Máximos e mínimos - Cálculo 1

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Usamos derivadas para ajudar a localizar extremos.

Quer estejamos interessados em uma função como um objeto puramente matemático, quer em conexão com alguma aplicação ao mundo real, muitas vezes é útil saber como é o gráfico da função. Podemos obter uma boa ideia do gráfico usando certas informações cruciais fornecidas pelas derivadas da função.

1 Extremos

Vamos começar com algumas definições.

Uma função $f$ tem um máximo global em $x=a$, se $f(a) \geq f(x)$ para todo $x$ no domínio da função.
Uma função $f$ tem um mínimo global em $x=a$, se $f(a) \leq f(x)$ para todo $x$ no domínio da função.

Um extremo global é um máximo global ou um mínimo global. Esses pontos também são chamados, ocasionalmente, de extremos absolutos.

Graficamente, os extremos globais correspondem aos pontos mais alto e mais baixo do gráfico de uma função.

Determine os extremos globais da função $f(x) = x^2$.

Examine o gráfico de $y=x^2$.

Não há ponto mais alto nesse gráfico, já que $\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }x^2 = \infty $, mas há um ponto mais baixo.

A função tem um mínimo global em $x=0$ (o vértice da parábola) e não tem máximo global.

Determine os extremos globais da função $f(x) = \cos (x)$.

Examine o gráfico de $y=\cos (x)$.

Pelo gráfico, $\cos (x)$ tem valor máximo $1$, que ocorre em todos os múltiplos pares de $\pi $: em $x=2\pi k$ para $k$ inteiro qualquer. Todos esses pontos são máximos globais.

O valor mínimo $-1$ ocorre nos múltiplos ímpares de $\pi $: em $x=(2k+1)\pi $ para $k$ inteiro qualquer. Todos esses pontos são mínimos globais.

As derivadas serão mais úteis quando considerarmos não os extremos globais, mas suas versões locais. Um extremo local de uma função $f$ é um ponto $(a,f(a))$ do gráfico de $f$ em que a coordenada $y$ é maior (ou menor) do que todas as outras coordenadas $y$ dos pontos do gráfico cujas coordenadas $x$ estão “próximas de” $a$.

Uma função $f$ tem um máximo local em $x=a$, se $f(a)\geq f(x)$ para todo $x$ em algum intervalo aberto I que contém $a$.
Uma função $f$ tem um mínimo local em $x=a$, se $f(a)\leq f(x)$ para todo $x$ em algum intervalo aberto I que contém $a$.

Um extremo local é um máximo local ou um mínimo local. Esses pontos também são chamados, às vezes, de extremos relativos.

No próximo exemplo, esclarecemos a definição de mínimo local.

Considere o gráfico de uma função $f$:

Identifique os extremos locais de $f$ e dê uma explicação.

Na figura acima, a função $f$ tem um mínimo local em \[ a=\class{xm-given}{1}, \] porque podemos encontrar um intervalo aberto $I$ (marcado na figura) que contém o número \[ a=\class{xm-given}{1}, \] e, para todos os números $x$ em $I$, a seguinte afirmação é verdadeira: \[ f\left (\class{xm-given}{1}\right )\le f\left (\class{xm-given}{x}\right ). \]

Os pontos de máximo e de mínimo locais são bastante característicos no gráfico de uma função e, portanto, são úteis para entender a forma do gráfico. Muitos problemas do mundo real e de diferentes áreas da ciência acabam se resumindo a encontrar o menor (ou o maior) valor que uma função atinge (por exemplo, podemos querer encontrar o custo mínimo com que determinada tarefa pode ser realizada).

2 Pontos críticos

Considere o gráfico da função $f$.

A função $f$ tem quatro extremos locais: em $x=-4$, $x=-2$, $x=0$ e $x=4$. Observe que a função $f$ não é derivável em $x=-4$ e em $x=-2$. Observe que $f'(0)=0$ e $f'(4)=0$.

Depois desse exemplo, o teorema a seguir não deve ser surpresa.

Teorema de Fermat Se $f$ tem um extremo local em $x=a$ e $f$ é derivável em $a$, então $f'(a)=0$.

O Teorema de Fermat diz que, se $f'(a) = 0$, então $f$ tem um extremo local em $x=a$?

sim não

Considere $f(x) = x^3$: $f'(0) = 0$, mas $f$ não tem máximo nem mínimo local em $x=0$.

O Teorema de Fermat diz que os únicos pontos em que uma função pode ter um máximo ou mínimo local são pontos em que a derivada é zero ou em que a derivada não está definida. Como ilustração do primeiro cenário, considere os gráficos de $f(x) = x^3-4.5x^2+6x$ e $f'(x) = 3x^2-9x+6$.

Faça a escolha correta que completa a frase abaixo.

No ponto $(1,f(1))$, a função $f$ tem

um máximo local um mínimo local nenhum extremo local

Selecione a afirmação correta.

$f'(1)$ não está definida $f'(1)>0$ $f'(1)=0$ $f'(1)<0$

Faça a escolha correta que completa a frase abaixo.

No ponto $(1.5,f(1.5))$, a função $f$ tem

um máximo local um mínimo local nenhum extremo local

Selecione a afirmação correta.

$f'(1.5)$ não está definida $f'(1.5)>0$ $f'(1.5)=0$ $f'(1.5)<0$

Faça a escolha correta que completa a frase abaixo.

No ponto $(2,f(2))$, a função $f$ tem

um máximo local um mínimo local nenhum extremo local

Selecione a afirmação correta.

$f'(2)$ não está definida $f'(2)>0$ $f'(2)=0$ $f'(2)<0$

Como ilustração do segundo cenário, considere os gráficos de $f(x) = x^{2/3}$ e $f'(x) = \frac {2}{3x^{1/3}}$:

Faça a escolha correta que completa a frase abaixo.

No ponto $(-2,f(-2))$, a função $f$ tem

um máximo local um mínimo local nenhum extremo local

Selecione a afirmação correta.

$f'(-2)$ não está definida $f'(-2)>0$ $f'(-2)=0$ $f'(-2)<0$

Faça a escolha correta que completa a frase abaixo.

No ponto $(0,0)$, a função $f$ tem

um máximo local um mínimo local nenhum extremo local

Selecione a afirmação correta.

$f'(0)$ não está definida $f'(0)>0$ $f'(0)=0$ $f'(0)<0$

Isso nos leva à próxima definição.

Suponha que uma função $f$ esteja definida em um intervalo aberto I que contém um ponto $a$. Então dizemos que a função $f$ tem um ponto crítico em $x=a$ se \[ f'(a) = 0\qquad \text {ou}\qquad \text {$f'(a)$ não existe.} \] Observe que, se uma função $f$ tem um ponto crítico em $x=a$, então o número $a$ está dentro de algum intervalo aberto $I$, e $I$ está contido no domínio de $f$.

Ao procurar pontos de máximo e de mínimo locais, tome cuidado para não cometer dois tipos de erro:

Você pode se esquecer de que um máximo ou mínimo pode ocorrer onde a derivada não existe e, assim, esquecer de verificar se a derivada existe em todos os pontos.
Você pode supor que todo lugar em que a derivada é zero é um ponto de máximo ou mínimo local, mas isso não é verdade; considere os gráficos de $f(x) = x^3$ e $f'(x) = 3x^2$.

Embora $f'(0)=0$, não há nem máximo nem mínimo em $x=0$.

Como tanto o máximo local quanto o mínimo local ocorrem em um ponto crítico, quando localizamos um ponto crítico precisamos determinar qual deles, se algum, de fato ocorre.

Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais da função $f(x)=x^3-x$.

Escreva \[ \ddx f(x)=\class{xm-given}{3x^2-1}. \] Podemos facilmente expressar $f'(x)$ como um produto de seus fatores \[ \ddx f(x)=3\left (x+\class{xm-given}{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right )\left (x-\class{xm-given}{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right ), \] o que implica que a função $f$ tem apenas dois pontos críticos, $x=-\frac {\sqrt {3}}{3}$ e $x=\frac {\sqrt {3}}{3}$. Observe que a derivada $f'(x)$ é um polinômio, e polinômios não mudam de sinal exceto, possivelmente, em seus zeros. Isso implica que a derivada $f'(x)$ não muda de sinal nos intervalos $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$, $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$, porque esses intervalos não contêm nenhum zero de $f'(x)$.

Selecione a afirmação correta sobre o sinal de $f'(x)$ nos intervalos $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$.

$f'(x)>0$ em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)>0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$. $f'(x)>0$ em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)<0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$. $f'(x)<0$ em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)>0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$. $f'(x)<0$ em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)<0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$

Se conhecemos o sinal da derivada em um intervalo, também sabemos se a função é crescente ou decrescente nesse intervalo. Isso nos ajudará a determinar se a função tem um extremo local no ponto crítico em que $x=-\frac {\sqrt {3}}{3}$.

No ponto crítico em que $x=-\frac {\sqrt {3}}{3}$, a função $f$ tem

nenhum extremo local, porque $f$ é crescente em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e crescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$. um máximo local, porque $f$ é crescente em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e decrescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$. um mínimo local, porque $f$ é decrescente em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e crescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$. nenhum extremo local, porque $f$ é decrescente em $\left (-\infty ,-\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e decrescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$.

Selecione a afirmação correta sobre o sinal de $f'(x)$ nos intervalos $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$.

$f'(x)>0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)>0$ em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$. $f'(x)>0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)<0$ em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$. $f'(x)<0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)>0$ em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$. $f'(x)<0$ em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e $f'(x)<0$ em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$.

Novamente, o sinal da derivada em um intervalo determina se a função é crescente ou decrescente nesse intervalo. Isso nos ajudará a determinar se a função tem um extremo local no ponto crítico em que $x=\frac {\sqrt {3}}{3}$.

No ponto crítico em que $x=\frac {\sqrt {3}}{3}$, a função $f$ tem

nenhum extremo local, porque $f$ é crescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e crescente em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$. um máximo local, porque $f$ é crescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e decrescente em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$. um mínimo local, porque $f$ é decrescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e crescente em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$. nenhum extremo local, porque $f$ é decrescente em $\left (-\frac {\sqrt {3}}{3},\frac {\sqrt {3}}{3}\right )$ e decrescente em $\left (\frac {\sqrt {3}}{3},\infty \right )$.

Suas respostas concordam com os gráficos de $f$ e $f'$ mostrados na figura abaixo?

3 O teste da primeira derivada

Vamos explorar mais a fundo e refinar o método da seção anterior para decidir se há um máximo ou mínimo local em um ponto crítico. Lembre-se de que

Se $f'(x) >0$ em um intervalo, então $f$ é crescente nesse intervalo.
Se $f'(x) <0$ em um intervalo, então $f$ é decrescente nesse intervalo.

Então, como exatamente a derivada nos diz se há um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois em um ponto? Use o teste da primeira derivada.

Teste da primeira derivada Suponha que $f$ seja contínua em um intervalo aberto e que $f$ tenha um ponto crítico em $x=a$, para algum valor $a$ nesse intervalo.

Se $f'(x)>0$ à esquerda de $a$ e $f'(x)<0$ à direita de $a$, então a função $f$ tem um máximo local em $a$.
Se $f'(x)<0$ à esquerda de $a$ e $f'(x)>0$ à direita de $a$, então a função $f$ tem um mínimo local em $a$.
Se $f'(x)$ tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de $a$, então a função $f$ não tem extremo local em $a$.

Considere a função \[ f(x) = \frac {x^4}{4}+\frac {x^3}{3}-x^2 \] Determine os intervalos em que $f$ é crescente, os intervalos em que $f$ é decrescente e identifique os extremos locais de $f$.

Comece calculando \[ \ddx f(x) = \class{xm-given}{x^3+x^2-2x}. \] Agora precisamos descobrir em quais intervalos $f'$ é positiva e em quais é negativa. Para isso, resolva \[ f'(x) = \class{xm-given}{x^3+x^2-2x} =0. \] Fatore $f'(x)$ \begin{align*} f'(x) &= \class{xm-given}{x^3+x^2-2x} \\ &=x(\class{xm-given}{x^2+x-2})\\ &=x(x+2)(\class{xm-given}{x-1}). \end{align*}

Portanto, os pontos críticos (em que $f'(x)=0$) ocorrem em $x=-2$, $x=0$ e $x=1$. Como a derivada, $f'(x)$, é um polinômio, ela não muda de sinal nos intervalos entre seus zeros, isto é, entre os pontos críticos. Agora podemos verificar o sinal de $f'(x)$ em alguns pontos entre os pontos críticos para descobrir onde $f'(x)$ é positiva e onde é negativa: \begin{align*} f'(-3)&=\class{xm-given}{-12},\\ f'(0.5)&=\class{xm-given}{-0.625},\\ f'(-1)&=\class{xm-given}{2},\\ f'(2)&=\class{xm-given}{8}. \end{align*}

A partir disso, podemos montar uma quadro de sinais:

Logo, $f$ é crescente em $(-2,0)$ e em $(1,\infty )$, e $f$ é decrescente em $(-\infty ,-2)$ e em $(0,1)$. Além disso, pelo teste da primeira derivada, o máximo local está em $x=0$, enquanto os mínimos locais estão em $x=-2$ e $x=1$.

Isso pode ser confirmado examinando os gráficos de $f(x) =x^4/4 + x^3/3 -x^2$ e $f'(x) = x^3 + x^2 -2x$.

Assim, vimos que, se $f'$ é zero em um ponto e crescente em um intervalo que contém esse ponto, então $f$ tem um mínimo local nesse ponto. Se $f'$ é zero em um ponto e decrescente em um intervalo que contém esse ponto, então $f$ tem um máximo local nesse ponto. Portanto, vemos que podemos obter informações sobre $f$ estudando como $f'$ varia. Isso nos leva à próxima seção.

4 Pontos de inflexão

Se estamos tentando entender a forma do gráfico de uma função, saber onde ela tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo nos ajuda a obter uma imagem mais precisa. Vale a pena resumir o que já vimos em um único teorema.

Teste de concavidade Suponha que $f''(x)$ exista em um intervalo.

Se $f''(x)>0$ em um intervalo, então $f$ tem concavidade para cima nesse intervalo.
Se $f''(x)<0$ em um intervalo, então $f$ tem concavidade para baixo nesse intervalo.

De particular interesse são os pontos em que a concavidade muda de para cima para para baixo, ou de para baixo para para cima.

Se $f$ é contínua em $x=a$ e sua concavidade muda, de para cima para para baixo ou de para baixo para para cima, em $x=a$, então $f$ tem um ponto de inflexão em $x=a$.

É instrutivo ver alguns exemplos de pontos de inflexão:

Também é instrutivo ver alguns contraexemplos de pontos de inflexão:

Identificamos pontos de inflexão primeiro encontrando os $x$ tais que $f''(x)$ é zero ou não está definida e, depois, verificando se $f''(x)$ de fato passa de positiva a negativa ou de negativa a positiva nesses pontos.

Mesmo que $f''(a) = 0$, o ponto determinado por $x=a$ pode não ser um ponto de inflexão.

Descreva a concavidade de $f(x)=x^4$.

Para começar, calcule a primeira e a segunda derivada de $f(x)$ em relação a $x$, \[ f'(x)=\class{xm-given}{4x^3}\qquad \text {e}\qquad f''(x)=\class{xm-given}{12x^2}. \]

Como $f''(0)=0$, há potencialmente um ponto de inflexão em $x=0$. Mas, para todo $x\ne 0$, $f''(x)>0$. Logo, não há ponto de inflexão em $x=0$. A curva tem concavidade para cima para todo $x<0$ e continua com concavidade para cima para todo $x>0$.

Descreva a concavidade de $f(x)=x^3-x$.

Para começar, calcule a primeira e a segunda derivada de $f(x)$ em relação a $x$, \[ f'(x)=\class{xm-given}{3x^2-1}\qquad \text {e}\qquad f''(x)=\class{xm-given}{6x}. \] Como $f''(0)=0$, há potencialmente um ponto de inflexão em $x=0$. Usando pontos de teste, notamos que a concavidade de fato muda de para baixo para para cima; logo, há um ponto de inflexão em $x=0$. A curva tem concavidade para baixo para todo $x<0$ e concavidade para cima para todo $x>0$; veja os gráficos de $f(x) = x^3-x$ e $f''(x) = 6x$.

Observe que precisamos calcular e analisar a segunda derivada para entender a concavidade, então podemos muito bem tentar usar o teste da segunda derivada para máximos e mínimos. Se por algum motivo ele falhar, podemos então tentar um dos outros testes.

5 O teste da segunda derivada

Lembre-se do teste da primeira derivada:

Se $f'(x)>0$ para todo $x$ próximo e à esquerda de $a$ e $f'(x)<0$ para todo $x$ próximo e à direita de $a$, então a função $f$ tem um máximo local em $a$.
Se $f'(x)<0$ para todo $x$ próximo e à esquerda de $a$ e $f'(x)>0$ para todo $x$ próximo e à direita de $a$, então a função $f$ tem um mínimo local em $a$.

Suponha que uma função $f$ tenha um ponto crítico em $a$ e que $f'(a)=0$. Se $f'$ for decrescente em algum intervalo que contém $a$, então ela passa de positiva a negativa em $a$. Portanto, se $f''$ é negativa em algum intervalo que contém $a$, então $f'$ é certamente decrescente, de modo que há um máximo local no ponto em questão. Por outro lado, se $f'$ é crescente, então ela passa de negativa a positiva em $a$. Portanto, se $f''$ é positiva em um intervalo que contém $a$, então $f'$ é certamente crescente, de modo que há um mínimo local no ponto em questão. Resumimos isso no teste da segunda derivada.

Teste da segunda derivada Suponha que $f''(x)$ seja contínua em um intervalo aberto e que $f'(a)=0$ para algum valor de $a$ nesse intervalo.

Se $f''(a) <0$, então $f$ tem um máximo local em $a$.
Se $f''(a) >0$, então $f$ tem um mínimo local em $a$.
Se $f''(a) =0$, então o teste é inconclusivo. Nesse caso, $f$ pode ou não ter um extremo local em $x=a$.

O teste da segunda derivada costuma ser a maneira mais fácil de identificar pontos de máximo e de mínimo locais. Às vezes o teste falha, e às vezes a segunda derivada é bastante difícil de calcular. Nesses casos, precisamos recorrer a um dos testes anteriores.

Mais uma vez, considere a função \[ f(x) = \frac {x^4}{4}+\frac {x^3}{3}-x^2 \] Use o teste da segunda derivada para localizar os extremos locais de $f$.

Comece calculando \[ f'(x) = \class{xm-given}{x^3 + x^2 -2x} \qquad \text {e}\qquad f''(x) = \class{xm-given}{3x^2 + 2x-2}. \] Usando a mesma técnica de antes, encontramos \[ f'(-2) = \class{xm-given}{0},\qquad f'(0) = \class{xm-given}{0}, \qquad f'(1) = \class{xm-given}{0}. \] Agora vamos tentar usar o teste da segunda derivada: \[ f''(-2) = \class{xm-given}{6}, \qquad f''(0) =\class{xm-given}{ -2}, \qquad f''(1) = \class{xm-given}{3}. \] Logo, vemos que $f$ tem um mínimo local em $x=-2$, um máximo local em $x=0$ e um mínimo local em $x=1$; veja abaixo os gráficos de $f(x) =x^4/4 + x^3/3 -x^2$ e $f''(x) = 3x^2 + 2x -2$:

Se $f''(a)=0$, o que o teste da segunda derivada nos diz?

A função tem um extremo local em $x=a$. A função não tem extremo local em $x=a$. Ele não dá nenhuma informação sobre se a função tem um extremo local em $x=a$.