\(
\newenvironment {prompt}{}{}
\newcommand {\accordion }[0]{}
\newcommand {\ungraded }[0]{}
\newcommand {\xmDefaultPreamble }[0]{xmPreamble.tex}
\newcommand {\xmDefaultPrintstyle }[0]{xmPrintstyle.sty}
\newcommand {\todo }[0]{}
\newcommand {\oiint }[0]{{\large \bigcirc }\kern -1.56em\iint }
\newcommand {\mooculus }[0]{\textsf {\textbf {MOOC}\textnormal {\textsf {ULUS}}}}
\newcommand {\tkzTabSlope }[1]{\foreach \x /\y /\z in {#1}{\node [left = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\y $}; \node [right = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\z $}; }}
\newcommand {\RR }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\R }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\N }[0]{\mathbb N}
\newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z}
\newcommand {\sagemath }[0]{\textsf {SageMath}}
\newcommand {\d }[0]{\,d}
\newcommand {\l }[0]{\ell }
\newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}}
\newcommand {\zeroOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{0}}}}
\newcommand {\inftyOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\infty }{\infty }}}}
\newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}}
\newcommand {\zeroTimesInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {0\cdot \infty }}}
\newcommand {\inftyMinusInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {\infty - \infty }}}
\newcommand {\oneToInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {1^\infty }}}
\newcommand {\zeroToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {0^0}}}
\newcommand {\inftyToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\infty ^0}}}
\newcommand {\numOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}}}
\newcommand {\dfn }[0]{\textbf }
\newcommand {\unit }[0]{\mathop {}\!\mathrm }
\newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]}
\newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )}
\newcommand {\epsilon }[0]{\varepsilon }
\newcommand {\phi }[0]{\varphi }
\newcommand {\iff }[0]{\Leftrightarrow }
\DeclareMathOperator {\arccot }{arccot}
\DeclareMathOperator {\arcsec }{arcsec}
\DeclareMathOperator {\arccsc }{arccsc}
\DeclareMathOperator {\si }{Si}
\DeclareMathOperator {\scal }{scal}
\DeclareMathOperator {\sign }{sign}
\newcommand {\arrowvec }[1]{{\overset {\rightharpoonup }{#1}}}
\newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}}
\newcommand {\point }[1]{\left (#1\right )}
\newcommand {\pt }[1]{\mathbf {#1}}
\newcommand {\Lim }[2]{\lim _{\point {#1} \to \point {#2}}}
\DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}}
\newcommand {\veci }[0]{{\boldsymbol {\hat {\imath }}}}
\newcommand {\vecj }[0]{{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}
\newcommand {\veck }[0]{{\boldsymbol {\hat {k}}}}
\newcommand {\vecl }[0]{\vec {\boldsymbol {\l }}}
\newcommand {\uvec }[1]{\mathbf {\hat {#1}}}
\newcommand {\utan }[0]{\mathbf {\hat {t}}}
\newcommand {\unormal }[0]{\mathbf {\hat {n}}}
\newcommand {\ubinormal }[0]{\mathbf {\hat {b}}}
\newcommand {\dotp }[0]{\bullet }
\newcommand {\cross }[0]{\boldsymbol \times }
\newcommand {\grad }[0]{\boldsymbol \nabla }
\newcommand {\divergence }[0]{\grad \dotp }
\newcommand {\curl }[0]{\grad \cross }
\newcommand {\lto }[0]{\mathop {\longrightarrow \,}\limits }
\newcommand {\bar }[0]{\overline }
\newcommand {\surfaceColor }[0]{violet}
\newcommand {\surfaceColorTwo }[0]{redyellow}
\newcommand {\sliceColor }[0]{greenyellow}
\newcommand {\vector }[1]{\left \langle #1\right \rangle }
\newcommand {\sectionOutcomes }[0]{}
\newcommand {\VerbMathToks }[2]{\alteqtoks {\begin {#2} #1 \end {#2}}}
\newcommand {\DeclareMicrotypeVariants }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeAlias }[2]{}
\newcommand {\LoadMicrotypeFile }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeFilePrefix }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeBabelHook }[2]{}
\newcommand {\microtypesetup }[1]{}
\newcommand {\microtypecontext }[1]{}
\newcommand {\textmicrotypecontext }[2]{#2}
\newcommand {\leftprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\rightprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\noprotrusionifhmode }[0]{}
\newcommand {\lsstyle }[0]{}
\newcommand {\lslig }[1]{#1}
\newcommand {\maketitle }[0]{}
\newcommand {\problem }[0]{ }
\newcommand {\exercise }[0]{ }
\newcommand {\question }[0]{ }
\newcommand {\exploration }[0]{ }
\newcommand {\dialogue }[0]{\begin {description}}
\newcommand {\GetTranslation }[1]{#1}
\newcommand {\arraystretch }[0]{1.3}
\)
Dois jovens matemáticos pensam em “atalhos” para derivar.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Eu odeio a definição de derivada por limite. Queria que houvesse um jeito mais curto.
- Riley
- Acho que encontrei um padrão para calcular derivadas.
- Devyn
- Sério? Eu adoro padrões!
- Riley
- Eu sei! Olha só, montei uma tabela \[ \begin{array}{c|c} f(x) & f'(x)\\ \hline x^2 & 2\cdot x^1\\ x^3 & 3\cdot x^2\\ x^4 & 4\cdot x^3 \end{array} \] Então talvez, se tivermos uma função \[ f(x) = x^n\quad \text {então}\qquad f'(x) = n\cdot x^{n-1}. \]
- Devyn
- Hmmm, será que funciona com raízes quadradas?
- Riley
- Ah, é verdade, uma raiz quadrada é uma potência, basta escrever \[ f(x) = \sqrt {x} = x^{1/2}. \] Então uma raiz quadrada é da forma \(x^n\).
- Devyn
- Vamos verificar. Se \(f(x) = \sqrt {x}\), \begin{align*} f'(x) &= \lim _{h\to 0} \frac {\sqrt {x+h} -\sqrt {x}}{h}\\ &= \lim _{h\to 0} \left (\frac {\sqrt {x+h} - \sqrt {x}}{h}\cdot \frac {\sqrt {x+h} + \sqrt {x}}{\sqrt {x+h} + \sqrt {x}}\right )\\ &= \lim _{h\to 0} \frac {x+h - x}{h(\sqrt {x+h} + \sqrt {x})}\\ &= \lim _{h\to 0} \frac {\cancel {h}}{\cancel {h}(\sqrt {x+h} + \sqrt {x})}\\ &= \lim _{h\to 0} \frac {1}{\sqrt {x+h} + \sqrt {x}}\\ &= \frac {1}{\sqrt {x} + \sqrt {x}}\\ &= \frac {1}{2\sqrt {x}}\\ &= \frac {1}{2}\cdot x^{-1/2}. \end{align*}
- Riley
- Minha nossa! Funciona! Nesse caso \(f'(x) = n\cdot x^{n-1}\).
- Devyn
- Será que sempre funciona? Se sim, eu quero saber por que funciona! Que outros padrões será que conseguimos encontrar?
O padrão \[ \text {se} \qquad f(x) = x^n\quad \text {então}\qquad f'(x) = n\cdot x^{n-1} \] vale sempre que \(n\) é uma constante. Explicar por que ele funciona em geral vai levar algum tempo. Por enquanto, vamos ver se conseguimos usar esse padrão para resolver algumas derivadas com facilidade.
Usando o padrão encontrado acima, calcule: \[ \ddx x^{101} \begin{prompt}= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Usando o padrão encontrado acima, calcule: \[ \ddx \frac {1}{x^{77}} \begin{prompt}= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Usando o padrão encontrado acima, calcule: \[ \ddx \sqrt [5]{x} \begin{prompt}= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Usando o padrão encontrado acima, calcule: \[ \ddx x^e \begin{prompt}= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]