Velocidade instantânea

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Usamos limites para calcular a velocidade instantânea.

Quando calculamos a velocidade média, olhamos para \[ \frac {\text {variação da posição}}{\text {variação do tempo}}. \] Para obter a velocidade (instantânea), queremos que a variação do tempo “vá para” zero. A esta altura, já devemos saber que “vai para” é uma expressão-chave para um limite. A variação do tempo costuma ser dada como o comprimento de um intervalo de tempo, e esse comprimento vai para zero.

A velocidade média no intervalo (de tempo) $[a,b]$ é dada por \[ v_{\text {méd}} = \frac {\text {variação da posição}}{\text {variação do tempo}} = \frac {s(b)-s(a)}{b-a}.\] Aqui $s(t)$ denota a posição, no instante $t$, de um objeto que se move ao longo de uma reta.

Vamos juntar tudo isso resolvendo um exemplo.

Um jovem matemático lança uma bola verticalmente para cima com velocidade de 40 pés/s. Sua altura (em pés) após $t$ segundos é dada por \[ s(t) = 40t-16t^2 \qquad \text {(pés acima do solo)} . \] Aqui está o gráfico de $s$.

Quando a bola vai atingir o chão?

Para determinar quando a bola atinge o chão, precisamos resolver a equação \[ s(t)=0 \] para t. Isto é, \begin{align*} 40t-16t^2 &= 0\\ t(40-16t) &= 0. \end{align*}

Essa equação tem duas soluções; uma delas é $t=0$ segundos.

Como a bola atinge o chão algum tempo depois de ser lançada, concluímos que a bola atinge o chão em um instante em que $t>0$.

A bola atingirá o chão no instante \[ t=\class{xm-given}{2.5} \unit {seconds.} \]

Qual é a altura da bola após $2$ segundos?

Para encontrar a altura da bola após $2$ segundos, basta substituir $2$ na equação de $s(t)$.

A altura da bola após $2$ segundos é \[ s(2) = 40\cdot \class{xm-given}{2} - 16\cdot \class{xm-given}{2}^2 = \class{xm-given}{16}\unit {ft.} \]

Considere os pontos a seguir, situados sobre o eixo $s$.

Quais pontos correspondem à altura da bola nos instantes $t=0$, $t=1$ e $t=2$ segundos? Faça as escolhas corretas!

O ponto que corresponde a $s(0)$, a posição (altura) da bola em $t=0$, é
A B C D
O ponto que corresponde a $s(1)$, a posição (altura) da bola em $t=1$, é
A B C D
O ponto que corresponde a $s(2)$, a posição (altura) da bola em $t=2$, é
A B C D

Em seguida, vamos considerar a velocidade média da bola.

Qual é a velocidade média da bola no intervalo de tempo $[1,2]$?

Para encontrar a velocidade média da bola no intervalo $[1,2]$, lembramos que a velocidade média no intervalo de tempo $[a,b]$ é dada por \[ v_{\text {méd}} = \frac {s(b) - s\left ({a}\right )}{b-a}.\] Agora basta substituir $a=1$ e $b=2$.

\[v_{\text {méd}} = \frac {s(2)-s(1)}{2-1} = \frac {\class{xm-given}{16} - \class{xm-given}{24}}{1} = \class{xm-given}{-8}\unit {ft}/\unit {s}.\]

Confira a figura abaixo.

Qual é a velocidade média da bola no intervalo de tempo $[t,2]$, para $0<t<2$?

Usamos a fórmula da velocidade média. \begin{align*} v_{\text {méd}} &= \frac {s(2)-s\left ({t}\right )}{{2}-{t}}\\ &= \frac {16 - (40t-16t^2)}{2-t}\\ &= \frac {8(2t^2-5t+2)}{2-t}\\ &= \frac {8(2t-1)\cancel {(t-2)}}{-\cancel {(t-2)}}\\ &= -8(2t-1)\\ &= 8-16t \hspace {0.06in}\unit {ft}/\unit {s}, \end{align*}

para $0<t<2$. Confira a figura abaixo.

Qual é a velocidade média da bola no intervalo $[2,t]$, para $2<t<2.5$?

A velocidade média no intervalo $[2,t]$, para $2<t<2.5$, é \[ v_{\text {méd}} = \frac {s(t)-s(2)}{t-2} = \frac {s(2)-s(t)}{2-t}. \] Observe que essa é exatamente a mesma expressão que obtivemos ao calcular a velocidade média no intervalo $[t,2]$ para $0<t<2$.

A velocidade média no intervalo $[2,t]$, para $2<t<2.5$, é dada por \[ v_{\text {méd}} =\class{xm-given}{8-16t}\hspace {0.06in}\unit {ft}/\unit {s}. \]

Usando os resultados das Perguntas 5 e 6, calcule a velocidade média no intervalo

$[2, 2.1]$ \[ v_{\text {méd}} = 8-16(\class{xm-given}{2.1})=-25.6 \hspace {0.06in}\unit {ft}/\unit {s}\]
$[1.9,2]$ \[ v_{\text {méd}} = 8-16(\class{xm-given}{1.9})=-22.4 \hspace {0.06in}\unit {ft}/\unit {s}\]

No exemplo anterior, calculamos a velocidade média em vários intervalos diferentes. Por exemplo, a velocidade média no intervalo de tempo $[2,t]$ é $v_{\text {méd}}=8-16t$. Observe que o tamanho, ou comprimento, desse intervalo de tempo é $t-2$.

Se fizermos $t\to 2$, o tamanho do intervalo vai para $0$. À medida que $t$ se aproxima de $2$, estamos calculando a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, e o limite dessas velocidades médias é chamado de velocidade instantânea em $t=2$. Os limites nos permitirão calcular a velocidade instantânea.

Como antes, suponha que $s(t)$ denote a posição, no instante $t$, de um objeto que se move ao longo de uma reta. Seja $v_{\text {méd}}(t)$ a velocidade média no intervalo $[a, t]$ se $t>a$ e no intervalo $[t, a]$ se $t<a$.

A velocidade instantânea no instante $t=a$ é dada por \[ v(a) = \lim _{t\to a} v_{\text {méd}}(t) = \lim _{t\to a}\dfrac {s(t)-s(a)}{t-a}.\]

A velocidade instantânea é dada como um limite, $v(a) = \lim _{t\to a}\dfrac {s(t)-s(a)}{t-a}$. Qual é a forma desse limite? O numerador $s(t)-s(a)$ se aproxima de $0$ quando $t\to a$ (já que a função deslocamento $s(t)$ é contínua) e o denominador $t-a$ também se aproxima de $0$. Esse limite tem a forma $\relax \boldsymbol {\tfrac {0}{0}}$, uma forma indeterminada.

Vamos usar a mesma situação de antes para trabalhar com essa definição.

A altura de uma bola acima do chão durante o intervalo de tempo $[0,2.5]$, com $t$ em segundos e $s(t)$ em pés, é dada por \[ s(t) = 40t - 16t^2.\] Determine $v(2)$, a velocidade instantânea da bola $2$ segundos após ela ser lançada.

Do exemplo anterior, sabemos que a velocidade média da bola no intervalo $[t,2]$, para $0<t<2$, e a velocidade média no intervalo $[2,t]$, para $2<t<2.5$, são ambas dadas por \[ v_{\text {méd}}(t) = \frac {s(t)-s(2)}{t-2}= 8-16t \hspace {0.06in}\unit {ft}/\unit {s}. \] Para encontrar a velocidade instantânea $v(2)$, tomamos o limite quando $t$ tende a $\class{xm-given}{2}$. \begin{align*} v (2) &= \lim _{t\to 2}v_{\text {méd}}(t)\\ &=\lim _{t\to 2} \frac {s(t)-s(2)}{t-2} \\ &= \lim _{t\to 2}(8-16t)\\ &= \class{xm-given}{-24}\unit {ft}/\unit {s}. \end{align*}