Cálculos para esboçar gráficos de funções

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Vamos dar algumas orientações gerais para esboçar o gráfico de uma função.

Vamos direto ao ponto. Aqui usamos todas as ferramentas que conhecemos para esboçar o gráfico de $y=f(x)$:

Determine a interseção com o eixo $y$, que é o ponto $(0,f(0))$. Marque esse ponto no seu gráfico.
Determine as assíntotas verticais, se houver; elas são os pontos $x=a$ onde $f(x)$ vai para o infinito quando $x$ tende a $a$ (pela direita, pela esquerda ou por ambos os lados).
Se possível, determine as interseções com o eixo $x$, os pontos onde $f(x) = 0$. Marque esses pontos no seu gráfico.
Analise o comportamento no infinito: quando $x \to \pm \infty $, o que acontece com o gráfico de $f$? Ele tem assíntotas horizontais, cresce ou decresce ilimitadamente, ou tem algum outro tipo de comportamento?
Calcule $f'$ e $f''$.
Determine os pontos críticos (os pontos onde $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ não está definida).
Use o teste da primeira ou da segunda derivada para identificar os extremos locais e/ou determinar os intervalos em que sua função é crescente/decrescente.
Determine os candidatos a pontos de inflexão, os pontos onde $f''(x) = 0$ ou $f''(x)$ não está definida.
Identifique os pontos de inflexão e a concavidade.
Determine um intervalo que mostre todo o comportamento relevante.

Neste ponto, você já deve ser capaz de esboçar o gráfico da sua função.

Esboce o gráfico da função definida por $f(x)=2x^3-3x^2-12x$.

A interseção com o eixo $y$ é $(0,\class{xm-given}{0})$. Marque esse ponto no seu gráfico.

Quais das alternativas a seguir são assíntotas verticais? Selecione todas as alternativas que se aplicam.

$x=0$ $x=1$ $x=-1$ $x=\sqrt {2}$ Não há assíntotas verticais

Neste caso, $f(x) =2x^3-3x^2-12x$, podemos determinar as interseções com o eixo $x$. Há três interseções com o eixo $x$. Vamos chamá-las de $a$, $b$ e $c$, e ordená-las de modo que $a<b<c$. Então

\begin{align*} a &= \class{xm-given}{\frac {3-\sqrt {105}}{4}},\\ b &= \class{xm-given}{0}, \\ c &= \class{xm-given}{\frac {3+\sqrt {105}}{4}}. \end{align*}

Qual das alternativas a seguir descreve melhor o comportamento de $f$ quando $x \to \infty $?

$f$ cresce ilimitadamente. $f$ decresce ilimitadamente. $f$ tem uma assíntota horizontal. $f$ tem algum outro comportamento em $\infty $.

Qual das alternativas a seguir descreve melhor o comportamento de $f$ quando $x \to -\infty $?

$f$ cresce ilimitadamente. $f$ decresce ilimitadamente. $f$ tem uma assíntota horizontal. $f$ tem algum outro comportamento em $\infty $.

Calcule $f'(x)$ e $f''(x)$: \begin{align*} f'(x) &= \class{xm-given}{6x^2 -6x -12}\\ &=6\left (\class{xm-given}{x^2-x-2}\right )\\ &=6(x+1)\left (\class{xm-given}{x-2}\right ). \end{align*}

Por outro lado, \begin{align*} f''(x) &= \class{xm-given}{12x-6}\\ &=12\left (\class{xm-given}{x-\frac {1}{2}}\right ). \end{align*}

Os pontos críticos são onde $f'(x) = 0$; assim, precisamos resolver $6(x+1)(x-2) = 0$ para $x$. Essa equação tem duas soluções. Se as chamarmos de $a$ e $b$, com $a<b$, quais são $a$ e $b$? \[ a = \class{xm-given}{-1}\qquad \text {e}\qquad b = \class{xm-given}{2}. \]

Marque os pontos críticos $x=2$ e $x=-1$ no seu gráfico.

Como $f'(x)=6(x+1)(x-2)$, e ambos os fatores $(x+1)$ e $(x-2)$ são negativos para $x<-1$, segue que $f'(x)>0$ e, portanto, nossa função é crescente em $(-\infty ,-1)$.

Da mesma forma, como para $-1<x<2$ temos $(x+1)>0$ e $(x-2)<0$, a derivada é negativa nesse intervalo e, portanto, nossa função é decrescente em $(-1,2)$.

E, para $x>2$, ambos os fatores $(x+1)$ e $(x-2)$ são positivos e, portanto, nossa função é crescente em $(2,\infty )$.

Logo, $x=-1$, correspondente ao ponto $(-1,7)$, é um máximo local, e $x=2$, correspondente ao ponto $(2,-20)$, é um mínimo local de $f(x)$. Identifique isso no seu gráfico.

Para localizar os pontos de inflexão, temos que resolver a equação $f''(x) = 0$; assim, precisamos resolver $12\left (x-\frac {1}{2}\right )=0$ para $x$.

A solução dessa equação é $x = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}$.

Esse é apenas um possível ponto de inflexão; ainda temos que verificar se a concavidade muda nesse ponto.

Temos que $f''(x)<0$ para $x<\frac {1}{2}$; portanto, $f$ tem concavidade para baixoem $\left (-\infty ,\frac {1}{2}\right )$.

Da mesma forma, $f''(x)>0$ para $x>\frac {1}{2}$; portanto, $f$ tem concavidade para cima em $\left (\frac {1}{2},\infty \right )$.

Então a concavidade muda em $x=\frac {1}{2}$ e, portanto, esse ponto é um ponto de inflexão.

Como todo o comportamento descrito acima ocorre no intervalo $[-2,4]$, temos agora um esboço completo de $f(x)$ nesse intervalo; veja a figura abaixo.

Esboce o gráfico de \[ f(x) = \begin{cases} xe^x+2 &\text {se $x<0$} \\ x^4-x^2+3 &\text {se $x \geq 0$}. \end{cases} \] OBSERVAÇÃO: $\lim _{x \to -\infty }xe^x=0$. Você vai precisar desse limite para responder a algumas das perguntas abaixo.
Tente fazer isso por conta própria primeiro; depois confira com um colega, com uma calculadora gráfica (como o Desmos) ou com a versão online.

Como essa função é definida por partes, vamos analisar o gráfico de $f$ nos intervalos $(-\infty ,0)$ e $[0,\infty )$ separadamente.

Como $f$ é definida por partes, e potencialmente descontínua em $0$, é importante entender o comportamento de $f$ perto de $x = 0$.

\[ \lim _{x \to 0^-} f(x) = \class{xm-given}{2} \]

\[ \lim _{x \to 0^+} f(x) = \class{xm-given}{3} \]

Além disso,

\[ f(0) = \class{xm-given}{3} \]

Registre essas informações no nosso gráfico com círculos preenchidos e vazios.

Quais das alternativas a seguir são assíntotas verticais em $(-\infty ,0)$? Selecione todas as alternativas que se aplicam.

$x=0$ $x=1$ $x=-1$ $x=\sqrt {2}$ Não há assíntotas verticais

Quais das alternativas a seguir são assíntotas verticais em $(0,\infty )$? Selecione todas as alternativas que se aplicam.

$x=0$ $x=1$ $x=-1$ $x=\sqrt {2}$ Não há assíntotas verticais

Qual das alternativas a seguir descreve melhor o comportamento de $f$ quando $x \to \infty $?

$f$ cresce ilimitadamente. $f$ decresce ilimitadamente. $f$ tem uma assíntota horizontal $y=2$. $f$ tem algum outro comportamento em $\infty $.

Qual das alternativas a seguir descreve melhor o comportamento de $f$ quando $x \to -\infty $?

$f$ cresce ilimitadamente. $f$ decresce ilimitadamente. $f$ tem uma assíntota horizontal $y = 2$. $f$ tem algum outro comportamento em $\infty $.

Marcamos a posição da assíntota horizontal:

A derivada de $f$ em $(-\infty , 0)$ é \[ f'(x)= \class{xm-given}{xe^x+e^x}=e^x(\class{xm-given}{x+1}) \]

A derivada de $f$ em $(0, \infty )$ é \[ f'(x)= \class{xm-given}{4x^3-2x}=4x\left (\class{xm-given}{x^2-\frac {1}{2}}\right ) \]

Os pontos críticos são os pontos onde $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ não existe. $0$ é um ponto crítico, pois já vimos que é um ponto de descontinuidade de $f$ e, portanto, $f'(0)$ não existe ali. No intervalo $(-\infty , 0)$, $f$ tem um ponto crítico em $x = \class{xm-given}{-1}$. No intervalo $(0,\infty )$, $f$ tem um ponto crítico em $x = \class{xm-given}{\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Marque os pontos críticos $x=-1$ e $x=\frac {1}{\sqrt {2}}$ no seu gráfico.

A função $f$ tem um ponto crítico em $x=-\frac {1}{\sqrt {2}}$? Explique.

Sim, porque $f'\left (-\frac {1}{\sqrt {2}}\right )=0$. Não, porque $f'\left (-\frac {1}{\sqrt {2}}\right )\ne 0$. Sim, porque $f'\left (-\frac {1}{\sqrt {2}}\right )$ não está definida. Não, porque $f'\left (-\frac {1}{\sqrt {2}}\right )$ não está definida.

No intervalo $(-\infty , -1)$, a derivada é $f'(x)=e^x(x+1)$ e tem o mesmo sinal do fator $(x+1)$, que é negativo.

Portanto, $f$ é decrescente em $(-\infty , -1)$.

No intervalo $(-1, 0)$, a derivada $f'(x)$ tem o mesmo sinal do fator $(x+1)$, que é positivo.

Portanto, $f$ é crescente em $(-1, 0)$.

No intervalo $\left (0, \frac {1}{\sqrt {2}}\right )$, a derivada $f'(x)$ não muda de sinal.

Como $f'\left (\frac {1}{4}\right )= \frac {1}{16}-\frac {1}{2}<0$, segue que $f$ é decrescente em $\left (0, \frac {1}{\sqrt {2}}\right )$.

No intervalo $\left (\frac {1}{\sqrt {2}}, \infty \right )$, a derivada $f'(x)$ não muda de sinal. Como $f'(1)= 4\left (1-\frac {1}{2}\right )>0$, $f$ é crescente em $\left (\frac {1}{\sqrt {2}}, \infty \right )$.

A segunda derivada de $f$ em $(-\infty , 0)$ é \[ f''(x)= \class{xm-given}{xe^x+2e^x}=e^x(\class{xm-given}{x+2}) \]

A segunda derivada de $f$ em $(0, \infty )$ é \[ f''(x)= \class{xm-given}{12x^2-2}=12\left (\class{xm-given}{x^2-\frac {1}{6}}\right ) \] Os candidatos a pontos de inflexão são os pontos onde $f''(x) = 0$.

Em $(-\infty , 0)$, $f''$ tem um zero, a saber, $x = \class{xm-given}{-2}$. O sinal de $f''$ muda de negativo para positivo] nesse ponto.

Em $(0, \infty )$, $f''$ tem um zero, a saber, $x = \class{xm-given}{\frac {1}{\sqrt {6}}}$. O sinal de $f''$ muda de negativo para positivo] ao passar por esse ponto.

Como todo o comportamento descrito acima ocorre no intervalo $[-5,2]$, temos agora um esboço completo de $y=f(x)$ nesse intervalo; veja a figura abaixo.