\(
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\)
Damos uma explicação para a regra do produto e a regra da cadeia.
Agora que conhecemos as diferenciais, vamos usá-las para dar alguma intuição sobre por que as regras do produto e da cadeia são verdadeiras.
1 Explicação da regra do produto
As aproximações lineares podem nos ajudar a explicar por que a regra do produto funciona.
A regra do produto Se \(f\) e \(g\) são deriváveis, então \[ \ddx f(x)g(x) = f(x)g'(x)+f'(x)g(x). \]
Para começar, precisamos de alguma
maneira de entender a função \[ A(x) = f(x) \cdot g(x). \] Uma interpretação da multiplicação é que ela é a
área de um retângulo \(f(x) \times g(x)\): ![[Picture]](/rendered/linearApproximation/digInExplanationOfTheProductAndChainRules-8f40d8a7744ca4fb98531a456a4e139d.svg)
Para
entender a derivada do produto, precisamos entender como a área, \(A\), varia conforme \(x\)
varia. Se alterarmos as entradas de \(f\) e \(g\) em \(\d x\), então o tamanho do retângulo muda:
![[Picture]](/rendered/linearApproximation/digInExplanationOfTheProductAndChainRules-c631610b2825b2eb71acf972f924f8d8.svg)
Porém, sabemos
do nosso trabalho anterior que \begin{align*} f(x+\d x) &\approx f(x) + \d f,\\ g(x+\d x) &\approx g(x) + \d g,\\ \end{align*}
![[Picture]](/rendered/linearApproximation/digInExplanationOfTheProductAndChainRules-8cb978454aebf001264d3d0c0393a3a8.svg)
Observe que, se pensarmos em \(A(x) = f(x)\cdot g(x)\), também podemos rotular nossa figura da seguinte
forma: ![[Picture]](/rendered/linearApproximation/digInExplanationOfTheProductAndChainRules-5c873c029c28aa2ab147cf38a1c1ebcc.svg)
Finalmente, a partir
das figuras acima e lembrando que \begin{align*} \d f &= f'(x) \d x\\ \d g &= g'(x) \d x, \end{align*}
de modo que agora nossa figura fica assim:
vemos que \begin{align*} \d A &= f(x) \d g + g(x) \d f + \d f \d g\\ &=f(x) g'(x) \d x + g(x) f'(x) \d x + f'(x) g'(x) \left (\d x\right )^2. \end{align*}
Dividindo ambos os lados por \(\d x\), vemos que \[ \dd [A]{x} = f(x) g'(x) + g(x) f'(x) + f'(x) g'(x) \d x \] e, fazendo \(\d x\) tender a zero, vemos que \[ A'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x). \]
2 Explicação da regra da cadeia
Agora usaremos aproximações lineares para ajudar a explicar por que a regra da cadeia é verdadeira.
Regra da cadeia Se \(f\) e \(g\) são deriváveis, então \[ \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x). \]
Vamos tentar entender isso
geometricamente. No que segue, as funções \(f\) e \(g\) parecem retas; porém, o
jovem matemático deve perceber que não estamos olhando para retas de
verdade; em vez disso, estamos olhando para \(f\) e \(g\) suficientemente “ampliadas”
para que pareçam retas. Primeiro considere um gráfico de \(g\) em relação a \(x\):
![[Picture]](/rendered/linearApproximation/digInExplanationOfTheProductAndChainRules-ef114a2ef9565170dffc77be1d3ea775.svg)
Agora considere um
gráfico de \(f\) em relação a \(g\): ![[Picture]](/rendered/linearApproximation/digInExplanationOfTheProductAndChainRules-0530512b824629789d68d5f1490b4d27.svg)
Se combinarmos esses gráficos, deitando o gráfico de \(g\) de lado, obtemos:
![[Picture]](/rendered/linearApproximation/digInExplanationOfTheProductAndChainRules-2b375a02f5f1a8132a7985e7f0d5f721.svg)
Ah! Disso vemos que \begin{align*} \d f &= f'(g) \d g\\ &= f'(g(x)) g'(x) \d x, \end{align*}
logo \[ \dd [f]{x} = f'(g(x))g'(x). \]
Essas “explicações” não pretendem ser o fim da história para a regra do produto e a regra da cadeia; esperamos que sejam, antes, o começo. Conforme você aprender mais matemática, essas explicações serão refinadas e tornadas precisas.