Continuidade - Cálculo 1

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O limite de uma função contínua em um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Limites são simples de calcular quando podem ser obtidos substituindo o valor na função. Isto é, quando \[ \lim _{x\to a}f(x) = f(a). \] Chamamos essa propriedade de continuidade.

Uma função $f$ é contínua em um ponto $a$ se \[ \lim _{x\to a}f(x) = f(a). \]

Considere o gráfico da função $f$

Qual das alternativas a seguir é verdadeira?

$f$ é contínua em $x=0.5$ $f$ é contínua em $x=1$ $f$ é contínua em $x=1.5$

É muito importante observar que dizer

“uma função $f$ é contínua em um ponto $a$”

é, na verdade, fazer três afirmações:

$f(a)$ está definido. Isto é, $a$ pertence ao domínio de $f$.
$\lim _{x\to a} f(x)$ existe.
$\lim _{x\to a} f(x) = f(a)$.

As duas primeiras afirmações são consequência da terceira, mas são importantes o bastante para que as separemos, a fim de destacar seu significado. Trate essas três afirmações como a “lista de verificação da continuidade”. Usar a definição de continuidade para determinar se uma função é ou não contínua em um ponto significa verificar esses três itens.

Determine as descontinuidades (os pontos $x$ em que uma função não é contínua) da função descrita abaixo:

Para começar, $f$ nem sequer está definida em $x=\class{xm-given}{2}$; logo, $f$ não pode ser contínua em $x=\class{xm-given}{2}$.

Em seguida, pelo gráfico acima vemos que $\lim _{x\to 4} f(x)$ não existe, porque \[ \lim _{x\to 4^-}f(x) = \class{xm-given}{1}\qquad \text {e}\qquad \lim _{x\to 4^+}f(x) \approx 3.3 \] Como $\lim _{x\to 4} f(x)$ não existe, $f$ não pode ser contínua em $x=4$.

Vemos também que $\lim _{x\to 6} f(x) \approx 2.9$, enquanto $f(6) = \class{xm-given}{2}$. Logo, $\lim _{x\to 6} f(x) \ne f(6)$, e portanto $f$ não é contínua em $x=6$.

A partir da definição de continuidade em um ponto, podemos agora definir o que significa uma função ser contínua em um intervalo aberto.

Uma função $f$ é contínua em um intervalo aberto $I$ se $\lim _{x\to a} f(x) = f(a)$ para todo $a$ em $I$.

Falando de modo informal, uma função é contínua em um intervalo $I$ se você consegue desenhar a função nesse intervalo sem nenhuma interrupção no gráfico. Costuma-se dizer que é possível desenhar o gráfico “sem tirar o lápis do papel”.

Continuidade das funções famosas As funções a seguir são contínuas em seus domínios naturais, para $k$ um número real e $b$ um número real positivo:

Função constante: $f(x) =k$
Função identidade: $f(x) = x$
Função potência: $f(x)=x^b$
Função exponencial: $f(x)=b^x$
Função logarítmica: $f(x)=\log _b(x)$
Seno e cosseno: Tanto $\sin (x)$ quanto $\cos (x)$

Em essência, estamos dizendo que as funções listadas acima são contínuas onde quer que estejam definidas. (Isto é, em seus domínios naturais.)

Calcule: $\lim _{x\to \pi } x^3\begin{prompt}= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt}$

A função $f(x)=x^3$ é da forma $x^b$ para um número real positivo $b$. Portanto, $f(x)=x^3$ é contínua para todos os valores reais positivos de $x$. Em particular, $f(x)$ é contínua em $x=\pi $. Como $x^3$ é contínua em $\pi $, sabemos que $\lim _{x\to \pi } f(x) = f(\pi )$. Isto é, $\lim _{x\to \pi } x^3 = \pi ^3$.

Calcule: $\lim _{x\to \pi } \sqrt {2}\begin{prompt}= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt}$

A função $f(x)= \sqrt {2}$ é uma constante. Portanto, $f(x)=\sqrt {2}$ é contínua para todos os valores reais de $x$. Em particular, $f(x)$ é contínua em $x=\pi $. Como $f$ é contínua em $\pi $, sabemos que $\lim _{x\to \pi } f(x) = f(\pi )=\sqrt {2}$. Isto é, $\lim _{x\to \pi } \sqrt {2}= \sqrt {2}$.

Calcule: $\lim _{x\to \pi } \cos {x}\begin{prompt}= \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt}$

A função $f(x)= \cos {x}$ é contínua para todos os valores reais de $x$. Em particular, $f(x)$ é contínua em $x=\pi $. Como $f$ é contínua em $\pi $, sabemos que $\lim _{x\to \pi } f(x) = f(\pi )=-1$. Isto é, $\lim _{x\to \pi } \cos {x}= -1$.

1 Continuidade à esquerda e à direita

Neste ponto, temos um pequeno problema. Para funções como $\sqrt {x}$, o domínio natural é $[0, \infty )$. Esse não é um intervalo aberto. O que significa dizer que $\sqrt {x}$ é contínua em $0$ se $\sqrt {x}$ não está definida para $x<0$? Para sair desse impasse, precisamos de uma nova definição:

Uma função $f$ é contínua à esquerda em um ponto $a$ se $\lim _{x\to a^-} f(x) = f(a)$.

Uma função $f$ é contínua à direita em um ponto $a$ se $\lim _{x\to a^+} f(x) = f(a)$.

Isso nos permite falar de continuidade em intervalos fechados e semifechados.

Uma função $f$ é

contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ se $f$ é contínua em $(a,b)$, contínua à direita em $a$ e contínua à esquerda em $b$;
contínua em um intervalo semifechado $[a,b)$ se $f$ é contínua em $(a,b)$ e contínua à direita em $a$;
contínua em um intervalo semifechado $(a,b]$ se $f$ é $f$ é contínua em $(a,b)$ e contínua à esquerda em $b$.

Os Intervalos de continuidade de $f$ são a lista (separada por vírgulas) dos maiores intervalos nos quais $f$ é contínua.

Aqui apresentamos o gráfico de uma função definida em $[0,10]$.

Determine os intervalos de continuidade da função.

$[0,10]$ $[0,4)$ e $(4,10]$ $[0,4]$, $[4,6]$ e $[6,10]$ $(0,4)$, $(4,6)$ e $(6,10)$ $[0,4]$, $(4,6)$ e $[6,10]$ $[0,4]$, $(4,6)$ e $(6,10]$ $[0,4)$, $(4,6)$ e $(6,10]$ $(0,4]$, $[4,6]$ e $[6,10)$

Observe que nossa função é contínua à esquerda em $x=4$, então podemos incluir $4$ no intervalo $[0,4]$. O quatro não está incluído no intervalo $(4,6)$ porque nossa função não é contínua à direita em $x=4$. Do mesmo modo, nossa função não é contínua nem à direita nem à esquerda em $x=6$, então $6$ não está incluído em nenhum intervalo. Nossa função é contínua à esquerda em $x=0$ e contínua à direita em $x=10$, por isso incluímos essas extremidades em nossos intervalos.