podemos supor que $p$ é contínua em $ [t_\mathrm {início},t_\mathrm {fim}]$ e derivável em $ (t_\mathrm {início},t_\mathrm {fim})$. Como $p(t_\mathrm {início})=p(t_\mathrm {fim})$, podemos aplicar o Teorema de Rolle e concluir que, em algum instante $c$ do intervalo de tempo dado, $p'(c)=\class{xm-given}{0}$. Logo, a velocidade deve ter sido zero em algum instante.

O Teorema de Rolle é um caso particular de um teorema mais geral.

Teorema do valor médio Suponha que $f$ tenha derivada no intervalo $(a,b)$ e seja contínua no intervalo $[a,b]$.

Então \[ f'(c)=\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \] para algum $c$ em $(a,b)$.

Agora podemos responder à nossa segunda pergunta acima.

Suponha que você dirija um carro por um trecho reto de rodovia, de um pedágio até outro pedágio $30$ milhas adiante, em meia hora. Você deve ter dirigido a $60$ milhas por hora em algum instante?

Seja $p(t)$ a posição do carro no instante $t$, e sejam $0$ horas o instante inicial e $1/2$ hora o instante final, de modo que $p(0)=0$ e $p(1/2)=30$. Podemos supor que $p$ é contínua em $[0,1/2]$ e derivável em $(0,1/2)$. Agora, o Teorema do Valor Médio afirma que existe um instante $c$ tal que \[ p'(c) = \frac {30-0}{1/2-0} = \class{xm-given}{60}\qquad \text {onde $0<c<1/2$.} \] Como a derivada da posição é a velocidade, isso diz que o carro deve ter sido dirigido a $60$ milhas por hora em algum instante.

Agora vamos encarar o impensável: poderia existir uma função contínua $f$ em $[a,b]$, cuja derivada é zero em $(a,b)$, que não seja constante? Como veremos, a resposta é “não”.

Se $f'(x)=0$ para todo $x$ em um intervalo $I$, então $f(x)$ é constante em $I$.

Sejam $a< b$ dois pontos de $I$. Como $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, pelo Teorema do Valor Médio sabemos que \[ \frac {f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \] para algum $c$ no intervalo $(a,b)$. Como $f'(c)=0$, vemos que $f(b)=f(a)$. Além disso, como $a$ e $b$ foram escolhidos arbitrariamente, $f(x)$ deve ser a função constante.

Agora vamos responder à nossa terceira pergunta.

Suponha que duas funções diferentes tenham a mesma derivada em algum intervalo $I$. O que podemos dizer sobre a relação entre essas duas funções?

Defina $h(x) = f(x) - g(x)$, de modo que $h'(x) = f'(x) -g'(x)$. Então $h'(x) = 0$ no intervalo $I$. Isso significa que $h(x) = k$ para todo $x$ em $I$, onde $k$ é alguma constante. Logo, para todo $x$ em $I$, \[ f(x) = g(x) + k. \]

Descreva todas as funções cuja derivada é $\sin (x)$.

Uma dessas funções é $-\cos (x)$, logo todas essas funções têm a forma $-\cos (x)+k$,

Vamos investigar dois jovens matemáticos que correm para a aula.

Dois estudantes, Devyn e Riley, apostaram uma corrida até a sala de aula por um corredor reto. Eles partem ao mesmo tempo e terminam empatados. Houve algum momento da corrida em que Devyn e Riley estavam correndo exatamente com a mesma velocidade?

Seja $P_\mathrm {Devyn}$ a posição de Devyn em função do tempo, e seja $P_\mathrm {Riley}$ a posição de Riley em função do tempo. Seja $t_\mathrm {início}$ o instante de início da corrida e $t_\mathrm {fim}$ o instante final da corrida. Defina \[ f(t) =P_\mathrm {Devyn}(t)-P_\mathrm {Riley}(t). \] Observe que podemos supor que $P_\mathrm {Devyn}$ e $P_\mathrm {Riley}(t)$ são contínuas em $[t_\mathrm {início},t_\mathrm {fim}]$ e que são deriváveis em $(t_\mathrm {início},t_\mathrm {fim})$. Logo, o mesmo vale para $f$. Como os dois corredores partem e chegam no mesmo lugar, \begin{align*} f(t_\mathrm {início}) = P_\mathrm {Devyn}(t_\mathrm {início})-P_\mathrm {Riley}(t_\mathrm {início}) &= \class{xm-given}{0}\qquad \text {e}\\ f(t_\mathrm {fim})=P_\mathrm {Devyn}(t_\mathrm {fim})-P_\mathrm {Riley}(t_\mathrm {fim}) &= \class{xm-given}{0}.\\ \end{align*}

Na verdade, isso nos mostra que a taxa de variação média de \[ f(t) = P_\mathrm {Devyn}(t)-P_\mathrm {Riley}(t) \qquad \text {em}\qquad [t_\mathrm {início},t_\mathrm {fim}] \] é $\class{xm-given}{0}$. Logo, pelo teorema do valor médio, existe um ponto $c$ \[ t_\mathrm {início}\le c \le t_{\mathrm {fim}} \] com $f'(c) = \class{xm-given}{0}$. Porém, \[ \class{xm-given}{0} = f'(c) = P_\mathrm {Devyn}'(c)-P_\mathrm {Riley}'(c). \] Logo, em $c$, \[ P_\mathrm {Devyn}'(c)=P_\mathrm {Riley}'(c), \] e isso significa que houve um instante em que eles estavam correndo exatamente com a mesma velocidade.

Vamos terminar com um exemplo baseado em cálculos.

Determine o ponto $c$ que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função $f(x) = e^x$ no intervalo $[0, 3]$.

Começamos observando que a função $f(x)=e^x$ é contínua no intervalo fechado $[0, 3]$ e derivável no intervalo aberto $(0, 3)$. Isso significa que o Teorema do Valor Médio de fato se aplica a essa função.

Calculamos $f(0) = \class{xm-given}{1}$ e $f(3)=\class{xm-given}{e^3}$. Isso significa que a taxa de variação média de $f$ no intervalo $[0, 3]$ é $\dfrac {f(3)-f(0)}{3-0}=\class{xm-given}{(e^3-1)/3}$.

O valor de $c$ estará no intervalo $(0, 3)$ e satisfará $f'(c) = \dfrac {e^3-1}{3}$. Como $f'(x) = e^x$, isso significa que $c$ será a solução da equação $\displaystyle e^c = \dfrac {e^3-1}{3}$. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados dessa equação, obtemos \[c = \ln \left ( \dfrac {e^3-1}{3} \right ). \]

Como esse valor, arredondado (para duas casas decimais), é $1.85$, ele de fato está no intervalo $(0,3)$, como exigido.

Em resumo, o Teorema do Valor Médio relaciona a função $f$ e sua derivada, $f'$. Como a derivada tem muitas interpretações, por exemplo, taxa de variação instantânea, inclinação da reta tangente, velocidade, não é surpresa que possamos usar o TVM em contextos diferentes.

Portanto, se a função $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, então o TVM garante que

existe um ponto $c$ em $(a,b)$ no qual a taxa de variação instantânea de $f$ é igual à taxa de variação média de $f$ no intervalo $[a,b]$;
ou
existe um ponto $c$ em $(a,b)$ no qual a inclinação da reta tangente à curva $y=f(x)$ é igual à inclinação da reta secante que passa pelos pontos $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$;
ou
existe um ponto $c$ no intervalo de tempo $(a,b)$ no qual a velocidade instantânea é igual à velocidade média no intervalo de tempo $[a,b]$. Aqui, supomos que $f$ é a função posição de um objeto que se move ao longo de uma reta.