Aqui calculamos derivadas de produtos e quocientes de funções
1 A regra do produto
Considere o produto de duas funções simples, digamos \[ f(x)\cdot g(x) \] em que \(f(x)=x^2+1\) e \(g(x)=x^3-3x\). Um palpite óbvio
para a derivada de \(f(x)g(x)\) é o produto das derivadas: \begin{align*} f'(x)g'(x) &= (2x)(3x^2-3)\\ &= 6x^3-6x. \end{align*}
Esse palpite está correto? Podemos verificar reescrevendo \(f\) e \(g\) e fazendo o cálculo de
um modo que sabemos que funciona. Escreva comigo \begin{align*} f(x)g(x) &= (x^2+1)(x^3-3x)\\ &=x^5-3x^3+x^3-3x\\ &=x^5-2x^3-3x. \end{align*}
Logo \[ \ddx f(x) g(x) = \ddx (x^5 - 2x^3 - 3x) = 5x^4-6x^2-3, \] e assim vemos que \[ \ddx f(x) g(x) \ne f'(x)g'(x). \] Portanto, a derivada de \(f(x)g(x)\) não é tão simples quanto \(f'(x)g'(x)\). Não
tema: temos uma regra exatamente para essa situação.
A regra do produto Se \(f\) e \(g\) são deriváveis, então \[ \ddx f(x)g(x) = f(x)g'(x)+f'(x)g(x).\]
Vamos voltar ao exemplo com o qual começamos.
Sejam \(f(x)=(x^2+1)\) e \(g(x)=(x^3-3x)\). Calcule: \[ \ddx f(x)g(x)\]
Muitas vezes é possível calcular derivadas de mais de uma maneira, como já vimos.
Como todo quociente pode ser escrito como um produto, sempre é possível usar a
regra do produto para calcular a derivada, embora nem sempre isso seja mais
simples.
Calcule: \[ \ddx \frac {625-x^2}{\sqrt {x}} \] de duas maneiras. Primeiro usando a regra do quociente e depois usando a
regra do produto.
Em seguida, vamos calcular a derivada usando a regra do produto: \begin{align*} \ddx \frac {625-x^2}{\sqrt {x}} &= \ddx \left (625-x^2\right )x^{-1/2}\\ =\left (625-x^2\right )&\left (\class{xm-given}{\frac {-x^{-3/2}}{2}}\right )+ (\class{xm-given}{-2x})\left (x^{-1/2}\right ). \end{align*}
Com um pouco de álgebra, as duas expressões se simplificam para \[ -\frac {3x^2+625}{2x^{3/2}}.\]
Suponha que temos duas funções, \(f\) e \(g\), e sabemos que \(f(4) = 3\), \(f'(4) = 5\), \(g(4) = -2\) e \(g'(4) = 2\). Qual é a inclinação da
reta tangente à curva \(y=\frac {f(x)}{g(x)}\) no ponto em que \(x = 4\)?
A inclinação da reta tangente à curva \(y=\frac {f(x)}{g(x)}\) em \(x = 4\)
é dada por \( \eval {\ddx \frac {f(x)}{g(x)}}_{x=4}\).
Pela regra do quociente, essa derivada é dada por \begin{align*} \eval {\ddx \frac {f(x)}{g(x)}}_{x=4} &=\eval {\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\left (g(x)\right )^2}}_{x=4}\\ &=\frac {f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{\left (g(4)\right )^2}\\ &=\frac {5(-2)-3\cdot 2}{\left (-2\right )^2}\\ &=\frac {-10-6}{4}\\ &=-4 \end{align*}
Suponha que temos duas funções, \(f\) e \(g\), e sabemos que \(f(4) = 3\), \(f'(4) = 5\), \(g(4) = -2\) e \(g'(4) = 2\). Qual é a inclinação da
reta tangente à curva \(y=\frac {xf(x)}{g(x)}\) no ponto em que \(x = 4\)?
A inclinação da reta tangente à curva \(y=\frac {xf(x)}{g(x)}\) em \(x = 4\)
é dada por \( \eval {\ddx \frac {xf(x)}{g(x)}}_{x=4}\).
Pela regra do quociente e pela regra do produto, essa derivada é dada por
\begin{align*} \eval {\ddx \frac {xf(x)}{g(x)}}_{x=4} &=\eval {\frac {(xf'(x)+f(x))g(x)-xf(x)g'(x)}{\left (g(x)\right )^2}}_{x=4}\\ &=\frac {(4f'(4)+f(4))g(4)-4f(4)g'(4)}{\left (g(4)\right )^2}\\ &=\frac {(4\cdot 5+3)(-2)-4\cdot 3\cdot 2}{\left (-2\right )^2}\\ &=\frac {(4\cdot 5+3)(-2)-4\cdot 3\cdot 2}{\left (-2\right )^2}\\ &=\frac {-35}{2}\\ \end{align*}
Este é um pouco mais trabalhoso do que os exemplos anteriores. Vamos resolvê-lo
passo a passo. O primeiro passo é montar a regra do quociente e notar que
tanto o numerador quanto o denominador da função original são produtos.
\begin{align*} \ddx &\frac {e^x \sin (x)}{(x^2+1)(x-3)} = \dfrac {\left (e^x \sin (x)\right )'\left ((x^2+1)(x-3)\right ) - \left (e^x \sin (x)\right )\left ((x^2+1)(x-3)\right )' }{\left ((x^2+1)(x-3)\right )^2} \\ =& \dfrac {\left ((e^x)' \sin (x)+e^x(\sin (x))'\right )\left ((x^2+1)(x-3)\right ) - \left (e^x \sin (x)\right )\left ((x^2+1)'(x-3)+(x^2+1)(x-3)'\right ) }{\left ((x^2+1)(x-3)\right )^2} \\ =& \dfrac {\left (e^x \sin (x)+e^x\cos (x)\right )\left ((x^2+1)(x-3)\right ) - \left (e^x \sin (x)\right )\left (2x(x-3)+(x^2+1)\cdot 1\right ) }{\left ((x^2+1)(x-3)\right )^2} \end{align*}
Vamos encerrar com mais um, misturando as regras.
Suponha que \(f\) é uma função
cujos valores são dados na tabela a seguir.