Derivação implícita

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Nesta seção, derivamos equações que contêm mais de uma variável em um dos lados.

1 Revisão da regra da cadeia

A derivação implícita é, na verdade, apenas uma aplicação da regra da cadeia. Então lembre-se:

Regra da cadeia Se $f(x)$ e $g(x)$ são deriváveis, então \[ \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x). \]

De particular utilidade nesta seção é o seguinte. Se $y$ é uma função derivável de $x$ e se $f$ é uma função derivável, então \[ \ddx (f(y)) = f'(y) \cdot \ddx (y) = f'(y) \dd [y]{x}. \]

2 Derivação implícita

As funções com que lidamos até agora foram definidas explicitamente em termos da variável independente. Por exemplo: \[ y=3x^2-2x+1,\qquad y=e^{3x}, \qquad y = \frac {x-2}{x^2-3x+2}. \] No entanto, isso nem sempre é necessário, ou sequer possível. Às vezes escolhemos, ou somos obrigados, a definir uma função implicitamente . Nesse caso, a variável dependente não é expressa explicitamente em termos de uma variável independente. Alguns exemplos são: \[ x^2+y^2 = 4,\qquad x^3+y^3 = 9xy, \qquad x^4+3x^2 = x^{2/3}+y^{2/3} + 1. \] Sua primeira inclinação pode ser simplesmente resolver cada uma dessas equações para $y$ e seguir alegremente o seu caminho. No entanto, isso pode ser difícil ou até impossível de fazer. Como frequentemente nos deparamos com o problema de calcular derivadas de funções desse tipo, precisamos de um método que nos permita calcular derivadas de funções definidas implicitamente.

Vamos começar com um exemplo básico.

Considere a curva (um círculo) definida por: \[ x^2 + y^2 = 1 \]

Determine a inclinação da reta tangente ao círculo no ponto $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$.

A curva definida pela equação $x^2 + y^2 = 1$ não é o gráfico de uma função. Se resolvermos para $y$, obtemos duas soluções: $y=\sqrt {1-x^2}$ e $y=-\sqrt {1-x^2}$. O ponto $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$ está no gráfico da função $f(x)=\sqrt {1-x^2}$. Vamos calcular a derivada de $f$. \[ f'(x)=\frac {\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}}{2\sqrt {1-x^2}} \] Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$ é dada por \[ \text {inclinação}=f'\left (\frac {\sqrt {2}}{2}\right )=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Determine a inclinação da reta tangente ao círculo no ponto $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},-\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$.

A curva definida pela equação $x^2 + y^2 = 1$ não é o gráfico de uma função. Se resolvermos para $y$, obtemos duas soluções: $y=\sqrt {1-x^2}$ e $y=-\sqrt {1-x^2}$. O ponto $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},-\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$ está no gráfico da função $f(x)=-\sqrt {1-x^2}$. Vamos calcular a derivada de $f$. \[ f'(x)=\frac {\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}}{2\sqrt {1-x^2}} \] Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},-\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$ é dada por \[ \text {inclinação}=f'\left (\frac {\sqrt {2}}{2}\right )=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Observe que tivemos de derivar duas vezes, sem falar que precisamos primeiro resolver para $y$ em termos de $x$ para conseguir calcular essas duas inclinações.

Vamos adotar uma abordagem diferente, a saber, vamos usar derivação implícita.

Considere a curva (um círculo) definida por: \[ x^2 + y^2 = 1 \]

Calcule $\dd [y]{x}$.
Determine a inclinação da reta tangente ao círculo em $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$.
Determine a inclinação da reta tangente ao círculo em $\left (\frac {\sqrt {2}}{2},-\frac {\sqrt {2}}{2}\right )$.

A curva definida pela equação $x^2 + y^2 = 1$ não é o gráfico de uma função. Se resolvermos para $y$, obtemos duas soluções: $y=\sqrt {1-x^2}$ e $y=-\sqrt {1-x^2}$. Portanto, podemos dizer que qualquer ponto $(x,y)$ da curva está no gráfico de alguma função $f$. Partindo de \[ x^2 + y^2 = 1 \] derivamos ambos os lados da equação em relação a $x$ e obtemos \[ \ddx \left (x^2+y^2\right ) = \ddx 1. \] Aplicando a regra da soma, vemos que \[ \ddx x^2+\ddx y^2 = 0. \] Vamos examinar cada um desses termos separadamente. Para começar, \[ \ddx x^2 = \class{xm-given}{2x}. \] Por outro lado, $\ddx y^2$ é um pouco diferente. Aqui supomos que $y = f(x)$ para alguma função $f$, definida em algum intervalo aberto (isso vale para todos os pontos com $-1<x<1$). Logo, pela regra da cadeia, \begin{align*} \ddx y^2 &= \ddx (f(x))^2 \\ &= 2\cdot f(x) \cdot f'(x) \\ &= 2y\dd [y]{x}. \end{align*}

Juntando tudo isso, ficamos com a equação \[ 2x + 2y\dd [y]{x} =0 \] Neste ponto, resolvemos para $\dd [y]{x}$. Escreva \begin{align*} 2x + 2y\dd [y]{x} &= 0\\ 2y \dd [y]{x} &= -2x\\ \dd [y]{x} &= \class{xm-given}{\frac {-x}{y}}. \end{align*}

Observação: note que a derivada $\dd [y]{x} $ está expressa em termos de ambas as variáveis, $x$ e $y$. Isso não deveria ser surpresa. Se você pensar bem, a função e sua derivada não são determinadas apenas pelo valor de $x$. Lembre-se do que acontece se $x=\frac {\sqrt {2}}{2}$.

Há dois pontos diferentes na curva com coordenada $x$ $x=\frac {\sqrt {2}}{2}$.

A vantagem da expressão para $\dd [y]{x} $ que obtivemos acima é que ela pode ser usada para calcular a inclinação da reta tangente em cada um desses dois pontos, e em qualquer outro ponto da curva, onde estiver definida.

Assim, para a segunda parte do problema, basta substituir $x=\frac {\sqrt {2}}{2}$ e $y=\frac {\sqrt {2}}{2}$ na expressão acima; logo, a inclinação da reta tangente nesse ponto é $\class{xm-given}{-1}$. Para a terceira parte do problema, basta substituir $x=\frac {\sqrt {2}}{2}$ e $y=-\frac {\sqrt {2}}{2}$ na expressão acima; logo, a inclinação da reta tangente nesse ponto é $\class{xm-given}{1}$.

Podemos confirmar nossos resultados olhando o gráfico da curva e da nossa reta tangente: \[ \graph {x^2+y^2=1,-x+\sqrt {2}} \]

Vejamos outro exemplo ilustrativo:

Considere a curva definida por: \[ x^3+y^3 = 9xy \]

Calcule $\dd [y]{x}$.
Determine a inclinação da reta tangente a essa curva em $(4,2)$.

Partindo de \[ x^3+y^3 = 9xy, \] derivamos ambos os lados da equação em relação a $x$ e obtemos \[ \ddx \left (x^3+y^3\right ) = \ddx 9xy. \] Aplicando a regra da soma, obtemos \[ \ddx x^3+\ddx y^3 = \ddx 9xy. \] Vamos examinar cada um desses termos separadamente. Para começar, \[ \ddx x^3 = \class{xm-given}{3x^2}. \] Por outro lado, $\ddx y^3$ é um pouco diferente. Aqui você supõe que $y = f(x)$, em algum intervalo $I$, e, portanto, pela regra da cadeia, \begin{align*} \ddx y^3 &= \ddx (f(x))^3 \\ &= 3(f(x))^2 \cdot f'(x) \\ &= 3y^2\dd [y]{x}. \end{align*}

Considerando o último termo, $\ddx 9xy$, supomos que $y=f(x)$, em algum intervalo $I$. Logo, \begin{align*} \ddx 9xy &= 9\ddx \Bigl (x\cdot f(x)\Bigr ) \\ &= 9 \left (x\cdot f'(x) + f(x)\right )\\ &= 9x \dd [y]{x} + 9y. \end{align*}

Juntando tudo isso, ficamos com a equação \[ 3x^2 + 3y^2\dd [y]{x} =9x \dd [y]{x} + 9y. \] Neste ponto, resolvemos para $\dd [y]{x}$. Escreva \begin{align*} 3x^2 + 3y^2\dd [y]{x} &= 9x \dd [y]{x} + 9y\\ 3y^2\dd [y]{x} - 9x \dd [y]{x} &= 9y - 3x^2\\ \dd [y]{x}\left (3y^2-9x\right )&= 9y - 3x^2\\ \dd [y]{x} &=\frac {9y - 3x^2}{3y^2-9x} = \frac {3y - x^2}{y^2-3x}. \end{align*}

Para a segunda parte do problema, basta substituir $x=4$ e $y=2$ na fórmula acima; logo, a inclinação da reta tangente em $(4,2)$ é $\frac {5}{4}$. Incluímos um gráfico para o seu deleite visual:

Você pode pensar que o passo em que resolvemos para $\dd [y]{x}$ poderia ser difícil em alguns casos. Na verdade, isso nunca acontece. Todas as ocorrências de $\dd [y]{x}$ surgem da aplicação da regra da cadeia, e sempre que a regra da cadeia é usada ela deixa um único $\dd [y]{x}$ multiplicado por alguma outra expressão. Logo, nossa expressão é linear em $\dd [y]{x}$, e sempre será possível agrupar os termos que contêm $\dd [y]{x}$ e colocar o $\dd [y]{x}$ em evidência, exatamente como nos exemplos anteriores.

Um último exemplo:

Considere a curva definida por \[ \cos (xy) - \frac {y}{x} = 4x^2 y^3. \] Calcule $\dd [x]{y}$.

Primeiro, observe que o problema pede $\dd [x]{y}$, e não $\dd [y]{x}$. Isso significa que as variáveis trocaram de lugar! Não se preocupe, tudo é exatamente igual. Aplicamos $\dd {y}$ a ambos os lados da equação e obtemos \[ \dd {y} \left ( \cos (xy) - \frac {y}{x} \right ) = \dd {y} (4x^2 y^3) \] o que nos dá \[ -\class{xm-given}{\sin (xy)} \left (y \dd [x]{y} + x \right ) - \frac {x - y \dd [x]{y}}{x^2} = 8xy^3 \dd [x]{y} + 12 x^2 y^2. \] Distribuindo e multiplicando por $x^2$, obtemos \begin{align*} -x^2 y \sin (xy) \dd [x]{y} &- x^3 \sin (xy) - x + y \dd [x]{y}\\ &= 8x^3y^3 \dd [x]{y} + 12x^4y^2. \end{align*}

Agrupando os termos, fatorando e dividindo, finalmente chegamos a \begin{align*} -x^2 y \sin (xy) \dd [x]{y} &+ y \dd [x]{y} - 8x^3y^3 \dd [x]{y} \\ &= x^3 \sin (xy) + x + 12x^4 y^2 \end{align*}

logo, \[ \left ( y - x^2y\sin (xy) - 8x^3 y^3 \right ) \dd [x]{y} = x^3 \sin (xy) + x + 12x^4 y^2 \] e agora vemos que \[ \dd [x]{y} = \frac {x^3 \sin (xy) + x + 12x^4 y^2}{y - x^2y\sin (xy) - 8x^3 y^3}. \]