\(
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\)
Discutimos composições de funções.
Dadas duas funções, podemos compô-las. Vamos dar um exemplo em um “contexto real”.
Seja \[ g(m) = \text {a quantidade de gasolina que se pode comprar com $m$ dólares,} \] e seja \[ f(g) = \text {a distância que se pode dirigir com $g$ galões de gasolina.} \] O que \(f(g(m))\) representa nesse contexto?
Com \(f(g(m))\), primeiro relacionamos a
distância que se pode dirigir com \(\class{xm-given}{g}\) galões de gasolina, e isso, por sua vez, é
determinado pela quantidade de dinheiro \(\class{xm-given}{m}\) que se tem. Logo, \(f(g(m))\) representa a distância
que se pode dirigir com \(\class{xm-given}{m}\) dólares.
A composição de funções pode ser pensada como colocar uma função dentro da outra. Usamos a notação \[ (f\circ g)(x) = f(g(x)). \]
A composição \(f\circ g\) só faz sentido se \[ \{\text {a imagem de $g$}\} \text { está contido em ou é igual a } \{\text {o domínio de $f$}\} \]
Em outras palavras, o domínio de uma função composta \(f\circ g\) é o conjunto das entradas \(x\) no domínio de \(g\) para as quais \(g(x)\) está no domínio de \(f\).
Suponha que temos funções \(f\) e \(g\) com: \begin{align*} f(x)&={{x}^{2}}+5x+4 &&\text {para $x$ em $(-\infty , \infty )$,}\\ g(x)&= x+7 &&\text {para $x$ em $(-\infty , \infty )$.}\\ \end{align*}
Determine a fórmula de \(f(g(x))\) e diga qual é o seu domínio.
A imagem de \(g\) é \((-\infty , \infty )\), que é igual
ao domínio de \(f\). Isso significa que o domínio de \(f\circ g\) é \((-\infty , \infty )\), pois, para qualquer \(x\) em \((-\infty , \infty )\), o valor \(g(x)\)
está definido e estará no domínio de \(f\). Em seguida, substituímos \(x+7\) em cada ocorrência
de \(\class{xm-given}{x}\) encontrada em \[ f(x)={{x}^{2}}+5x+4 \] e assim \begin{align*} f(g(x)) &=f(x+7)\\ &=\class{xm-given}{{{(x+7)}^{2}}+5(x+7)+4}. \end{align*}
Agora vamos tentar um exemplo com um domínio mais restrito.
Suponha que temos funções \(f\) e \(g\) com: \begin{align*} f(x)&=x^2 &&\text {para $x$ em $(-\infty , \infty )$,}\\ g(x)&= \sqrt {x} &&\text {para $x > 0$.}\\ \end{align*}
Determine uma fórmula para \(f(g(x))\) e diga qual é o seu domínio.
O domínio
de \(g\) é \((0, \infty )\). A partir disso, podemos ver que a imagem de \(g\) é o intervalo \(\left ( \class{xm-given}{0}, \infty \right )\). Esse
intervalo está contido no domínio de \(f\). Isso significa que o domínio de \(f\circ g\) é
\((0, \infty )\).
Em seguida, substituímos \(\class{xm-given}{\sqrt {x}}\) em cada ocorrência de \(x\) encontrada em \[ f(x)={{x}^{2}} \] e assim \begin{align*} f(g(x))&=f(\sqrt {x})\\ &=\left (\sqrt {x}\right )^2. \end{align*}
Podemos resumir nossos resultados como uma função definida por partes, o que fica um tanto interessante: \[ (f\circ g)(x) = \begin{cases} x & \text {se $x > 0$}\\ \text {indefinido} &\text {caso contrário}. \end{cases} \]
Suponha que temos funções \(f\) e \(g\) com: \begin{align*} f(x)&=\sqrt {x} &&\text {para $x > 0$,}\\ g(x)&= x^2 &&\text {para $x$ em $(-\infty , \infty )$.} \end{align*}
Determine a fórmula de \(f(g(x))\) e diga qual é o seu domínio.
Embora o domínio de \(g\) seja \((-\infty , \infty )\), a
sua imagem é apenas \((0, \infty )\). Esse é exatamente o domínio de \(f\). Isso significa que, para
qualquer \(x\) em \((-\infty , \infty )\), o valor de \(g(x)\) está em \((0,\infty )\), ou seja, ele pertence ao domínio de \(f\). Isso
significa que o domínio de \(f\circ g\) é \((-\infty , \infty )\). Agora podemos substituir \(\class{xm-given}{x^2}\) em cada ocorrência de \(\class{xm-given}{x}\)
encontrada em \[ f(x)=\sqrt {x} \] e assim \begin{align*} f(g(x))&=f(x^2)\\ &=\sqrt {x^2},\\ &=|x|. \end{align*}
Compare e contraste os dois exemplos anteriores. Usamos as mesmas funções em cada exemplo, mas as compusemos de maneiras diferentes. As composições resultantes não são apenas diferentes: elas têm domínios diferentes! Ao determinar a composição de duas funções diferentes, lembre-se de que a ordem importa!