xmhint\(f\) é crescente
onde \(f'(x)>0\), isto é, nos intervalos \((-\infty , 0)\) e \((2,3)\).
\(
\newenvironment {prompt}{}{}
\newcommand {\accordion }[0]{}
\newcommand {\ungraded }[0]{}
\newcommand {\xmDefaultPreamble }[0]{xmPreamble.tex}
\newcommand {\xmDefaultPrintstyle }[0]{xmPrintstyle.sty}
\newcommand {\todo }[0]{}
\newcommand {\oiint }[0]{{\large \bigcirc }\kern -1.56em\iint }
\newcommand {\mooculus }[0]{\textsf {\textbf {MOOC}\textnormal {\textsf {ULUS}}}}
\newcommand {\tkzTabSlope }[1]{\foreach \x /\y /\z in {#1}{\node [left = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\y $}; \node [right = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\z $}; }}
\newcommand {\RR }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\R }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\N }[0]{\mathbb N}
\newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z}
\newcommand {\sagemath }[0]{\textsf {SageMath}}
\newcommand {\d }[0]{\,d}
\newcommand {\l }[0]{\ell }
\newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}}
\newcommand {\zeroOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{0}}}}
\newcommand {\inftyOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\infty }{\infty }}}}
\newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}}
\newcommand {\zeroTimesInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {0\cdot \infty }}}
\newcommand {\inftyMinusInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {\infty - \infty }}}
\newcommand {\oneToInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {1^\infty }}}
\newcommand {\zeroToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {0^0}}}
\newcommand {\inftyToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\infty ^0}}}
\newcommand {\numOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}}}
\newcommand {\dfn }[0]{\textbf }
\newcommand {\unit }[0]{\mathop {}\!\mathrm }
\newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]}
\newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )}
\newcommand {\epsilon }[0]{\varepsilon }
\newcommand {\phi }[0]{\varphi }
\newcommand {\iff }[0]{\Leftrightarrow }
\DeclareMathOperator {\arccot }{arccot}
\DeclareMathOperator {\arcsec }{arcsec}
\DeclareMathOperator {\arccsc }{arccsc}
\DeclareMathOperator {\si }{Si}
\DeclareMathOperator {\scal }{scal}
\DeclareMathOperator {\sign }{sign}
\newcommand {\arrowvec }[1]{{\overset {\rightharpoonup }{#1}}}
\newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}}
\newcommand {\point }[1]{\left (#1\right )}
\newcommand {\pt }[1]{\mathbf {#1}}
\newcommand {\Lim }[2]{\lim _{\point {#1} \to \point {#2}}}
\DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}}
\newcommand {\veci }[0]{{\boldsymbol {\hat {\imath }}}}
\newcommand {\vecj }[0]{{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}
\newcommand {\veck }[0]{{\boldsymbol {\hat {k}}}}
\newcommand {\vecl }[0]{\vec {\boldsymbol {\l }}}
\newcommand {\uvec }[1]{\mathbf {\hat {#1}}}
\newcommand {\utan }[0]{\mathbf {\hat {t}}}
\newcommand {\unormal }[0]{\mathbf {\hat {n}}}
\newcommand {\ubinormal }[0]{\mathbf {\hat {b}}}
\newcommand {\dotp }[0]{\bullet }
\newcommand {\cross }[0]{\boldsymbol \times }
\newcommand {\grad }[0]{\boldsymbol \nabla }
\newcommand {\divergence }[0]{\grad \dotp }
\newcommand {\curl }[0]{\grad \cross }
\newcommand {\lto }[0]{\mathop {\longrightarrow \,}\limits }
\newcommand {\bar }[0]{\overline }
\newcommand {\surfaceColor }[0]{violet}
\newcommand {\surfaceColorTwo }[0]{redyellow}
\newcommand {\sliceColor }[0]{greenyellow}
\newcommand {\vector }[1]{\left \langle #1\right \rangle }
\newcommand {\sectionOutcomes }[0]{}
\newcommand {\VerbMathToks }[2]{\alteqtoks {\begin {#2} #1 \end {#2}}}
\newcommand {\DeclareMicrotypeVariants }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeAlias }[2]{}
\newcommand {\LoadMicrotypeFile }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeFilePrefix }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeBabelHook }[2]{}
\newcommand {\microtypesetup }[1]{}
\newcommand {\microtypecontext }[1]{}
\newcommand {\textmicrotypecontext }[2]{#2}
\newcommand {\leftprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\rightprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\noprotrusionifhmode }[0]{}
\newcommand {\lsstyle }[0]{}
\newcommand {\lslig }[1]{#1}
\newcommand {\maketitle }[0]{}
\newcommand {\problem }[0]{ }
\newcommand {\exercise }[0]{ }
\newcommand {\question }[0]{ }
\newcommand {\exploration }[0]{ }
\newcommand {\dialogue }[0]{\begin {description}}
\newcommand {\GetTranslation }[1]{#1}
\)
Usamos a linguagem do cálculo para descrever gráficos de funções.
Nesta seção, revisamos as implicações gráficas dos limites e do sinal da primeira e da segunda derivada. Você já sabe tudo isso: é que o assunto é importante o bastante para ser visto mais de uma vez, juntando todas as peças.
Esboce o gráfico de uma função \(f\) que tenha as seguintes propriedades:
- \(f(0)=0\)
- \(\lim _{x \to 10^+} f(x) = +\infty \)
- \(\lim _{x \to 10^-} f(x) = -\infty \)
- \(f'(x)<0\) em \((-\infty ,0) \cup (6,10) \cup (10,14)\)
- \(f'(x)>0\) em \((0,6) \cup (14,\infty )\)
- \(f''(x)<0\) em \((4,10)\)
- \(f''(x)>0\) em \((-\infty ,4) \cup (10,\infty )\)
Tente primeiro por conta própria e depois confira com um colega ou veja a versão
online.
xmhintA primeira coisa que faremos é marcar o ponto \((0,0)\) e indicar a assíntota vertical
apropriada, decorrente das condições sobre os limites. Também marcamos todos os
lugares em que \(f'\) ou \(f''\) mudam de sinal.
![[Picture]](/rendered/conceptsOfGraphingFunctions/digInConceptsOfGraphingFunctions-48870b6af2c6e05c8d18f4e536152671.svg)
xmhintAgora classificamos o comportamento em cada um dos intervalos:
- Em \((-\infty , 0)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((0, 4)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((4, 6)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((6, 10)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((10, 14)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((14, \infty )\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
xmhintUsando todas essas informações, somos levados a esboçar algo como o
seguinte:
![[Picture]](/rendered/conceptsOfGraphingFunctions/digInConceptsOfGraphingFunctions-bffdf7688f1184752f705478a3f98d11.svg)
Esboce o gráfico de uma função \(f\) que tenha as seguintes propriedades:
- \(f(0)=1\)
- \(f(6)=2\)
- \(\lim _{x \to 6^+} f(x) = 3\)
- \(\lim _{x \to 6^-} f(x) = 1\)
- \(f'(x)<0\) em \((-\infty ,1)\)
- \(f'(x)>0\) em \((1,6)\)
- \(f'(x) = -2\) em \((6, \infty )\)
- \(f''(x)<0\) em \((2.5,5)\)
- \(f''(x)>0\) em \((-\infty ,2.5) \cup (5,6)\)
Tente primeiro por conta própria e depois confira com um colega ou veja a versão
online.
xmhintA primeira coisa que faremos é marcar os pontos \((0,1)\) e \((6,2)\), e os “buracos” em \((6,3)\) e \((6,1)\)
decorrentes das condições sobre os limites. Podemos desenhar imediatamente como \(f\)
fica em \((6,\infty )\), já que ali ela é linear com inclinação \(2\) e precisa se conectar ao
buraco em \((6,2)\). Também marcamos todos os lugares em que \(f'\) ou \(f''\) mudam de
sinal.
![[Picture]](/rendered/conceptsOfGraphingFunctions/digInConceptsOfGraphingFunctions-8e9b9c42ebec3d7738ba8416d1dd05bf.svg)
xmhintAgora classificamos o comportamento em cada um dos intervalos:
- Em \((-\infty , 1)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((1, 2.5)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((2.5, 5)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
- Em \((5, 6)\), \(f\) é crescente decrescente e tem concavidade para cimabaixo
xmhintUsando todas essas informações, somos levados a desenhar algo como o
seguinte:
![[Picture]](/rendered/conceptsOfGraphingFunctions/digInConceptsOfGraphingFunctions-7592faefa0074782bedc4698b2a180b0.svg)
O gráfico de \(f'\) (a derivada de \(f\)) é mostrado abaixo.
![[Picture]](/rendered/conceptsOfGraphingFunctions/digInConceptsOfGraphingFunctions-f69fb5602546fa938329d12d2511b67b.svg)
Suponha que \(f\) é contínua em todos os números reais.
Em quais dos intervalos a seguir \(f\) é crescente?
Quais dos pontos a seguir são pontos críticos de \(f\)?
xmhint\(f\) tem pontos críticos nos zeros de \(f'\) e nos lugares em que \(f'\) não existe. Neste
caso, \(x=0\), \(x=2\) e \(x=3\).
Onde ocorrem os máximos locais?
xmhintUm máximo local ocorre em
um ponto crítico no qual a função passa de crescente a decrescente, isto é, a
derivada passa de positiva a negativa. Neste caso, vemos que os máximos locais
ocorrem em \(x=0\) e \(x=3\).
Onde ocorre um ponto de inflexão?
xmhintUm ponto de inflexão ocorre quando a concavidade de \(f\) muda. Isso se reflete
na mudança de sinal de \(f''\). Neste gráfico, isso só acontece em um ponto, a saber,
\(x=1\).
Em quais dos intervalos a seguir \(f\) tem concavidade para baixo?
xmhint\(f\) tem concavidade para baixo quando \(f''(x)<0\). Neste gráfico, isso ocorre para \(x<1\).
Portanto, a resposta correta é selecionar tanto \((-\infty , 0)\) quanto \((0,1)\).