Primeiro, vamos desenhar um retângulo genérico de perímetro \(12\).

A área do retângulo é \[ A = x\cdot y. \] Para podermos usar as técnicas do cálculo, temos que expressar a área como função de uma única variável.

Para isso, temos que expressar uma das variáveis, digamos \(y\), em termos de \(x\). Como podemos fazer isso?

Lembre-se de que temos a restrição: “…retângulos de perímetro \(12\)…”

Se um retângulo tem perímetro \(12\), então \(2x+2y=12\), e podemos resolver para \(y\) em termos de \(x\), \[ y=\class{xm-given}{6-x}. \]

Logo, a área de um retângulo de perímetro \(12\) pode ser expressa como função de uma única variável, \(x\), \[ A(x) = x\left (\class{xm-given}{6-x}\right ). \] No entanto, para que os comprimentos dos lados façam sentido fisicamente, devemos supor que \(x>0\) e \(6-x>0\).

Portanto, o domínio da função \(A\) é o intervalo \(\left (\class{xm-given}{0},\class{xm-given}{6}\right )\).

Assim, para maximizar a área do retângulo, temos que encontrar o máximo global da função \(A\) no intervalo \((0,6)\). Como o domínio de \(A\) é um intervalo aberto, o máximo global (se existir!) tem que ser um máximo local e, portanto, ocorre em um ponto crítico. Assim, temos que encontrar todos os pontos críticos de \(A\) no intervalo \((0,6)\). Como \[ A'(x) = \class{xm-given}{6-2x}, \] para encontrar os pontos críticos, temos que resolver a equação \[ \class{xm-given}{6-2x} = 0. \] Segue que o único ponto crítico de \(A\) está em \(x=\class{xm-given}{3}\).

Podemos fazer um quadro de sinais para \(A'(x)\) no intervalo \((0,6)\):

Como \(A'(x)\) é positiva em \((0,3)\) e negativa em \((3,6)\), a função \(A\) tem um máximo global em \(x=3\). Isso acontece exatamente quando o retângulo é um quadrado!

Primeiro, fazemos um desenho. Aqui está um retângulo com área \(100\).

Para isso, temos que expressar uma das variáveis, digamos \(y\), em termos de \(x\), usando a restrição \(A=x\cdot y=100\), \[ y=\class{xm-given}{\frac {100}{x}}. \]

Logo, o perímetro de um retângulo com área \(100\) pode ser expresso como função de uma única variável, \(x\), \[ P(x) = 2x+2\left (\class{xm-given}{\frac {100}{x}}\right ). \] Novamente, para que os comprimentos dos lados façam sentido fisicamente, devemos supor que \(x>0\).

Portanto, o domínio da função \(P\) é o intervalo \((\class{xm-given}{0},\class{xm-given}{\infty })\).

Assim, para minimizar o perímetro do retângulo, temos que encontrar o mínimo global da função \(P\) no intervalo \(\left (0,\infty \right )\).

Como o domínio de \(P\) é um intervalo aberto, o mínimo global (se existir!) tem que ser um mínimo local e, portanto, ocorre em um ponto crítico. Assim, temos que encontrar todos os pontos críticos de \(P\) no intervalo \((0,\infty )\). Como \[ P'(x) = \class{xm-given}{2-\frac {200}{x^2}}, \] para encontrar os pontos críticos, temos que resolver a equação \[ \class{xm-given}{2-\frac {200}{x^2}} = 0. \] Resolvendo para \(x\), obtemos \(x=\pm \class{xm-given}{10}\). Apenas o valor \(x=\class{xm-given}{10}\) está no domínio de \(P\). Como \(P'(x)\) está definida em todo o intervalo \((0,\infty )\), não há mais valores críticos, e não há extremidades. Há um máximo local, um mínimo local ou nenhum dos dois em \(x=10\)? A segunda derivada é \[ P''(x)=\class{xm-given}{400/x^3}, \] e \(P''(10)>0\), logo há um mínimo local. Como há apenas um ponto crítico, esse também é o mínimo global.

Assim, o retângulo com menor perímetro é o quadrado \(10\times 10\).

Podemos ilustrar nosso resultado com o gráfico de \(P\).

A figura abaixo mostra três retângulos desse tipo. Há infinitos retângulos assim, um para cada escolha de \(x\) em \((0,\sqrt {a})\).

Queremos maximizar \(A\), a área do retângulo. O canto inferior direito do retângulo está em \((x,x^2)\) e, uma vez escolhido esse ponto, o retângulo fica completamente determinado. Seja \(h\) a altura e \(w\) a largura do retângulo.

Então \[ A=w\cdot h, \] em que \[ w=2x \text { e } h=\class{xm-given}{a-x^2}. \] Portanto, podemos expressar a área \(A\) como função de \(x\) \[ A(x)=2x\left (\class{xm-given}{a-x^2}\right ). \] Queremos o valor máximo de \(A(x)\) quando \(x\) está em \([0,\sqrt {a}]\). Você pode objetar que não deveríamos permitir \(x=0\) ou \(x=\sqrt {a}\), já que nesses casos o “retângulo” não tem largura ou não tem altura, e portanto não é “realmente” um retângulo. Mas o problema fica um pouco mais fácil se simplesmente permitirmos tais retângulos, que têm área zero, pois assim podemos aplicar o teorema do valor extremo e ver que de fato temos um valor máximo e um valor mínimo.

Neste ponto, você deve esboçar o gráfico da função, se puder.

Fazendo \(0=A'(x)=\class{xm-given}{-6x^2+2a}\), encontramos \(x=\class{xm-given}{\sqrt {a/3}}\) como o único ponto crítico. Testando esse ponto e as duas extremidades (pois o máximo também poderia estar lá), temos \(A(0)=A(\sqrt {a})=\class{xm-given}{0}\) e \(A(\sqrt {a/3})=\class{xm-given}{(4/9)\sqrt {3}a^{3/2}}\). Logo, a área máxima ocorre quando o retângulo tem dimensões \(2\sqrt {a/3}\times (2/3)a\).