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Dois jovens matemáticos discutem limites e velocidade instantânea.

Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):

Devyn
Ei, Riley, andei pensando sobre limites.
Riley
Que incrível.
Devyn
Pois é! Sabe, limites me lembram de uma coisa…De como um GPS ou um celular calcula a velocidade!
Riley
Hum. Um GPS consegue calcular a nossa localização. Então, para calcular a velocidade a partir da posição, ele deve olhar para \[ \frac {\text {variação da posição}}{\text {variação do tempo}} \]
Devyn
E então estudamos isso conforme a variação do tempo fica cada vez mais perto de zero.
Riley
Exatamente como nos limites em zero: podemos estudar algo olhando perto de um ponto, mas não exatamente no ponto.
Devyn
Meu Deus. A vida é uma rica tapeçaria.
Riley
Poeta, você sabe o que diz.

Suponha que você faça uma viagem de carro de Columbus, Ohio, até Urbana-Champaign, Illinois. Suponha ainda que sua posição seja modelada por \[ s(t) = 36t^2 -4.8t^3 \qquad \text {(milhas a oeste de Columbus)} \] em que \(t\) é medido em horas e varia de \(0\) a \(5\) horas.

Qual é a velocidade média da viagem inteira?
xmhintLembre-se: \[ \text {variação da distância} = \text {taxa}\cdot \text {variação do tempo}. \]
xmhintLogo, \[ \frac {\Delta \text {distância}}{\Delta \text {tempo}} = \text {taxa}. \]
xmhintLogo, \[ \frac {\Delta \text {distância}}{\Delta \text {tempo}} = \frac {300}{5}. \]
A velocidade média é de \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) milhas por hora.
Use uma calculadora para estimar a velocidade instantânea em \(t=2\).
xmhintLembre-se: \[ \text {variação da distância} = \text {taxa}\cdot \text {variação do tempo}. \]
xmhintLogo, \[ \frac {\Delta \text {distância}}{\Delta \text {tempo}} = \text {taxa}. \]
xmhintCalcule \[ \frac {36 t^2 -4.8 t^3 -\left (36\cdot 2^2 -4.8\cdot 2^3\right ) }{ t-2} \] para \(t\) cada vez mais perto de \(2\).
A velocidade instantânea (arredondada para o décimo mais próximo) é de \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\) milhas por hora.
Considerando o trabalho acima, quando queremos calcular a velocidade instantânea, precisamos calcular \[ \frac {\text {variação da posição}}{\text {variação do tempo}} \] quando (selecione todas as alternativas que se aplicam):
A “variação do tempo” é zero. A “variação do tempo” fica cada vez mais perto de zero. A “variação do tempo” se aproxima de zero. A “variação do tempo” está perto de zero. A “variação do tempo” tende a zero.

Calcular velocidades médias para valores cada vez menores de \(t-2\), como fizemos acima, é tedioso. Mesmo assim, é exatamente assim que um GPS determina a velocidade a partir da posição! Para evitar esses cálculos tediosos, gostaríamos muito de ter uma fórmula.