para todos os números reais em \(x=2\) para todos os números
reais, exceto \(x=2\) impossível dizer
\(
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\)
Apresentamos as leis básicas para trabalhar com limites.
Na seção anterior, conseguimos calcular os limites
\[ \lim _{x\to \pi } x^3=\pi ^3,\quad \lim _{x\to \pi } \sqrt {2}=\sqrt {2},\quad \lim _{x\to \pi } \cos (x)= -1, \]
usando a continuidade das funções \(x^3\), \(\sqrt {2}\) e \(\cos {x}\) em \(x=\pi \). Isso significa que podemos calcular os limites \begin{align*} &\lim _{x\to \pi } (x^3-\cos {x}),\\ &\lim _{x\to \pi } \frac {\sqrt {2}}{\cos (x)},\\ &\lim _{x\to \pi } (\sqrt {2}\cdot x^3\cdot \cos (x)), \text { ou}\\ &\lim _{x\to \pi } \cos ({x^3})? \end{align*}
Bem, não podemos usar a continuidade aqui, porque não sabemos se as funções \(x^3-\cos (x)\), \(\frac {\sqrt {2}}{\cos (x)}\), \(\sqrt {2}\cdot x^3\cdot \cos (x)\) e \(\cos ({x^3})\) são contínuas em \(x=\pi \), e
não temos nenhuma outra ferramenta disponível, já que gráficos e tabelas não são confiáveis. Evidentemente, precisamos de mais ferramentas para nos ajudar no cálculo de limites.
Nesta seção, apresentamos um punhado de regras, chamadas Leis dos Limites, que nos permitem determinar limites de várias combinações de funções.
Leis dos limites Suponha que \(\lim _{x\to a}f(x)=L\) e \(\lim _{x\to a}g(x)=M\).
- Lei da soma/diferença
-
\(\lim _{x\to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim _{x\to a}f(x) \pm \lim _{x\to a}g(x)=L \pm M\).
- Lei do produto
-
\(\lim _{x\to a} (f(x)g(x)) = \lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)=LM\).
- Lei do quociente
-
\(\lim _{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {\lim _{x\to a}f(x)}{\lim _{x\to a}g(x)}=\frac {L}{M}\), se \(M\ne 0\).
Em linguagem simples, “o limite de uma soma é igual à soma dos limites”, “o limite de um produto é igual ao produto dos limites”, etc.
Vamos examinar como as Leis dos Limites podem ser usadas no cálculo de limites.
Calcule os limites a seguir usando as Leis dos Limites:
Para \(\lim _{x\to \pi } (x^3-\cos (x))\), escreva: \begin{align*} \lim _{x\to \pi } (x^3-\cos (x))&=\lim _{x\to \pi } x^3-\lim _{x\to \pi }\cos (x) && \text {pela lei da diferença}\\ &=\pi ^3-(-1)\\ &=\pi ^3+1 \end{align*}
Para \(\lim _{x\to \pi } \frac {\sqrt {2}}{\cos (x)}\), escreva: \begin{align*} \lim _{x\to \pi } \frac {\sqrt {2}}{\cos (x)}&=\frac {\lim _{x\to \pi }\sqrt {2}}{\lim _{x\to \pi }\cos (x)} && \text {pela lei do quociente}\\ &=\frac {\sqrt {2}}{-1}\\ &=-\sqrt {2} \end{align*}
Para \(\lim _{x\to \pi } (\sqrt {2}\cdot x^3\cdot \cos (x))\), usando a Lei do Produto, podemos escrever: \[ \lim _{x\to \pi } (\sqrt {2}\cdot x^3\cdot \cos (x))=\lim _{x\to \pi } \sqrt {2}\cdot \lim _{x\to \pi }x^3\cdot \lim _{x\to \pi }\cos (x) \] \begin{align*} &=\sqrt {2}\cdot \pi ^3\cdot (-1)\\ &=-\sqrt {2}\pi ^3 \end{align*}
Para \(\lim _{x\to \pi } \cos ({x^3})\), escreva: \[ \lim _{x\to \pi } \cos ({x^3})= \cdots \] A função \(\cos ({x^3})\) é uma combinação das funções \(\cos ({x})\) e \(x^3\), mas não é uma soma/diferença, nem um produto, nem um quociente dessas duas funções, de modo que não podemos aplicar nenhuma das Leis dos Limites. Essa função é uma composição das duas funções \(\cos (x)\) e \(x^3\).
-
Calcule o limite a seguir usando as leis dos limites: \[ \lim _{x\to 1}(5x^2+3x-2) \]
Bem, pegue seu lápis e escreva comigo: \[ \lim _{x\to 1} (5x^2+3x-2) = \lim _{x\to 1} 5x^2 + \lim _{x\to 1} \class{xm-given}{3x} - \lim _{x\to 1}2 \] pela Lei da Soma/Diferença. Então, agora, \[ = 5\lim _{x\to 1} x^2 + 3\lim _{x\to 1} x - \lim _{x\to 1}\class{xm-given}{2} \] pela Lei do Produto. Finalmente, pela continuidade de \(x^b\) e \(k\), \[ = 5(1)^2 + 3(1) - 2 =\class{xm-given}{6}. \] Podemos verificar nossa resposta observando o gráfico de \(y=f(x)\): \[ \graph {5x^2+3x-2} \] -
Use a definição de continuidade para determinar se a função polinomial \(f(x)=5x^2+3x-2\) é contínua em \(x=1\).
Vamos usar a lista de verificação da continuidade que foi mencionada logo abaixo da definição de continuidade.Começamos com o primeiro item da nossa lista de verificação da continuidade: \(f(1)\) existe? Sabemos que \(f(1)=5(1)^2 + 3(1) - 2 = 6\), então sim. \(f(1)\) existe.
O próximo item da nossa lista de verificação da continuidade pergunta se \(\lim _{x\to 1}f(x) exists\). Como acabamos de calcular que \( \lim _{x\to 1} (5x^2+3x-2)=6\), sabemos que esse limite existe.
O último item da nossa lista de verificação da continuidade pergunta se o valor que encontramos para \(f(1)\) coincide com o valor que encontramos para \(\lim _{x\to 1}f(x)\). Como ambos foram iguais a \(6\), essa condição também é satisfeita.
Portanto, a função polinomial \(f\) é contínua em \(x=1\).
Mas e quanto à continuidade em qualquer outro valor \(x\)? A função \(f\) é contínua em todo o seu domínio?
E quanto a qualquer outra função polinomial?
Os polinômios são contínuos em seus domínios?
Podemos generalizar o exemplo acima para obter os teoremas a seguir.
Continuidade das funções polinomiais Todas as funções polinomiais, isto é, as
funções da forma \[ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \] em que \(n\) é um inteiro positivo e cada coeficiente \(a_i\), \(i=0, 1,...,n\), é um número
real, são contínuas para todos os números reais.
Para mostrar que
qualquer polinômio, \(f\), é contínuo em qualquer número real, \(a\), temos que mostrar
que \[ \lim _{x\to a} f(x)=f(a). \] Escreva comigo: \[ \lim _{x\to a} f(x) = \lim _{x\to a} (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 ) \] Agora, pela Lei da Soma, \[ = \lim _{x\to a} a_nx^n + \lim _{x\to a} a_{n-1}x^{n-1} + \dots + \lim _{x\to a}a_1 x + \lim _{x\to a} a_0 \] e, pela Lei do Produto,
\begin{align*} = \lim _{x\to a} a_n\cdot \lim _{x\to a}x^n + \lim _{x\to a} a_{n-1}\cdot \lim _{x\to a}x^{n-1} &+ \dots \\ &+ \lim _{x\to a}a_1 \cdot \lim _{x\to a}x + \lim _{x\to a} a_0 \end{align*}
e, pela continuidade, \[ = a_n\cdot a^n + a_{n-1}\cdot a^{n-1} + \dots + a_1 \cdot a + a_0 \] E isso é igual a…\[ =f(a) \] Como mostramos que \(\lim _{x\to a} f(x) = f(a)\), mostramos que \(f\) é contínua em \(x=a\).
Continuidade das funções racionais Uma função racional h, isto é, uma função da
forma \[ h(x)=\frac {f(x)}{g(x)} \] em que \(f \)e \(g\) são polinômios, é contínua para todos os números reais, exceto
onde \(g(x)=0\). Isto é, as funções racionais são contínuas onde quer que estejam definidas.
Seja \(a\) um número real tal que \(g(a)\neq 0\). Então, como \(g(x)\) é contínua em \(a\), \(\lim _{x\to a} g(x) \neq 0\). Portanto, escreva
comigo, \[ \lim _{x \to a} h(x) = \lim _{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} \] e agora, pela Lei do Quociente, \[ \frac {\lim _{x\to a} f(x)}{ \lim _{x\to a} g(x)} \] e, pela continuidade dos polinômios,
podemos agora fazer \(x=a\) \[ \frac {f(a)}{g(a)}=h(a). \] Como mostramos que \(\lim _{x\to a} h(x) = h(a)\), mostramos que \(h\) é contínua em \(x=a\).
Onde \(f(x) = \frac {x^2-3x+2}{x-2}\) é contínua?
Verdadeiro ou falso: se \(f\) e \(g\) são
funções contínuas em um intervalo \(I\), então \(f\pm g\) é contínua em \(I\).
Verdadeiro Falso
Vamos supor que \(I\) é um intervalo aberto e que \(a\) é um número em \(I\).
Lembre-se de que, como \(f\) e \(g\) são ambas contínuas em \(I\), ambas são contínuas em
\(a\).
Isso significa que \( \lim _{x\to a}f(x)=f(a)\) e \( \lim _{x\to a}g(x)=g(a)\).
Agora, defina uma nova função, \(h\), em que \(h(x)= f(x)+g(x)\), para todo \(x\) em \(I\). Temos que mostrar que \(h\) é contínua em \(a\), ou seja, que
\[ \lim _{x\to a} h(x) = h(a). \] Vamos começar com
\[ \lim _{x\to a} h(x) = \lim _{x\to a} (f(x)+g(x)) = \lim _{x\to a} f(x)+\lim _{x\to a}g(x)\hspace {0.04in}by \hspace {0.04in}Sum\hspace {0.04in} Law, \] e, portanto,
\[ \lim _{x\to a} h(x) = f(a)+g(a)=h(a) \checkmark \] Provamos que \(h\) é contínua em qualquer número \(a\) em \(I\). Portanto, \(h\) é contínua em \(I\). De modo semelhante, podemos provar que \(f+g\) é contínua em qualquer intervalo \(I\), mostrando que ela é contínua à esquerda ou à direita nas extremidades. Podemos adaptar a demonstração para a função \(f-g\).
Verdadeiro ou falso: se \(f\) e \(g\) são funções contínuas em um intervalo \(I\), então \(f/g\) é
contínua em \(I\).
Verdadeiro Falso
Nesse caso, \(f/g\) não será contínua nos valores de \(x\)
em que \(g(x) = 0\).
Ainda não sabemos como calcular o limite de uma composição de duas funções. Nosso próximo teorema fornece regras básicas sobre como os limites interagem com a composição de funções.
Lei do limite da composição Se \(f(x)\) é contínua em \(b = \lim _{x\to a} g(x)\), então \[ \lim _{x\to a} f(g(x)) = f(\lim _{x\to a} g(x)). \]
Como o limite de uma função contínua é igual ao valor da função, agora podemos passar os limites para dentro de funções contínuas.
Continuidade das funções compostas
Usando a Lei do Limite da Composição, podemos calcular o último exemplo do
início desta seção. Se \(g\) é contínua em \(x=a\) e se \(f \) é contínua em \(g(a)\), então \(f(g(x))\) é contínua em \(x=a\).
Calcule o limite a seguir usando as leis dos limites: \[ \lim _{x \to \pi }\cos ({x^3}) \]
Vamos usar a
Lei do Limite da Composição. Seja \[ f(g(x))=\cos ({x^3}), \] em que \(f(x)=\cos (x)\) e \(g(x)=x^3\). Agora, a continuidade de \(x^3\) implica
que \(\lim _{x \to \pi }g(x)=\pi ^3\). A continuidade de \(\cos (x)\) implica que \(f\) é contínua em \(\pi ^3=\lim _{x \to \pi }g(x)\). Agora, a Lei do Limite da
Composição implica que \[ \lim _{x \to \pi }\cos ({x^3})= \cos \Bigl ({\lim _{x \to \pi } x^3}\Bigr )=\cos ({\pi ^3})\approx 0.91726. \]
Podemos confirmar nossos resultados conferindo o gráfico de \(y=f(g(x))\): \[ \graph {\cos ({x^3})} \]
Muitas das Leis dos Limites e dos teoremas sobre continuidade desta seção podem parecer óbvios. Você pode estar se perguntando por que dedicamos uma seção inteira a esses teoremas. A resposta é que esses teoremas lhe dirão exatamente quando é fácil determinar o valor de um limite, e exatamente o que fazer nesses casos.
A coisa mais importante a aprender nesta seção é saber se as leis dos limites podem ser aplicadas a um determinado problema e quando precisamos fazer algo mais interessante. Começaremos a discutir esses casos mais interessantes na próxima seção.
1 Uma lista de perguntas
Vamos testar isso.
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 2}\frac {x^2+3x+2}{x+2} \]
sim não
Calcule: \[ \lim _{x\to 2}\frac {x^2+3x+2}{x+2}\begin{prompt} =\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Como \(f(x)=\frac {x^2+3x+2}{x+2}\) é uma função racional e o denominador não é igual a \(0\), vemos que \(f(x)\) é
contínua em \(x=2\). Assim, para determinar esse limite, basta substituir \(2\) em \(f(x)\).
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x+2}{x-2} \]
sim não
\(f(x) = \frac {x^2-3x+2}{x-2}\) é
uma função racional, mas o denominador \(x-2\) é igual a \(0\) quando \(x=2\). Nenhum dos nossos
teoremas atuais trata da situação em que o denominador de uma fração tende a \(0\).
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 0} x\sin (1/x) \]
sim não
Se
tentássemos usar as leis dos limites para calcular este limite, teríamos primeiro que
usar a Lei do Produto para dizer que \[ \lim _{x\to 0}x\sin (1/x)= \lim _{x\to 0} x \cdot \lim _{x\to 0} \sin (1/x). \] Só podemos usar essa lei se ambos os limites
existirem, então precisamos verificar isso primeiro. Sabemos, pela continuidade, que \[ \lim _{x\to 0}x=0. \]
Entretanto, também sabemos que \(\sin (1/x)\) oscila “descontroladamente” quando \(x\) tende a \(0\), e
por isso o limite \[ \lim _{x\to 0} \sin (1/x) \]não existe. Portanto, não podemos usar a Lei do Produto.
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 0} \cot (x^3) \]
sim não
Observe que \[ \cot (x^3) = \frac {\cos (x^3)}{\sin (x^3)}. \] Se tentássemos usar as leis dos limites para calcular este limite,
gostaríamos de usar a Lei do Quociente para dizer que \[ \lim _{x\to 0} \frac {\cos (x^3)}{\sin (x^3)} = \frac {\lim _{x\to 0} \cos (x^3)}{\lim _{x\to 0} \sin (x^3)}. \] Só podemos usar essa lei
se ambos os limites existirem e o denominador não for \(0\). Suspeitamos que
o limite do denominador pode ser igual a \(0\), então verificamos esse limite.
\begin{align*} \lim _{x\to 0} \sin (x^3) &= \sin (\lim _{x\to 0}x^3)\\ &=\sin (0) \\ &=0. \end{align*}
Isso significa que o denominador é zero e, portanto, não podemos usar a Lei do Quociente.
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 0}\sec ^2(e^x-1) \]
sim não
Calcule: \[ \lim _{x\to 0}\sec ^2(e^x-1)\begin{prompt} =\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Observe que \[ \lim _{x\to 0} \sec ^2(e^x-1) = \lim _{x\to 0} \frac {1}{\cos ^2(e^x-1)}. \] Se tentássemos usar as Leis dos Limites para calcular este
limite, teríamos agora que usar a Lei do Quociente para dizer que \[ \lim _{x\to 0} \frac {1}{\cos ^2(e^x-1)} = \frac { \lim _{x\to 0}1}{ \lim _{x\to 0}\cos ^2(e^x-1)}. \] Só podemos usar
essa lei se ambos os limites existirem e o denominador não for \(0\). Vamos verificar o
denominador e o numerador separadamente. Primeiro, calculamos o limite do
denominador: \begin{align*} \lim _{x\to 0}\cos ^2(e^x-1) &= (\lim _{x\to 0}\cos {(e^x-1)})^{2}\\ &= \Bigl (\cos {\Big (\lim _{x\to 0}(e^x-1)\Bigr )}\Bigr )^{2}\\ & =\cos ^2\Bigl (\lim _{x\to 0}(e^x-1)\Bigr )\\ &=\cos ^2\Bigl (\lim _{x\to 0}(e^x)-\lim _{x\to 0}(1)\Bigr )\\ &=\cos ^2(1-1)\\ &= \cos ^2(0)\\ &=1 \end{align*}
Portanto, o limite do denominador existe e não é igual a \(0\). Podemos usar a Lei do Quociente, então vamos calcular o limite do numerador: \[ \lim _{x\to 0}1=1 \] Logo, \[ \frac { \lim _{x\to 0}1}{ \lim _{x\to 0}\cos ^2(e^x-1)} = \frac {1}{1}=1 \]
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 1}{(x-1)\cdot \csc (\ln (x))} \]
sim não
Se
tentássemos usar as leis dos limites para calcular este limite, teríamos que usar a Lei
do Produto para dizer que \[ \lim _{x\to 1}{(x-1)\cdot \csc (\ln (x))}= \lim _{x\to 1}{(x-1)\cdot \lim _{x\to 1}\csc (\ln (x))}. \] Só podemos usar essa lei se ambos os limites existirem.
Vamos verificar cada limite separadamente. \begin{align*} \lim _{x\to 1} (x-1) &= \lim _{x\to 1} (x)-\lim _{x\to 1}(1)\\ &=1-1\\ &=0. \end{align*}
Logo, esse limite existe. Agora verificamos o outro fator. Observe que \[ \lim _{x\to 1}\csc (\ln (x)) = \frac {1}{\sin (\ln (x))}. \] Se tentássemos usar as leis dos limites para calcular este limite, teríamos agora que usar a Lei do Quociente para dizer que \[ \frac {1}{\sin (\ln (x))} = \frac {\lim _{x\to 1}1}{\lim _{x\to 1}\sin (\ln (x))}. \] Só podemos usar essa lei se ambos os limites existirem e o denominador não for igual a \(0\). O limite do numerador certamente existe, então vamos verificar o limite do denominador. \begin{align*} \lim _{x\to 1}\sin (\ln (x)) &= \sin (\lim _{x\to 1}\ln (x))\\ &=\sin (\ln (1))\\ &= \sin (0)\\ &= 0 \end{align*}
Como o denominador é \(0\), não podemos aplicar a Lei do Quociente.
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 0} x\ln (x) \]
sim não
Se
tentássemos usar as leis dos limites para calcular este limite, teríamos que
usar a Lei do Produto para dizer que \[ \lim _{x\to 0} x\ln (x) =\lim _{x\to 0} x \cdot \lim _{x\to 0}\ln (x). \] Só podemos usar essa lei se ambos
os limites existirem. Sabemos que \(\lim _{x\to 0} x = 0\), mas e quanto a \(\lim _{x\to 0}\ln (x)\)? Não sabemos como
determinar \(\lim _{x\to 0}\ln (x)\) usando as leis dos limites, porque \(0\) não está no domínio de \(\ln (x)\).
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 0}\frac {2^x-1}{3^{x-1}} \]
sim não
Calcule: \[ \lim _{x\to 0}\frac {2^x-1}{3^{x-1}}\begin{prompt} =\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Se tentássemos usar as leis dos limites para calcular este
limite, teríamos que usar a Lei do Quociente para dizer que \[ \lim _{x\to 0}\frac {2^x-1}{3^{x-1}} = \frac {\lim _{x\to 0}(2^x-1)}{\lim _{x\to 0}(3^{x-1})}. \] Só podemos
usar essa lei se ambos os limites existirem e o denominador não for igual a \(0\).
Vamos verificar cada limite separadamente, começando pelo denominador
\begin{align*} \lim _{x\to 0}(3^{x-1}) &=3^{\lim _{x\to 0}(x-1)}\\ &=3^{-1}\\ &=\frac {1}{3} \end{align*}
Por outro lado, o limite do numerador é \begin{align*} \lim _{x\to 0}(2^x-1) &=\lim _{x\to 0}(2^x)-\lim _{x\to 0}(1)\\ &=1-1\\ &=0 \end{align*}
Os limites do numerador e do denominador existem, e o limite do denominador não é igual a \(0\), então podemos usar a Lei do Quociente. Obtemos: \[ \frac {\lim _{x\to 0}(2^x-1)}{\lim _{x\to 0}(3^{x-1})} =\frac {0}{\frac {1}{3}}=0. \]
Este limite pode ser calculado diretamente pelas leis dos limites? \[ \lim _{x\to 0}(1+x)^{1/x} \]
sim não
Não temos nenhuma lei dos limites para funções da forma \(f(x)^{g(x)}\), então não conseguimos
calcular este limite.