A derivada da função exponencial natural

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Deduzimos a derivada da função exponencial natural.

Não sabemos nada sobre derivadas que nos permita calcular as derivadas de funções exponenciais sem colocar a mão na massa. Vamos trabalhar um pouco com a definição de derivada:

\begin{align*} \ddx a^x &=\lim _{h\to 0} \frac {a^{x+h}-a^x}{h} \\ &=\lim _{h\to 0} \frac {a^xa^{h}-a^x}{h} \\ &=\lim _{h\to 0} a^x\frac {\class{xm-given}{a^{h}-1}}{h} \\ &=a^x\lim _{h\to 0} \frac {a^{h}-1}{h} \\ &=a^x \cdot \underbrace {\text {(constante)}}_{\lim _{h\to 0} \frac {a^{h}-1}{h}} \end{align*}

Há duas coisas interessantes a observar aqui: ficamos com um limite que envolve $h$, mas não $x$, o que significa que, seja lá o que $\lim _{h\to 0} (a^h-1)/h$ for, desde que exista, sabemos que é um número ou, em outras palavras, uma constante. Isso significa que $a^x$ tem uma propriedade notável:

A derivada de uma função exponencial é uma constante vezes ela mesma.

Infelizmente, está além do escopo deste texto calcular o limite \[ \lim _{h\to 0} \frac {a^h-1}{h}.\] No entanto, podemos olhar alguns exemplos. Considere $(2^h-1)/h$ e $(3^h-1)/h$:

Embora essas tabelas não provem que temos um padrão, acontece que \[ \lim _{h\to 0}\frac {2^h-1}{h} \approx .7 \qquad \text {e}\qquad \lim _{h\to 0} \frac {3^h-1}{h} \approx 1.1. \] Além disso, se você fizer mais exemplos, escolhendo outros valores para a base $a$, verá que o limite varia no mesmo sentido que o valor de $a$: $a$ maior, limite maior; $a$ menor, limite menor. Como já podemos ver, alguns desses limites serão menores que $1$ e outros maiores que $1$. Em algum lugar entre $a=2$ e $a=3$ o limite será exatamente $1$. Isso acontece quando \[ a = e = 2.718281828459045\dots . \] Vamos definir o número $e$ por essa propriedade na próxima definição:

O número denotado por $e$, chamado número de Euler, é definido como o número que satisfaz a seguinte relação \[ \lim _{h\to 0} \frac {e^h-1}{h} = 1.\]

Usando essa definição, vemos que a função $e^x$ tem a seguinte propriedade realmente notável.

A derivada da função exponencial natural A derivada da função exponencial natural é a própria função exponencial natural. Em outras palavras, \[ \ddx e^x = e^x. \]

Pela definição de derivada por limite, escreva \begin{align*} \ddx e^x&=\lim _{h\to 0} \frac {e^{x+h}-e^x}{h} \\ &=\lim _{h\to 0} \frac {e^xe^{h}-e^x}{h} \\ &=\lim _{h\to 0} \class{xm-given}{e^x}\frac {e^{h}-1}{h} \\ &=e^x\lim _{h\to 0} \frac {e^{h}-1}{h} \\ &=e^x\cdot 1\\ &=e^x. \end{align*}

Logo, $e^x$ é a sua própria derivada. Em outras palavras, a inclinação do gráfico de $e^x$ é igual à sua altura, ou seja, à sua segunda coordenada. Dito de outro modo, a função $f(x)=e^x$ passa pelo ponto $(a,e^a)$ e tem inclinação $e^a$ nesse ponto, seja qual for o valor de $a$.

Qual é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função $f(x) = e^x$ em $x = 5$? A inclinação é $\class{xm-given}{e^5}$.

Calcule: \[ \ddx \left (8\sqrt {x} + 7e^x \right ) \]

Escreva comigo: \begin{align*} \ddx \left (8\sqrt {x} + 7e^x \right ) &= 8\ddx x^{1/2} + 7\ddx e^x\\ &= 4x^{-1/2} + 7 \class{xm-given}{e^x}. \end{align*}