Limites da forma zero sobre zero

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Queremos calcular limites aos quais as leis dos limites não se aplicam.

Na seção anterior calculamos limites usando continuidade e as leis dos limites. E os limites que não podem ser calculados diretamente por esses métodos? Considere o seguinte limite, \[ \lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x+2}{x-2}. \] Aqui \[ \lim _{x\to 2}\left (x^2-3x+2\right ) = 0\qquad \text {e}\qquad \lim _{x\to 2}\left (x-2\right ) = 0 \] diante disso, você pode pensar que o limite é um ou zero. Calma lá. Esse limite é de uma forma indeterminada. O que isso quer dizer? Continue lendo, jovem matemático.

Dizemos que um limite \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} \] é da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$ se \[ \lim _{x\to a} f(x) = 0\quad \text {e}\quad \lim _{x\to a} g(x) =0. \]

Quais dos limites a seguir são da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$?

$\lim _{x\to 0}\frac {\sin (x)}{x}$ $\lim _{x\to 0}\frac {\cos (x)}{x}$ $\lim _{x\to 0}\frac {x^2-3x+2}{x-2}$ $\lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x+2}{x-2}$ $\lim _{x\to 3}\frac {x^2-3x+2}{x-3}$

O símbolo $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$ não é o número $0$ dividido por $0$. É apenas uma notação abreviada. Ele significa que o limite $\lim _{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)}$ tem a propriedade de que \[ \lim _{x\to a} f(x) = 0\quad \text {e}\quad \lim _{x\to a} g(x) =0. \] Ao escrever a forma de um limite, NUNCA escrevemos $\lim _{x \to a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\frac {0}{0}$. É o $=$ que torna essa afirmação matematicamente incorreta. Em vez disso, escreva: $\lim _{x \to a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ é da forma $\frac {0}{0}$

Para encontrar a forma de $\lim _{x \to a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$, calcule os limites do numerador e do denominador SEPARADAMENTE. Não basta “substituir $x=a$”. “Substituir” só pode ser feito depois que se percebe que a função é contínua.

Vamos terminar o exemplo com a função acima.

Calcule: \[ \lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x+2}{x-2} \]

Para encontrar a forma, observe que $\lim _{x\to 2}(x^2-3x+2)=0$ e $\lim _{x\to 2}(x-2)=0$. Isso significa que nosso limite tem a forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$. No entanto, note que, se supusermos $x\ne 2$, podemos escrever \[ \frac {x^2-3x+2}{x-2} = \frac {(x-2)(\class{xm-given}{x-1})}{(x-2)} = \class{xm-given}{x-1}. \]

Assim, “nossa função” é igual ao polinômio $x-1$ em todo lugar, exceto em $x=2$. Portanto, para todos os valores de $x$ próximos de $2$, “nossa função” é igual ao polinômio $x-1$! Isso significa que \[ \lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x+2}{x-2} = \lim _{x\to 2} (x-1). \] Mas agora precisamos calcular o limite de um polinômio, $\lim _{x\to 2} (x-1) =\class{xm-given}{1}$.

Logo \[ \lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x+2}{x-2} = \class{xm-given}{1}. \]

Vamos considerar mais alguns exemplos da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$.

Calcule: \[ \lim _{x\to 1}\frac {x-1}{x^2+2x-3}. \]

Primeiro, observe que \[ \lim _{x\to 1}\left (x-1\right )=0 \quad \text {e}\quad \lim _{x\to 1}\left (x^2+2x-3\right ) = 0. \] Logo, esse limite é da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$. Novamente, não podemos aplicar a lei do quociente nem qualquer outra lei dos limites. Também não podemos usar continuidade. Afinal, “nossa função” não é contínua em $x=1$, pois não está definida em $x=1$.

O que pode ser feito? Podemos tentar cancelar um fator que tende a $0$ no numerador e no denominador. Como $\class{xm-given}{(x-1)}$ é um fator que tende a $0$ no numerador, vamos ver se conseguimos fatorar um $\class{xm-given}{(x-1)}$ no denominador também. \begin{align*} \lim _{x\to 1}\frac {x-1}{x^2+2x-3}&=\lim _{x\to 1}\frac {\cancel {x-1}}{\cancel {(x-1)}\class{xm-given}{(x+3)}} \\ &=\lim _{x\to 1}\frac {1}{\class{xm-given}{x+3}}\\ &=\frac {1}{4}. \end{align*}

Calcule: \[ \lim _{x\to 1} \frac {\frac {1}{x+1}-\frac {3}{x+5}}{x-1}. \]

Encontramos a forma desse limite olhando separadamente para os limites do numerador e do denominador. O limite do numerador é: \begin{align*} \lim _{x\to 1}\left (\frac {1}{x+1}-\frac {3}{x+5}\right )&= \lim _{x\to 1}\frac {x+5-3(x+1)}{(x+1)(x+5)}\\ &= \lim _{x\to 1}\frac {-2x+2}{(x+1)(x+5)}\\ &= \frac {0}{12}\\ &=0 \end{align*}

O limite do denominador é: \[ \lim _{x\to 1}\left (x-1\right )=0 \] Nosso limite é, portanto, da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$ e provavelmente podemos fatorar um termo que tende a $0$ tanto no numerador quanto no denominador. \[ \lim _{x\to 1} \frac {\frac {1}{x+1}-\frac {3}{x+5}}{x-1} \] Olhando para o denominador, esperamos que esse termo seja $(x-1)$. Infelizmente, não é imediatamente óbvio como fatorar um $(x-1)$ no numerador. Então, devemos primeiro simplificar a fração composta multiplicando-a por \[ 1 = \frac {(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+5)} \] isso nos permitirá cancelar imediatamente \begin{align*} \lim _{x\to 1}& \frac {\frac {1}{x+1}-\frac {3}{x+5}}{x-1} \cdot \frac {(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+5)} \\ &= \lim _{x\to 1}\frac {(x+5)-3(x+1)}{(x+1)(x+5)(x-1)}. \end{align*}

Agora vamos expandir o numerador. Observe que não queremos expandir o denominador, porque já temos um $(x-1)$ fatorado no denominador, e esse era o objetivo. \[ \lim _{x\to 1}\frac {(x+5)-3(x+1)}{(x+1)(x+5)(x-1)} \] \begin{align*} &= \lim _{x\to 1}\frac {x+5-3x-3}{(x+1)(x+5)(x-1)} \\ &= \lim _{x\to 1}\frac {-2x+2}{(x+1)(x+5)(x-1)}\\ &= \lim _{x\to 1}\frac {-2\cancel {(x-1)}}{(x+1)(x+5)\cancel {(x-1)}}\\ &= \lim _{x\to 1}\frac {-2}{(x+1)(x+5)}. \end{align*}

Agora podemos ver que o limite de “nossa função” é igual ao limite de uma função racional $\frac {-2}{(x+1)(x+5)}$. Essa função racional é contínua em seu domínio e, portanto, em $x=1$. Logo \begin{align*} \lim _{x\to 1} \frac {\frac {1}{x+1}-\frac {3}{x+5}}{x-1}&=\lim _{x\to 1}\frac {-2}{(x+1)(x+5)}\\ &= \frac {-2}{(1+1)(1+5)} \\ &=\class{xm-given}{\frac {-1}{6}}. \end{align*}

Vamos ver mais um exemplo.

Calcule: \[ \lim _{x\to -1} \frac {\sqrt {x+5}-2}{x+1}. \]

Observe que \[ \lim _{x\to -1} \left (\sqrt {x+5}-2\right )=0\quad \text {e}\quad \lim _{x\to -1} \left (x+1\right ) =0. \] Nosso limite é, novamente, da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$ e provavelmente podemos fatorar um termo que tende a $0$ tanto no numerador quanto no denominador. Olhando para o denominador, suspeitamos que esse termo seja $(x+1)$. Infelizmente, não é imediatamente óbvio como fatorar um $(x+1)$ no numerador.

Vamos usar uma técnica algébrica chamada multiplicação pelo conjugado. Essa técnica é útil quando você está tentando simplificar uma expressão que se parece com \[ \sqrt {\text {algo}} \pm \text {outra coisa}. \] Ela tira proveito da regra da diferença de quadrados \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \] No nosso caso, usaremos $a=\sqrt {x+5}$ e $b=2$. Escreva \[ \lim _{x\to -1} \frac {\sqrt {x+5}-2}{x+1} \] \begin{align*} &= \lim _{x\to -1} \frac {\left (\sqrt {x+5}-2\right )}{(x+1)} \cdot \frac {\left (\sqrt {x+5}+2\right )}{\left (\sqrt {x+5}+2\right )} \\ &=\lim _{x\to -1} \frac {\class{xm-given}{\left (\sqrt {x+5}\right )^2-2^2}}{(x+1)\left (\sqrt {x+5}+2\right )} \\ &=\lim _{x\to -1} \frac {x+5-4}{(x+1)\left (\sqrt {x+5}+2\right )} \\ &=\lim _{x\to -1} \frac {\cancel {(x+1)}}{\cancel {(x+1)}\left (\sqrt {x+5}+2\right )} \\ &=\lim _{x\to -1} \frac {1}{\sqrt {x+5}+2}\\ &= \frac {1}{\sqrt {-1+5}+2}\\ &=\class{xm-given}{\frac {1}{4}}. \end{align*}

Todos os exemplos desta seção são limites da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$. Quando você encontrar um limite da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$, deve tentar usar técnicas algébricas para chegar a uma função contínua cujo limite você consiga calcular.

Observe que resolvemos vários exemplos de limites da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$ e obtivemos respostas diferentes em cada um. Isso nos mostra que saber apenas que a forma do limite é $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$ não é suficiente para calcular o limite. A moral da história é

Limites da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$ podem assumir qualquer valor.

Uma forma que não nos dá nenhuma informação sobre se o limite existe ou não e, caso o limite exista, nenhuma informação sobre o valor do limite, é chamada de forma indeterminada.

Uma forma que dá informação sobre se o limite existe ou não e, caso exista, dá informação sobre o valor do limite, é chamada de forma determinada.

Por fim, talvez você fique incomodado por termos introduzido uma forma, a saber $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$, só para acabar dizendo que ela não dá nenhuma informação sobre o valor do limite. Mas é exatamente isso que torna as formas indeterminadas interessantes… elas são um mistério!