A integral definida - Cálculo 1

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Integrais definidas calculam a área líquida.

O processo de aproximar áreas sob curvas nos levou à noção de soma de Riemann \[ A \approx \sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x, \] em que $f$ é uma função contínua e não negativa no intervalo $[a,b]$, e $x_k^*$ é um ponto amostral do $k^{th}$ retângulo, $k=1,2,..., n$.

O limite das somas de Riemann, quando $n\to \infty $, dá a área exata entre a curva $y=f(x)$ e o intervalo no eixo $x$:

\[ A=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x. \] Não importa se consideramos apenas somas de Riemann à direita, ou à esquerda, ou do ponto médio, ou outras: o limite de qualquer tipo de soma de Riemann quando $n\to \infty $ é igual à área, desde que $f$ seja não negativa e contínua em $[a,b]$.

O que acontece quando uma função contínua $f$ assume valores negativos no intervalo $[a,b]$?

Ainda podemos formar somas de Riemann e tomar o limite.

A pergunta é: qual é o significado de uma soma de Riemann nesse caso?

O gráfico da função $f$ no intervalo $[0,10]$ é dado na figura abaixo.

A figura ilustra uma soma de Riemann à direita com $n=5$ retângulos para $f$ em $[0,10]$. \[ \sum _{k=1}^5 f(x_k^*)\Delta x= f(2)\Delta x+ f(4)\Delta x+ f(6)\Delta x+f(8)\Delta x+ f(10)\Delta x \]

Portanto, a soma de Riemann é a soma das áreas com sinal dos retângulos: os retângulos que ficam acima do eixo $x$ contribuem com valores positivos, e os retângulos que ficam abaixo do eixo $x$ contribuem com valores negativos para a soma de Riemann. \begin{align*} \sum _{k=1}^5 f(x_k^*)\Delta x= &\left (\underbrace {f(2)\Delta x}_{\text {não negativo}}+ \underbrace {f(4)\Delta x}_{\text {não negativo}}+ \underbrace {f(6)\Delta x}_{\text {não negativo}}\right )\\ &+ \left (\underbrace {f(8)\Delta x}_{\text {negativo}}+ \underbrace {f(10)\Delta x}_{\text {negativo}}\right ) \end{align*}

Quando tomamos o limite das somas de Riemann, parece que deveríamos obter

\[ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x= A_1+(-A_2), \] em que as áreas $A_1$ e $A_2$ estão representadas na figura abaixo.

Em outras palavras, o limite das somas de Riemann parece ser igual à soma das áreas com sinal das regiões que ficam inteiramente acima ou abaixo do eixo $x$. A área com sinal das regiões que ficam acima do eixo $x$ é positiva, e a área com sinal das regiões que ficam abaixo do eixo $x$ é negativa.

Área líquida Essa soma de áreas com sinal é chamada de área líquida da região entre o gráfico de $f$ e o intervalo no eixo $x$ .

Calcule a área líquida limitada pelo gráfico de $f(x) = \cos (x)$ e pelo eixo $x$ entre $x=0$ e $x=\pi $.

Vamos olhar o gráfico.

A área acima do eixo $x$ e a área abaixo do eixo $x$ são exatamente iguais. Isso significa que a área líquida é $\class{xm-given}{0}$.

O limite das somas de Riemann existe para qualquer função contínua no intervalo $[a,b]$, mesmo que $f$ assuma valores negativos em $[a,b]$. O limite das somas de Riemann dá a área líquida da região entre o gráfico de $f$ e um intervalo no eixo $x$.

Isso nos leva à seguinte definição.

Seja $f$ uma função contínua no intervalo $[a,b]$. Definimos a integral definida de $f$ em $[a,b]$ por \[ \int _a^b f(x) \d x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x. \]

A integral definida é um número que dá a área líquida da região entre a curva $y=f(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[a,b]$.

O gráfico de uma função $f$ no intervalo $[0,9]$ é dado na figura. As áreas das quatro regiões que ficam acima ou abaixo do eixo $x$ estão indicadas na figura.

Considere a integral \[ \int _0^9 f(x) \d x \] Expresse a integral em termos das áreas $A_1$, $A_2$, $A_3$ e $A_4$.

\begin{align*} \int _0^9 f(x) \d x&= -A_1+A_2-A_3+A_4\\ \end{align*}

Considere a integral \[ \int _0^{10}-x \d x. \] Calcule a integral de duas maneiras:

interpretando a integral como a área líquida da região entre a curva $y=-x$ e o intervalo $[0,10]$ no eixo $x$;
usando a definição de integral definida, isto é, calculando o limite das somas de Riemann.

A área entre o eixo $x$ e a curva pode ser calculada facilmente, pois é a área de um triângulo.

\[ A=\frac {1}{2}\cdot 10\cdot 10=\class{xm-given}{50}. \]
Então, segue que
\[ \int _0^{10}-x \d x=-A \]
Usamos a definição de integral definida e escrevemos \[ \int _0^{10}-x \d x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n -x_k^*\Delta x \] Não importa que tipo de soma de Riemann usamos, então escolhemos uma soma de Riemann à direita.
\[ \int _0^{10}-x \d x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n -x_k\Delta x \] Uma soma de Riemann à direita com $n=5$ está ilustrada na figura abaixo.

Podemos aplicar a regra do múltiplo constante para somas e limites: \begin{align*} \int _0^{10}-x \d x &=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n -x_k\Delta x\\ &=\lim _{n\to \infty }\left (-\sum _{k=1}^n x_k\Delta x\right )\\ &=-\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n x_k\Delta x \end{align*}
Agora podemos concluir nosso cálculo do limite das somas de Riemann à direita. \begin{align*} \int _0^{10}-x \d x&=-\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n x_k\Delta x\\ &=-\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n k\cdot \frac {10}{n}\cdot \frac {10}{n}\\ &=-\lim _{n\to \infty }\left (\frac {10}{n}\right )^2\sum _{k=1}^n k\\ &=-\lim _{n\to \infty }\left (\frac {10}{n}\right )^2\frac {n(n+1)}{2}\\ &=-\lim _{n\to \infty }50\frac {n+1}{n}\\ &=\class{xm-given}{-50}\\ \end{align*}

Expresse o limite como uma integral definida. \[ \lim _{n\to \infty } \sum _{k=1}^n \left (\sqrt {1-\left (-1+\frac {2k}{n}\right )^2}\right ) \left (\frac {2}{n}\right ) \]
Calcule este limite: \[ \lim _{n\to \infty } \sum _{k=1}^n \left (\sqrt {1-\left (-1+\frac {2k}{n}\right )^2}\right ) \left (\frac {2}{n}\right ) \]
1. Isto é um limite de somas de Riemann! Mais especificamente, é um limite de somas de Riemann com $n$ retângulos, em que \[ \Delta x = \class{xm-given}{\frac {2}{n}}, \]
  \[ x_k^* = -1+\frac {2k}{n}, \] \[ a= x_0^* = \class{xm-given}{-1}, \] e \[ b=x_n^* = \class{xm-given}{1}. \] Logo, podemos reescrever isso como \[ \lim _{n\to \infty } \sum _{k=1}^n \left (\sqrt {1-(x_k^*)^2}\right )=\int _{\class{xm-given}{-1}}^{\class{xm-given}{1}}\sqrt {1-x^2} \d x. \]
2. O limite calcula a área entre o eixo $x$ e a curva
  $y = \sqrt {1-x^2}$. Vamos ver:
  
  Pela geometria, sabemos que esse semicírculo tem área $\class{xm-given}{\pi /2}$. Logo \[ \lim _{n\to \infty } \sum _{k=1}^n \left (\sqrt {1-(x_k^*)^2}\right )\Delta x =\class{xm-given}{\pi /2}. \]

A integral definida calcula a área líquida (soma das áreas com sinal) entre $y=f(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[a,b]$.

Considere o gráfico de uma função $f$ no intervalo $[0,5]$.

Calcule a integral definida \[ \int _0^5 f(x) \d x. \]

A área líquida na figura acima é dada por \[ \int _0^5 f(x) \d x=A_1-A_2 \]

As áreas $A_1$ e $A_2$ são calculadas facilmente, pois ambas são áreas de triângulos. Portanto, \[ \int _0^5 f(x) \d x=\class{xm-given}{1.25} \]

Este exemplo tem mais a nos dizer do que apenas o valor da integral.

Observe que \[ \int _0^3 f(x) \d x= A_1, \] \[ \int _3^5 f(x) \d x=-A_2, \] e \[ \int _0^5 f(x) \d x=A_1-A_2. \] Segue que \[ \int _0^5 f(x) \d x= \int _0^3 f(x) \d x+ \int _3^5 f(x) \d x. \]

Isso parece uma propriedade da integral definida. Existem outras propriedades?

Propriedades da integral definida Sejam $f$ e $g$ definidas em um intervalo fechado $[a,b]$ que contém o valor $c$, e seja $k$ uma constante. Valem as seguintes propriedades:

$\int _a^a f(x)\d x = 0$
$\int _a^c f(x)\d x + \int _c^b f(x)\d x = \int _a^b f(x)\d x$
$\int _a^bf(x)\d x = -\int _b^a f(x)\d x$
$\int _a^bk\cdot f(x)\d x = k\cdot \int _a^bf(x)\d x$
$\int _a^b \left (f(x)\pm g(x)\right )\d x = \int _a^bf(x)\d x \pm \int _a^bg(x)\d x$

Vamos tratar de cada propriedade, uma por vez:

Aqui, não há “área sob a curva” quando a região não tem largura; logo, essa integral definida é $0$.
Isso afirma que a área total é a soma das áreas das sub-regiões. Aqui, uma imagem vale mais que mil palavras:

É importante notar que isso continua valendo mesmo que $a<b<c$. Discutiremos isso no próximo item.
Por enquanto, essa propriedade pode ser vista apenas como uma convenção para fazer as outras propriedades funcionarem bem. Porém, mais adiante veremos que essa propriedade tem uma justificativa própria.
Isso afirma que, quando multiplicamos uma função por um fator, digamos, $7$, a área da região delimitada também fica multiplicada por um fator de $7$.
Isso afirma que a integral da soma é a soma das integrais.

Devido à natureza geométrica da integração, propriedades geométricas das funções podem nos ajudar a calcular integrais.

Calcule: \[ \int _0^6 |x-3| \d x \]

Isso pode parecer difícil à primeira vista. Talvez a primeira coisa a fazer seja olhar o gráfico de $y=x-3$:

Agora podemos esboçar o gráfico de $y=|x-3|$:

Lembre-se de que $|x-3|$ é, na verdade, uma função definida por partes

\[ |x-3| = \begin{cases} x-3 & \text {se $3\le x $}\\ -(x-3)&\text {se $x<3$}. \end{cases} \]

Agora vemos que, na realidade, temos dois triângulos, cada um com base $3$ e altura $3$. Logo \begin{align*} \int _0^6 |x-3| \d x &= \int _0^3 \class{xm-given}{3-x} \d x + \int _3^6 \class{xm-given}{x-3} \d x\\ &= \frac {3\cdot 3}{2} + \frac {3\cdot 3}{2}\\ &=\class{xm-given}{9}. \end{align*}

Uma função $f$ é uma função ímpar se \[ f(-x) = -f(x), \] e uma função $g$ é uma função par se \[ g(-x) = g(x). \]

Os nomes ímpar e par vêm do fato de que essas propriedades são compartilhadas pelas funções da forma $x^n$ em que $n$ é ímpar ou par. Por exemplo, se $f(x) = x^3$, então \[ f(-7) = -f(7), \] e se $g(x) = x^4$, então \[ g(-7) = g(7). \] Geometricamente, as funções pares têm simetria em relação ao eixo $y$ . O cosseno é uma função par:

Por outro lado, as funções ímpares têm $180^\circ $ de simetria rotacional em torno da origem. O seno é uma função ímpar:

Seja $f$ uma função ímpar definida para todos os números reais. Calcule: \[ \int _{-2}^2 f(x) \d x \begin{prompt}=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]

xmhintComo nossa função é ímpar, ela deve se parecer com algo assim:

xmhintA integral acima calcula a seguinte área líquida:

Seja $f$ uma função ímpar definida para todos os números reais. Quais das alternativas a seguir são iguais a \[ \int _2^4 f(x) \d x ? \]

$\int _{4}^{2} f(x) \d x$ $\int _{-4}^{-2} f(x) \d x$ $\int _{-2}^{-4} f(x) \d x$ $\int _{-2}^{4} f(x) \d x$ $\int _{4}^{-2} f(x) \d x$ $\int _{2}^{-4} f(x) \d x$ $\int _{-4}^{2} f(x) \d x$ $-\int _{-4}^{2} f(x) \d x$ $-\int _{-4}^{-2} f(x) \d x$

1 Área líquida versus área geométrica

Sabemos que a área líquida da região entre uma curva $y=f(x)$ e o eixo $x$ em $[a,b]$ é dada por \[ \int _a^b f(x) \d x. \] Por outro lado, se quisermos saber a área geométrica, ou seja, a área “de verdade”, calculamos \[ \int _a^b |f(x)| \d x. \]

O gráfico de uma função $f$ é dado na figura abaixo.

Expresse a área geométrica da região entre a curva $y=f(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,9]$ como uma integral definida.
Expresse a área geométrica da região entre a curva $y=f(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,9]$ em termos de integrais definidas de $f$.
Expresse a área geométrica da região entre a curva $y=f(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[0,9]$ em termos das áreas $A_1$, $A_2$, $A_3$ e $A_4$.
1. A área geométrica é dada pela integral \[ \int _0^9 |f(x)| \d x \] A figura abaixo mostra o gráfico de $|f|$.
2. Usando as propriedades das integrais definidas, podemos escrever \begin{align*} \int _0^9 |f(x)| \d x = \int _0^1 |f(x) |\d x &+ \int _1^5 |f(x)| \d x\\ &+ \int _5^8 |f(x)| \d x\\ &+ \int _8^9 |f(x)| \d x \end{align*}
  Reescrevendo os módulos: \begin{align*} = \int _0^1 (-f(x)) \d x &+ \int _1^5 f(x) \d x\\ &+ \int _5^8 (-f(x)) \d x\\ &+ \int _8^9 f(x) \d x \end{align*}
  Colocando os sinais negativos para fora: \begin{align*} = -\int _0^1 f(x) \d x &+ \int _1^5 f(x) \d x\\ &- \int _5^8 f(x) \d x\\ &+ \int _8^9 f(x) \d x \end{align*}
3. \[ \int _0^9 |f(x)| \d x =A_1 +A_2+A_3+A_4 \]

Verdadeiro ou falso: \[ \int _a^b |f(x)| \d x = \left |\int _a^b f(x) \d x\right | \]

verdadeiro falso

Considere $f(x) = x$ no intervalo $[-1,1]$. Aqui \[ \int _a^b |f(x)| \d x = 1 \qquad \text {mas}\qquad \left |\int _a^b f(x) \d x\right | = 0. \]