\(
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\)
Dois jovens matemáticos discutem como integrais difíceis são quebra-cabeças.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Ei, Riley, é só impressão minha ou integrais são meio divertidas?
- Riley
- Eu sempre me sinto realizada quando termino uma.
- Devyn
- Eu sei! Além disso, mesmo que antiderivadas sejam difíceis, sempre podemos conferir nosso trabalho calculando a derivada.
- Riley
- Demais!
- Devyn
- Mas tem uma coisa me incomodando. Quando fazemos substituição, temos que encontrar \(f\) e \(g\) tais que \[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \d x = \int f(g) \d g. \] Como escolhemos \(f\) e \(g\)?
- Riley
- Bom, nunca, jamais escolha \(g(x) = x\), isso não muda nada!
- Devyn
- E nunca, jamais escolha \(g(x)\) como o integrando inteiro, isso também não ajuda.
- Riley
- De algum modo, precisamos “enxergar” uma função “aninhada” dentro de outra.
- Devyn
- Não sei se existe um caminho fácil para fazer isso, acho que vai exigir prática.
Nos problemas a seguir, vamos usar a fórmula de substituição \[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \d x = \int f(g) \d g \] Embora você possa usar um método um pouco diferente para calcular suas integrais, as habilidades desenvolvidas ao responder aos problemas abaixo vão ajudar você em sua missão de conquistar o cálculo.
Considere \[ \int \sin ^5(3x) \cos (3x) \d x = \int f(g(x)) \cdot g'(x) \d x \] se \(g(x) = 3x\), e \[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \d x = \int f(g) \d g. \] qual é \(f(g)\)? \[ f(g) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Considere \[ \int \sin ^5(3x) \cos (3x) \d x = \int f(g(x)) \cdot g'(x) \d x \] se \(f(g) = \frac {g^5}{3}\), e \[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \d x = \int f(g) \d g. \] qual é \(g(x)\)? \[ g(x) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Com suas próprias palavras, explique por que Devyn e Riley afirmam que nunca
devemos escolher \(g(x) = x\) nem \(g(x)\) como o integrando inteiro.
O objetivo da substituição é
tornar a integral mais fácil de calcular. Suas escolhas para \(f\) e \(g\) devem tornar as coisas
mais fáceis, não mais difíceis!
A menos que a derivada de \(g(x)\) seja \(1\), escolher \(g(x)\) como o integrando inteiro significa que não sobra nenhuma parte do integrando para ser a derivada de \(g\). Escolher \(g(x) = x\) significa que \(g'(x) = 1\), ou seja, você não simplificou a integral em nada.