Limites da forma não nulo sobre zero

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O que se pode dizer sobre limites que têm a forma não nulo sobre zero?

Vamos direto ao ponto:

Dizemos que um limite \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} \] é da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}$ se \[ \lim _{x\to a} f(x) = k\qquad \text {e}\qquad \lim _{x\to a} g(x) =0. \] onde $k$ é alguma constante não nula.

Quais dos limites a seguir são da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}$?

$\lim _{x\to -1} \frac {1}{(x+1)^2}$ $\lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x+2}{x-2}$ $\lim _{x\to 0}\frac {\sin (x)}{x}$ $\lim _{x\to 2}\frac {x^2-3x-2}{x-2}$ $\lim _{x\to 1}\frac {e^x}{\ln (x)}$

Vamos ver o que acontece com limites da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}$.

Considere a função \[ f(x) = \frac {1}{(x+1)^2}. \] Use uma tabela de valores para investigar $\lim _{x\to -1} \frac {1}{(x+1)^2}$.

Preencha a tabela abaixo: \[ \begin{array}{c|c|c} x & (x+1)^{2} & f(x) = \frac {1}{(x+1)^2}\\ \hline -1.1 & 0.01 & 100 \\ -1.01 & 0.0001 & 10000 \\ -1.001 & 0.000001 & \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \\ -1.0001 & 0.00000001 & \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \\ -0.9 & 0.01 & \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \\ -0.99 & 0.0001 & \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \\ -0.999 & 0.000001 & \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-5}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \\ -0.9999 & 0.00000001 & \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-6}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \\ \end{array} \] O que a tabela nos diz sobre \[ \lim _{x\to -1} \frac {1}{(x+1)^2}? \] Parece que o limite não existe, pois a expressão \[ \frac {1}{(x+1)^2} \] fica cada vez maior à medida que $x$ se aproxima de $-1$. Como \[ \lim _{x\to -1} 1 = 1 \qquad \text {e}\qquad \lim _{x\to -1}(x+1)^2 = 0 \] temos que \[ \lim _{x\to -1} \frac {1}{(x+1)^2}\qquad \text {é da forma }\numOverZero \]

Além disso, à medida que $x$ se aproxima de $-1$:

O numerador é positivo.
O denominador se aproxima de zero e é positivo.

Logo, a expressão \[ \frac {1}{(x+1)^2} \] ficará arbitrariamente grande à medida que $x$ se aproxima de $-1$. Podemos ver isso no gráfico de $f$.

Agora estamos prontos para nossa próxima definição.

Se $f(x)$ cresce arbitrariamente à medida que $x$ se aproxima de $a$, escrevemos \[ \lim _{x\to a} f(x) = \infty \] e dizemos que o limite de $f(x)$ é infinito quando $x$ tende a $a$.

Se $|f(x)|$ cresce arbitrariamente à medida que $x$ se aproxima de $a$ e $f(x)$ é negativa, escrevemos \[ \lim _{x\to a} f(x) = -\infty \] e dizemos que o limite de $f(x)$ é menos infinito quando $x$ tende a $a$.

Observação: dizer que ”o limite é igual a infinito” não significa que o limite existe. Isso apenas nos permite descrever com mais precisão o comportamento da função $f$ perto de $a$ do que dizer ”o limite não existe”.

Vamos considerar mais alguns exemplos.

Calcule: \[ \lim _{x\to -2} \frac {e^x}{(x+2)^4} \]

Primeiro, vamos olhar para a forma desse limite. Fazemos isso calculando separadamente os limites do numerador e do denominador: \[ \lim _{x\to -2} e^x = \class{xm-given}{\frac {1}{e^2}}\qquad \text {e}\lim _{x\to -2}\left ((x+2)^4\right ) = 0. \] Portanto, esse limite é da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}$. Essa forma é determinada, pois implica que o limite não existe.
Mas podemos fazer melhor do que isso! À medida que $x$ se aproxima de $-2$:

O numerador é um número positivonegativo.
O denominador é positivonegativo e está se aproximando de zero.

Isso significa que \[ \lim _{x\to -2} \frac {e^x}{(x+2)^4} = \infty . \]

Neste exemplo, quando dizemos “À medida que $x$ se aproxima de $-2$”, não queremos dizer que estamos verificando um único valor de $x$. Queremos dizer TODOS os valores de $x$ que estão suficientemente próximos de $-2$. Verificar um único valor não é suficiente para justificar se o numerador será positivo ou negativo para todos os valores de $x$ suficientemente próximos de $-2$. Montar um quadro de sinais ou traçar o gráfico do numerador pode ajudar nessa determinação.

Calcule: \[ \lim _{x\to 3^+} \frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6} \]

Primeiro, vamos olhar para a forma desse limite, o que fazemos calculando separadamente os limites do numerador e do denominador. \[ \lim _{x\to 3^+} \left (x^2-9x+14\right ) = \class{xm-given}{-4}\qquad \text {e}\lim _{x\to 3^+}\left (x^2-5x+6\right ) = 0 \] Esse limite é da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}$. Em seguida, devemos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar um pouco o problema. \begin{align*} \lim _{x\to 3^+}\frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6} &= \lim _{x\to 3^+}\frac {\cancel {(x-2)}(x-7)}{\cancel {(x-2)}(x-3)}\\ &= \lim _{x\to 3^+}\frac {x-7}{x-3} \end{align*}

Cancelar um fator $x-2$ no numerador e no denominador significa que podemos verificar mais facilmente o comportamento desse limite. À medida que $x$ se aproxima de $3$ pela direita:

O numerador é um número positivonegativo.
O denominador é positivonegativo e está se aproximando de zero.

Isso significa que \[ \lim _{x\to 3^+} \frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6} = -\infty . \]

Novamente, para determinar se o numerador será positivo ou negativo para todo $x$ suficientemente próximo de $3$, mas maior do que ele, não podemos substituir um único valor de $x$. (Mesmo substituir $x=3.0000001'$ não seria suficiente para justificar nosso resultado.) Temos de verificar o sinal para TODOS os valores de $x$ que estão suficientemente próximos de $3$, mas são maiores do que ele.

Aqui está nosso último exemplo.

Calcule: \[ \lim _{x\to 3} \frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6} \]

Já consideramos parte deste exemplo, mas agora vamos considerar o limite bilateral. Já sabemos que \[ \lim _{x\to 3} \frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6} = \lim _{x\to 3}\frac {x-7}{x-3}, \] e que esse limite é da forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}$. Também sabemos que, à medida que $x$ se aproxima de $3$ pela direita,

O numerador é um número negativo.
O denominador é positivo e está se aproximando de zero.

Logo, nossa função se aproxima de $-\infty $ pela direita.

À medida que $x$ se aproxima de $3$ pela esquerda,

O numerador é negativo.
O denominador é negativo e está se aproximando de zero.

Logo, nossa função se aproxima de $\infty $ pela esquerda. Isso significa que \[ \lim _{x\to 3} \frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6} = \class{xm-given}{DNE}. \] Podemos confirmar os resultados dos dois exemplos anteriores olhando para o gráfico de $y=\frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6}$: \[ \graph [xmin=-10,xmax=15,ymin=-10,ymax=10]{\frac {x^2-9x+14}{x^2-5x+6}} \]

Algumas pessoas acham que os matemáticos estão caindo no misticismo quando falamos de infinito e menos infinito. No entanto, quando escrevemos \[ \lim _{x\to a} f(x) = \infty \qquad \text {e}\qquad \lim _{x\to a} g(x) = -\infty \] tudo o que queremos dizer é que, à medida que $x$ se aproxima de $a$, $f(x)$ fica arbitrariamente grande e $|g(x)|$ fica arbitrariamente grande, com $g(x)$ assumindo valores negativos. Estamos usando $\pm \infty $ para indicar direções, e não um valor específico.