\(
\newenvironment {prompt}{}{}
\newcommand {\accordion }[0]{}
\newcommand {\ungraded }[0]{}
\newcommand {\xmDefaultPreamble }[0]{xmPreamble.tex}
\newcommand {\xmDefaultPrintstyle }[0]{xmPrintstyle.sty}
\newcommand {\todo }[0]{}
\newcommand {\oiint }[0]{{\large \bigcirc }\kern -1.56em\iint }
\newcommand {\mooculus }[0]{\textsf {\textbf {MOOC}\textnormal {\textsf {ULUS}}}}
\newcommand {\tkzTabSlope }[1]{\foreach \x /\y /\z in {#1}{\node [left = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\y $}; \node [right = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\z $}; }}
\newcommand {\RR }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\R }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\N }[0]{\mathbb N}
\newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z}
\newcommand {\sagemath }[0]{\textsf {SageMath}}
\newcommand {\d }[0]{\,d}
\newcommand {\l }[0]{\ell }
\newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}}
\newcommand {\zeroOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{0}}}}
\newcommand {\inftyOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\infty }{\infty }}}}
\newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}}
\newcommand {\zeroTimesInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {0\cdot \infty }}}
\newcommand {\inftyMinusInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {\infty - \infty }}}
\newcommand {\oneToInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {1^\infty }}}
\newcommand {\zeroToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {0^0}}}
\newcommand {\inftyToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\infty ^0}}}
\newcommand {\numOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}}}
\newcommand {\dfn }[0]{\textbf }
\newcommand {\unit }[0]{\mathop {}\!\mathrm }
\newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]}
\newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )}
\newcommand {\epsilon }[0]{\varepsilon }
\newcommand {\phi }[0]{\varphi }
\newcommand {\iff }[0]{\Leftrightarrow }
\DeclareMathOperator {\arccot }{arccot}
\DeclareMathOperator {\arcsec }{arcsec}
\DeclareMathOperator {\arccsc }{arccsc}
\DeclareMathOperator {\si }{Si}
\DeclareMathOperator {\scal }{scal}
\DeclareMathOperator {\sign }{sign}
\newcommand {\arrowvec }[1]{{\overset {\rightharpoonup }{#1}}}
\newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}}
\newcommand {\point }[1]{\left (#1\right )}
\newcommand {\pt }[1]{\mathbf {#1}}
\newcommand {\Lim }[2]{\lim _{\point {#1} \to \point {#2}}}
\DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}}
\newcommand {\veci }[0]{{\boldsymbol {\hat {\imath }}}}
\newcommand {\vecj }[0]{{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}
\newcommand {\veck }[0]{{\boldsymbol {\hat {k}}}}
\newcommand {\vecl }[0]{\vec {\boldsymbol {\l }}}
\newcommand {\uvec }[1]{\mathbf {\hat {#1}}}
\newcommand {\utan }[0]{\mathbf {\hat {t}}}
\newcommand {\unormal }[0]{\mathbf {\hat {n}}}
\newcommand {\ubinormal }[0]{\mathbf {\hat {b}}}
\newcommand {\dotp }[0]{\bullet }
\newcommand {\cross }[0]{\boldsymbol \times }
\newcommand {\grad }[0]{\boldsymbol \nabla }
\newcommand {\divergence }[0]{\grad \dotp }
\newcommand {\curl }[0]{\grad \cross }
\newcommand {\lto }[0]{\mathop {\longrightarrow \,}\limits }
\newcommand {\bar }[0]{\overline }
\newcommand {\surfaceColor }[0]{violet}
\newcommand {\surfaceColorTwo }[0]{redyellow}
\newcommand {\sliceColor }[0]{greenyellow}
\newcommand {\vector }[1]{\left \langle #1\right \rangle }
\newcommand {\sectionOutcomes }[0]{}
\newcommand {\VerbMathToks }[2]{\alteqtoks {\begin {#2} #1 \end {#2}}}
\newcommand {\DeclareMicrotypeVariants }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeAlias }[2]{}
\newcommand {\LoadMicrotypeFile }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeFilePrefix }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeBabelHook }[2]{}
\newcommand {\microtypesetup }[1]{}
\newcommand {\microtypecontext }[1]{}
\newcommand {\textmicrotypecontext }[2]{#2}
\newcommand {\leftprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\rightprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\noprotrusionifhmode }[0]{}
\newcommand {\lsstyle }[0]{}
\newcommand {\lslig }[1]{#1}
\newcommand {\maketitle }[0]{}
\newcommand {\problem }[0]{ }
\newcommand {\exercise }[0]{ }
\newcommand {\question }[0]{ }
\newcommand {\exploration }[0]{ }
\newcommand {\dialogue }[0]{\begin {description}}
\newcommand {\GetTranslation }[1]{#1}
\)
Deduzimos a derivada do seno.
Chegou a hora de visitar nossos dois amigos que se ocupam periodicamente de triângulos e círculos. Em particular, queremos mostrar que \[ \dd {\theta }\sin (\theta )=\cos (\theta ). \] Antes de enfrentarmos esse monstro, vamos lembrar um fato e deduzir um fato novo. Você pode se sentir desconfortável no começo, por não conseguir enxergar bem por que precisamos desses resultados, mas esse estilo de exposição é uma realidade da escrita técnica; é melhor se acostumar com ele.
Primeiro, lembre-se do fato de que \[ \lim _{\theta \to 0} \frac {\sin (\theta )}{\theta } = 1. \] Em seguida, vamos usar esse fato para deduzir nosso fato novo:
\[ \lim _{\theta \to 0}\frac {\cos (\theta )-1}{\theta } = 0. \]
Escreva comigo: \begin{align*} \lim _{\theta \to 0}\frac {\cos (\theta )-1}{\theta } &= \lim _{\theta \to 0}\left (\frac {\cos (\theta )-1}{\theta }\cdot \frac {\cos (\theta )+1}{\cos (\theta )+1}\right )\\ &=\lim _{\theta \to 0}\frac {\cos ^2(\theta )-1}{\theta (\cos (\theta )+1)}\\ &=\lim _{\theta \to 0}\frac {-\sin ^2(\theta )}{\theta (\cos (\theta )+1)}\\ &=-\lim _{\theta \to 0}\left (\frac {\sin (\theta )}{\theta }\cdot \frac {\sin (\theta )}{\cos (\theta )+1}\right )\\ &=-\lim _{\theta \to 0}\class{xm-given}{\frac {\sin (\theta )}{\theta }} \cdot \lim _{\theta \to 0}\frac {\sin (\theta )}{\cos (\theta )+1}\\ &= -1 \cdot \class{xm-given}{\frac {0}{2}} = 0. \end{align*}
Depois dessas deliciosas entradas, estamos prontos para o prato principal.
A derivada do seno Para qualquer ângulo \(\theta \) medido em radianos, a derivada de \(\sin (\theta )\) em
relação a \(\theta \) é \(\cos (\theta )\). Em outras palavras, \[ \dd {\theta } \sin (\theta ) = \cos (\theta ). \]
Usando a definição de derivada, escreva comigo \[ \dd {\theta } \sin (\theta ) = \lim _{h\to 0} \frac {\sin (\theta +h)-\sin (\theta )}{h} \]
Agora usamos um truque e aplicamos a fórmula de adição de arcos para o seno, que
diz que \(\sin (\alpha +\beta ) = \sin (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\beta )\cos (\alpha )\), para escrever \begin{align*} &= \lim _{h\to 0} \frac {\sin (\theta )\cos (h)+\sin (h)\cos (\theta )-\sin (\theta )}{h} \\ &= \lim _{h\to 0} \left (\frac {\sin (\theta )\cos (h)-\sin (\theta )}{h} + \frac {\sin (h)\cos {\theta }}{h} \right )\\ &=\lim _{h\to 0} \left (\sin (\theta )\frac {\cos (h) - 1}{h}+\cos (\theta )\frac {\sin (h)}{h}\right ) \\ &=\lim _{h\to 0} \sin (\theta )\frac {\cos (h) - 1}{h}+\lim _{h\to 0}\cos (\theta )\frac {\sin (h)}{h} \\ &= \sin (\theta )\lim _{h\to 0}\frac {\cos (h) - 1}{h}+\cos (\theta )\lim _{h\to 0}\frac {\sin (h)}{h} \\ &=\sin (\theta ) \cdot \class{xm-given}{0} + \cos (\theta ) \cdot \class{xm-given}{1}\\ &= \cos (\theta ). \end{align*}
Qual é a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(\sin (\theta )\) em \(\theta = \pi /4\)? \[ \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Para seu estímulo intelectual, considere a seguinte interpretação geométrica da derivada de \(\sin (\theta )\).
![[Picture]](/rendered/rulesOfDifferentiation/digInTheDerivativeOfSine-436caa7dbecef3f4250060cd49d49f59.svg)
A partir deste diagrama, vemos que aumentar \(\theta \) em uma pequena quantidade \(h\) aumenta \(\sin (\theta )\) em aproximadamente \(h\cos (\theta )\). Logo, \[ \frac {\Delta y}{\Delta \theta }\approx \frac {h\cos (\theta )}{h} = \cos (\theta ). \]
Dito tudo isso, a derivada de uma função mede a inclinação do gráfico de uma função. Se examinarmos os gráficos do seno e do cosseno lado a lado, deve ficar claro que o segundo parece descrever com precisão a inclinação do primeiro, e de fato isso é verdade.
![[Picture]](/rendered/rulesOfDifferentiation/digInTheDerivativeOfSine-395fc5b7f556239c9c2af20ba71fc152.svg)
Usando o gráfico acima, qual é o valor de \(x\) no intervalo \([0, 2\pi ]\) em que a tangente ao
gráfico de \(f(x) = \sin (x)\) tem inclinação \(-1\)? A reta tangente ao gráfico da função \(\sin (x)\) tem inclinação \(-1\)
em \(x = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\).
Dica de especialista: ao trabalhar com funções trigonométricas, você deve sempre ter em mente as representações gráficas delas.