Continuidade de funções definidas por partes

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Aqui usamos limites para verificar se funções definidas por partes são contínuas.

Antes de começarmos a falar sobre continuidade de funções definidas por partes, vamos relembrar todas as funções famosas que são contínuas em seus domínios.

Continuidade das funções famosas As funções a seguir são contínuas em seus domínios naturais:

Funções constantes
Polinômios
Funções racionais
Funções potência
Funções exponenciais
Funções logarítmicas
Funções trigonométricas
Funções trigonométricas inversas

Em essência, estamos dizendo que as funções listadas acima são contínuas em todos os pontos onde estão definidas.

Provamos anteriormente a continuidade dos polinômios usando a Lei da Soma, a Lei do Produto e a continuidade das funções potência.

Provamos anteriormente a continuidade das funções racionais usando a Lei do Quociente e a continuidade dos polinômios.

Podemos provar a continuidade das outras quatro funções trigonométricas usando a Lei do Quociente e a continuidade das funções seno e cosseno.

Como uma função contínua e sua inversa têm gráficos “sem quebras”, segue que a inversa de uma função contínua é contínua em seu domínio.

Isso implica que as funções trigonométricas inversas são contínuas em seus domínios.

Usando as Leis dos Limites, podemos provar que, dadas duas funções, ambas contínuas no mesmo intervalo, então sua soma, diferença, produto e quociente (onde estiver definido) também são contínuos no mesmo intervalo (onde estiverem definidos).

Nesta seção, vamos trabalhar alguns exemplos envolvendo limites, continuidade e funções definidas por partes. Lembre-se de que uma função $f$ é contínua em um ponto $a$ se $\displaystyle \lim _{x\to a}f(x) = f(a)$. Isso nos deu a lista de verificação da continuidade. Para determinar se uma função $f$ é contínua em um ponto $a$, devemos verificar que:

$f(a)$ está definido,
$\lim _{x\to a} f(x)$ existe e, então,
$\lim _{x\to a} f(x) = f(a)$.

Nesta seção, como estamos lidando com funções definidas por partes, pode ser necessário considerar limites laterais para determinar se o item cc:lim vale para a nossa função. No entanto, o item cc:lim não menciona limites laterais. Ao usar a lista de verificação para justificar a continuidade de uma função, tenha o cuidado de mencionar as condições específicas que são exigidas.

Considere a seguinte função definida por partes \[ f(x) = \begin{cases} \frac {x}{x-1} &\text {se $x<0$,}\\ e^{-x} + c &\text {se $x\ge 0$}. \end{cases} \] Determine a constante $c$ de modo que $f$ seja contínua em $x=0$.

A pergunta nos pede para encontrar o valor de $c$ de modo que a função seja contínua em $x=0$, então usamos a lista de verificação da continuidade. Começamos com o item cc:val. Como $f(0) = \class{xm-given}{0}$ existe, esse item está satisfeito.

Para o item cc:lim, a fim de calcular o limite, teremos de calcular dois limites laterais (pois a expressão de $f(x)$ se $x<0$ é diferente da expressão de $f(x)$ se $x>0$). \begin{align*} \lim _{x\to 0^-} f(x) &= \lim _{x\to 0^-}\class{xm-given}{\frac {x}{x-1}}\\ &= \frac {\class{xm-given}{0}}{-1}\\ &=\class{xm-given}{0}. \end{align*}

e \begin{align*} \lim _{x\to 0^+} f(x) &= \lim _{x\to 0^+}\left (e^{-x}+c\right )\\ &= e^{\class{xm-given}{0}} + c\\ &= \class{xm-given}{1+ c} \end{align*}

Para que $\displaystyle \lim _{x\to 0} f(x)$ exista, \[ 1 + c = 0\qquad \text {logo}\qquad c = \class{xm-given}{-1}. \] Assim, se $c=-1$, o limite $\displaystyle \lim _{x\to 0} f(x)=0$, o que significa que o item cc:lim está satisfeito.

Para o item cc:conc, precisamos verificar que o valor que encontramos para $f(0)$ é o mesmo que o valor que encontramos para $\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)$. Esses valores coincidem, então o item cc:conc está satisfeito. Isso prova que $f$ é contínua em $x=0$.

No exemplo anterior, observe que o trabalho não terminou quando encontramos o valor de $c$. Para justificar a resposta, temos de verificar que as três condições da lista de verificação estão satisfeitas para o valor que encontramos.

Considere o próximo exemplo, mais desafiador.

Considere a seguinte função definida por partes \[ f(x) = \begin{cases} x+4 &\text {se $x<1$,}\\ ax^2+bx+2 &\text {se $1\le x< 3$,}\\ 6x+a-b &\text {se $x\ge 3$.} \end{cases} \] Determine as constantes $a$ e $b$ de modo que $f$ seja contínua tanto em $x=1$ quanto em $x=3$.

Este problema é mais desafiador porque temos mais incógnitas. No entanto, seja corajoso, intrépido matemático. Para encontrar $a$ e $b$ que tornem $f$ contínua em $x=1$, precisamos encontrar $a$ e $b$ tais que \[ \lim _{x\to 1} f(x) =f(\class{xm-given}{1}). \] Vamos começar com o item cc:val da lista de verificação da continuidade em $x=1$. $f(1)=a+b+2$ existe para todos os valores de $a$ e $b$, então esse item está satisfeito.

Agora verificamos o item cc:lim da lista, confirmando que $\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)$ existe. Para calcular $\lim _{x\to 1}f(x)$, temos de calcular dois limites laterais (pois a expressão de $f(x)$ se $x<1$ é diferente da expressão de $f(x)$ se $x>1$). Olhando para o limite pela esquerda, temos \begin{align*} \lim _{x\to 1^-} f(x) &= \lim _{x\to 1^-} \left (\class{xm-given}{x+4}\right ) \\ &=\class{xm-given}{5}. \end{align*}

Olhando para o limite pela direita, temos \begin{align*} \lim _{x\to 1^+} f(x) &= \lim _{x\to 1^+} \left (ax^2+bx+2\right ) \\ &= \class{xm-given}{a+b+2}. \end{align*}

Logo, para que o limite $\lim _{x\to 1} f(x)$ exista, devemos ter \begin{align*} 5 &= a+b+2\\ or\\ a+b &= \class{xm-given}{3}. \end{align*}

O item cc:conc fica então satisfeito no ponto $x=1$ sempre que $a+b=3$.

Para encontrar $a$ e $b$ que tornem $f$ contínua em $x=3$, precisamos encontrar $a$ e $b$ tais que \[ \lim _{x\to 3} f(x) =f(3). \] Vamos voltar à lista de verificação da continuidade no ponto $x=3$. Para o item cc:val, observe que $f(3)=18+a-b$, que existe para todos os valores de $a$ e $b$.

Para verificar o item cc:lim, devemos confirmar que $\lim _{x\to 3}f(x)$ existe. Novamente, a fórmula de $f(x)$ muda em torno de $x=3$, então verificamos os limites laterais. Pela esquerda: \begin{align*} \lim _{x\to 3^-} f(x) &= \lim _{x\to 3^-} \left (ax^2+bx+2\right ) \\ &=a\cdot 9 + b\cdot 3 + 2. \end{align*}

Olhando para o limite pela direita, temos \begin{align*} \lim _{x\to 3^+} f(x) &= \lim _{x\to 3^+} \left (6x+a-b\right ) \\ &= \class{xm-given}{18+a-b}. \end{align*}

Para que $\lim _{x\to 3}f(x)$ exista, esses valores devem ser iguais. \begin{align*} 9a + 3b + 2 &= 18+a-b\\ 8a + 4b -16 &= 0\\ 2a + b &= 4 \end{align*}

Isso significa que o item cc:lim está satisfeito para $a$ e $b$ com $2a+b=4$.

O item cc:conc fica então satisfeito para todos os $a$ e $b$ com $2a+b=4$, pois isso dá $f(3) = 18+a+b$ e $\lim _{x\to 3}f(x)=18+a+b = 9a+3b+2$.

Portanto, para que a função seja contínua TANTO em $x=1$ QUANTO em $x=3$, temos duas equações e duas incógnitas: \[ a+b=3 \qquad \text {e}\qquad 2a + b = 4. \] Fazendo $b = 3-a$ e substituindo, obtemos \begin{align*} 2a+3-a&=4 \\ a &= 1, \end{align*}

logo \[ a=\class{xm-given}{1}\qquad \text {e então}\qquad b =\class{xm-given}{2}. \] Vamos conferir: substituindo agora os valores de $a$ e $b$, encontramos \[ f(x) = \begin{cases} x+4 &\text {se $x<1$,}\\ \class{xm-given}{x^2+2x+2} &\text {se $1\le x< 3$,}\\ \class{xm-given}{6x-1} &\text {se $x\ge 3$.} \end{cases} \] Agora \[ \lim _{x\to 1} f(x) = f(1) = 5, \] e \[ \lim _{x\to 3} f(x) = f(3) = 17. \] Assim, tomar $a= \class{xm-given}{1}$ e $b=\class{xm-given}{2}$ torna $f$ contínua em $x=1$ e $x=3$. Podemos confirmar nossos resultados olhando para o gráfico de $y=f(x)$: \[ \graph [xmin=-10,xmax=10,ymin=0,ymax=30]{y=x+4\left \{x<1\right \},y=x^2+2x+2\left \{1\leq x<3\right \},y=6x-1\left \{3 \leq x\right \}} \]