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\(
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\)
Dois jovens matemáticos discutem a ideia inovadora de “inclinação de uma
curva”.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Riley, você se lembra de “inclinação”?
- Riley
- Com certeza. “Variação vertical sobre variação horizontal.”
- Devyn
- Isso mesmo.
- Riley
- “Variação de \(y\) sobre variação de \(x\).”
- Devyn
- Exatamente.
- Riley
- Um oferecimento da letra “\(m\)”.
- Devyn
- Já basta! Minha pergunta importante é: será que poderíamos definir “inclinação” para uma curva que não é uma reta?
- Riley
- Bom, talvez se dermos um “zoom” na curva, ela pareça uma reta, e então poderíamos chamar isso de “a inclinação naquele ponto”.
- Devyn
- Ah! E essa ideia de “dar zoom” soa como um limite!
- Riley
- Isso é demais. Acabamos de criar matemática!
O conceito introduzido acima, de “inclinação de uma curva em um ponto”, é, na verdade, um dos conceitos centrais do cálculo. Ele será, é claro, completamente explicado. Mas, primeiro, vamos explorar um pouco mais as ideias de Devyn e Riley.
Para encontrar a “inclinação de uma curva em um ponto”, Devyn e Riley falaram em “dar zoom” em uma curva até que ela pareça uma reta. Quando você dá zoom em uma curva suave, ela acabará parecendo uma reta. Essa reta é chamada de reta tangente.
![[Picture]](/rendered/definitionOfTheDerivative/breakGround-72dcf2c5351e3bfe505e0d6611c2e194.svg)
Quais das alternativas a seguir aproximam a inclinação da “reta ampliada”? (Você
pode selecionar mais de uma.)
Seja \(f(x) = 3x-1\). Dê zoom na curva em torno de \(a = -2\) de modo que \(x_1 = -1.9\). Use uma das formulações do
problema acima para aproximar a inclinação da curva. A inclinação da curva em \(a = -2\) é
aproximadamente…\(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\)
Repita o problema anterior para \(f(x) = x^2 - 1\), \(a = 0\) e \(x_2 = 0.2\). Escolha uma formulação que lhe dê uma
resposta positiva para a inclinação. A inclinação (positiva) da curva em \(a = 0\) é
aproximadamente… \(\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\)
Dê zoom novamente na curva \(f(x) = x^2 - 1\) perto de \(x=0\). Olhando para o gráfico, qual é o seu
melhor palpite para a inclinação real da curva em zero?
impossível dizer zero um infinito