Quanto vale \(F(-5)\)? \[ F(-5) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Quanto vale \(F(-3)\)? \[ F(-3) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
\(
\newenvironment {prompt}{}{}
\newcommand {\accordion }[0]{}
\newcommand {\ungraded }[0]{}
\newcommand {\xmDefaultPreamble }[0]{xmPreamble.tex}
\newcommand {\xmDefaultPrintstyle }[0]{xmPrintstyle.sty}
\newcommand {\todo }[0]{}
\newcommand {\oiint }[0]{{\large \bigcirc }\kern -1.56em\iint }
\newcommand {\mooculus }[0]{\textsf {\textbf {MOOC}\textnormal {\textsf {ULUS}}}}
\newcommand {\tkzTabSlope }[1]{\foreach \x /\y /\z in {#1}{\node [left = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\y $}; \node [right = 3pt] at (Z\x 1) {\scriptsize $\z $}; }}
\newcommand {\RR }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\R }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\N }[0]{\mathbb N}
\newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z}
\newcommand {\sagemath }[0]{\textsf {SageMath}}
\newcommand {\d }[0]{\,d}
\newcommand {\l }[0]{\ell }
\newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}}
\newcommand {\zeroOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{0}}}}
\newcommand {\inftyOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\infty }{\infty }}}}
\newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}}
\newcommand {\zeroTimesInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {0\cdot \infty }}}
\newcommand {\inftyMinusInfty }[0]{\ensuremath {\small \boldsymbol {\infty - \infty }}}
\newcommand {\oneToInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {1^\infty }}}
\newcommand {\zeroToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {0^0}}}
\newcommand {\inftyToZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\infty ^0}}}
\newcommand {\numOverZero }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {\#}{0}}}}
\newcommand {\dfn }[0]{\textbf }
\newcommand {\unit }[0]{\mathop {}\!\mathrm }
\newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]}
\newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )}
\newcommand {\epsilon }[0]{\varepsilon }
\newcommand {\phi }[0]{\varphi }
\newcommand {\iff }[0]{\Leftrightarrow }
\DeclareMathOperator {\arccot }{arccot}
\DeclareMathOperator {\arcsec }{arcsec}
\DeclareMathOperator {\arccsc }{arccsc}
\DeclareMathOperator {\si }{Si}
\DeclareMathOperator {\scal }{scal}
\DeclareMathOperator {\sign }{sign}
\newcommand {\arrowvec }[1]{{\overset {\rightharpoonup }{#1}}}
\newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}}
\newcommand {\point }[1]{\left (#1\right )}
\newcommand {\pt }[1]{\mathbf {#1}}
\newcommand {\Lim }[2]{\lim _{\point {#1} \to \point {#2}}}
\DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}}
\newcommand {\veci }[0]{{\boldsymbol {\hat {\imath }}}}
\newcommand {\vecj }[0]{{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}
\newcommand {\veck }[0]{{\boldsymbol {\hat {k}}}}
\newcommand {\vecl }[0]{\vec {\boldsymbol {\l }}}
\newcommand {\uvec }[1]{\mathbf {\hat {#1}}}
\newcommand {\utan }[0]{\mathbf {\hat {t}}}
\newcommand {\unormal }[0]{\mathbf {\hat {n}}}
\newcommand {\ubinormal }[0]{\mathbf {\hat {b}}}
\newcommand {\dotp }[0]{\bullet }
\newcommand {\cross }[0]{\boldsymbol \times }
\newcommand {\grad }[0]{\boldsymbol \nabla }
\newcommand {\divergence }[0]{\grad \dotp }
\newcommand {\curl }[0]{\grad \cross }
\newcommand {\lto }[0]{\mathop {\longrightarrow \,}\limits }
\newcommand {\bar }[0]{\overline }
\newcommand {\surfaceColor }[0]{violet}
\newcommand {\surfaceColorTwo }[0]{redyellow}
\newcommand {\sliceColor }[0]{greenyellow}
\newcommand {\vector }[1]{\left \langle #1\right \rangle }
\newcommand {\sectionOutcomes }[0]{}
\newcommand {\VerbMathToks }[2]{\alteqtoks {\begin {#2} #1 \end {#2}}}
\newcommand {\DeclareMicrotypeVariants }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeAlias }[2]{}
\newcommand {\LoadMicrotypeFile }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeFilePrefix }[1]{}
\newcommand {\DeclareMicrotypeBabelHook }[2]{}
\newcommand {\microtypesetup }[1]{}
\newcommand {\microtypecontext }[1]{}
\newcommand {\textmicrotypecontext }[2]{#2}
\newcommand {\leftprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\rightprotrusion }[1]{#1}
\newcommand {\noprotrusionifhmode }[0]{}
\newcommand {\lsstyle }[0]{}
\newcommand {\lslig }[1]{#1}
\newcommand {\maketitle }[0]{}
\newcommand {\problem }[0]{ }
\newcommand {\exercise }[0]{ }
\newcommand {\question }[0]{ }
\newcommand {\exploration }[0]{ }
\newcommand {\dialogue }[0]{\begin {description}}
\newcommand {\GetTranslation }[1]{#1}
\)
A taxa com que a área acumulada sob uma curva cresce é descrita exatamente pela
própria curva.
1 Funções acumulação
Embora a integral definida calcule uma área com sinal, que é um número fixo, há uma maneira de transformá-la em uma função.
Dada uma função \(f\) contínua em \([a,b]\), uma função acumulação, para \(a\le x\le b\), é definida por
\[ F(x) = \int _a^x f(t) \d t. \]
Uma coisa que você pode notar é que uma função acumulação parece ter duas variáveis: \(x\) e \(t\). Vamos ver se conseguimos explicar isso. Considere o gráfico a seguir:
![[Picture]](/rendered/firstFundamentalTheoremOfCalculus/digInFirstFundamentalTheoremOfCalculus-c0d142bb47cd61dc537e9d0317d7ae5d.svg)
Uma função acumulação \(F\) mede a área com sinal da região, sobre \([a,x]\), compreendida entre \(f\) e o eixo \(t\). Logo, \(t\) desempenha o papel de um “marcador de posição” que nos permite calcular \(f\). Por outro lado, \(x\) é o número específico que usamos para delimitar a região que determinará a área entre \(f\) e o eixo \(t\) e, portanto, o valor de \(F\).
Na figura interativa abaixo, está traçado o gráfico de uma função \(f\), e uma função acumulação \(F\) é dada por \(F(x) = \int _{-3}^x f(t) \d t\). Use o controle deslizante para ajustar o valor de \(x\). Observe como a região sombreada no gráfico muda e o que acontece com o valor de \(F(x)\) quando o gráfico de \(f\) está acima do eixo \(x\) e quando o gráfico de \(f\) está abaixo do eixo \(x\).
Dado \[ F(x) = \int _{-3}^x 4 \d t, \] quanto vale \(F(5)\)? \[ F(5) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Considere a seguinte função acumulação para \(f(x) = x^3\). \[ F(x) = \int _{-1}^x t^3 \d t. \] Considerando o intervalo \([-1,1]\), onde \(F\) é
crescente? Onde \(F\) é decrescente? Quando \(F\) tem extremos locais?
Abaixo vemos o gráfico de \(f\) junto com a área com sinal medida pela função acumulação.
![[Picture]](/rendered/firstFundamentalTheoremOfCalculus/digInFirstFundamentalTheoremOfCalculus-4f237a3cc07b0bfda5c538e5fcfc9d07.svg)
A função acumulação começa em zero e, então, à medida que \(x\) cresce, \(F\) é crescentedecrescente, pois a função acumula área com sinal negativo.
Porém, quando \(x>0\), \(F\) começa a acumular área com sinal positivo e, portanto, é crescentedecrescente. Assim, \(F\) é crescente em \((0,1)\), decrescente em \((-1,0)\) e, portanto, tem um mínimo local em \((0,0)\).
Trabalhar com a função acumulação nos leva a uma pergunta: quanto vale \[ \int _a^x f(t) \d t \] quando \(x< a\)? A convenção geral é que \[ \int _a^b f(t) \d t = -\int _b^a f(t) \d t. \] Com isso em mente, vamos considerar mais um exemplo.
Considere a seguinte função acumulação para \(f(x) = x^3\). \[ F(x) = \int _{-1}^x t^3 \d t. \] Onde \(F\) é crescente? Onde \(F\) é decrescente?
Quando \(F\) tem extremos locais?
Do exemplo anterior, sabemos que \(F\) é crescente em \((0,1)\).
Como \(f\) continua positiva em \(t=1\) e daí em diante, \(F\) é crescentedecrescente em \((0,\infty )\). Por
outro lado, sabemos do exemplo anterior que \(F\) é crescentedecrescente em \((-1,0)\).
![[Picture]](/rendered/firstFundamentalTheoremOfCalculus/digInFirstFundamentalTheoremOfCalculus-982ede7a6fc2067374f9345ae3553b20.svg)
Para valores à esquerda de \(t=-1\), \(F\) continua decrescente, pois cada vez menos área com
sinal positivo é acumulada. Logo, \(F\) é crescente em \((0,\infty )\), decrescente em \((-\infty ,0)\) e, portanto, tem
um mínimo absoluto em \((0,0)\).
O ponto principal a extrair desses exemplos é que uma função acumulação \[ F(x) = \int _a^x f(t) \d t \] é crescente exatamente quando \(f\) é positiva e é decrescente exatamente quando \(f\) é negativa. Em resumo, parece que \(f\) está se comportando de modo muito parecido com \(F'\).
2 O primeiro teorema fundamental do cálculo
Seja \(f\) uma função contínua nos números reais e considere \[ F(x) = \int _a^x f(t)\d t. \] Do nosso trabalho anterior, sabemos que \(F\) é crescente quando \(f\) é positiva e que \(F\) é decrescente quando \(f\) é negativa. Além disso, com uma observação cuidadosa, podemos até ver que \(F\) tem concavidade para cima quando \(f'\) é positiva e que \(F\) tem concavidade para baixo quando \(f'\) é negativa. Pensando no que aprendemos sobre a relação entre uma função e suas derivadas primeira e segunda, não é tão difícil adivinhar que deve haver uma conexão entre \(F'\) e a função \(f\). Esse é um bom palpite; confira nosso próximo teorema:
Primeiro teorema fundamental do cálculo Suponha que \(f\) é contínua nos números
reais e seja \[ F(x)=\int _a^x f(t)\d t. \] Então \(F'(x)=f(x)\).
O primeiro teorema fundamental do cálculo diz que uma função acumulação de \(f\) é uma antiderivada de \(f\). Outra maneira de dizer isso é:
![[Picture]](/rendered/firstFundamentalTheoremOfCalculus/digInFirstFundamentalTheoremOfCalculus-da21169e0cc5c040a58b32505d3a2f29.svg)
Isso pode ser lido assim:
A taxa com que a área acumulada sob uma curva cresce é descrita exatamente por essa mesma curve.
Nessa forma, o primeiro teorema fundamental do cálculo serve como uma nova fórmula de atalho de derivação, que usamos ao derivar funções acumulação.
Determine a derivada \[ \ddx \int _1^{x} \sin {t^2-3} \d t. \] \[ \ddx \int _1^{x} \sin (t^2-3) \d t = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]
Agora que estamos trabalhando com funções acumulação, vamos ver o que acontece quando as compomos com outras funções.
Determine a derivada \[ \ddx \int _2^{x^2} \ln (t) \d t. \]
Considere \[ F(x) = \int _2^x \ln (t) \d t \] e defina \(h(x) = x^2\). Agora \[ \int _2^{x^2} \ln (t) \d t = F(h(x)). \] O primeiro teorema fundamental
do cálculo afirma que \(F'(x) = \ln x\). A regra da cadeia nos dá \begin{align*} \ddx \int _2^{x^2} \ln (t) \d t&= \ddx F(h(x)) \\ &= F' (h(x))h'(x) \\ &= \ln (h(x)) h'(x) \\ &= \class{xm-given}{\ln (x^2) 2x}. \end{align*}
Vamos praticar isso mais uma vez.
Determine a derivada \[ \ddx \int _{\cos (x)}^5 t^3\d t. \]
Considere \[ F(x) = \int _5^x t^3 \d t \] e defina \(h(x) = \class{xm-given}{\cos (x)}\). Agora \[ \int _{\cos (x)}^5 t^3\d t =- \int _{5}^{\cos (x)} t^3\d t = -F(h(x)). \] O primeiro teorema fundamental
do cálculo afirma que \(F'(x) = x^3\). A regra da cadeia nos dá \begin{align*} \ddx \int _{\cos (x)}^5 t^3\d t &= \ddx (-F(h(x)))\\ &= -F'(h(x))h'(x)\\ &=-\left (h(x)\right )^3 h'(x)\\ &=\class{xm-given}{-\cos ^3(x) (-\sin (x))}. \end{align*}
Dado o gráfico de uma função \(f\) no intervalo \([-1,5]\), esboce o gráfico da função acumulação \[ F(x) = \int _{-1}^x f(t) \d t, \hspace {0.2in} -1\le x\le 5. \]
![[Picture]](/rendered/firstFundamentalTheoremOfCalculus/digInFirstFundamentalTheoremOfCalculus-771cadf8a294c16785f982247d313f51.svg)
Primeiro, calculamos \(F\) em alguns pontos significativos. \[ F(-1) = \int _{-1}^{-1} f(t) \d t=\class{xm-given}{0}. \] \[ F(0) = \int _{-1}^{0} f(t) \d t=\class{xm-given}{-1.5}. \] \[ F(1) = \int _{-1}^{1} f(t) \d t=\class{xm-given}{-2}. \] \[ F(3) = \int _{-1}^{3} f(t) \d t=\class{xm-given}{0}. \] \[ F(4) = \int _{-1}^{4} f(t) \d t=\class{xm-given}{2}. \] \[ F(5) = \int _{-1}^{5} f(t) \d t=\class{xm-given}{4}. \]
![[Picture]](/rendered/firstFundamentalTheoremOfCalculus/digInFirstFundamentalTheoremOfCalculus-5628267a864b669e104cfbfd8db6345d.svg)
Como \(F'(x)=f(x)\), segue que a função \(F\) é crescente no intervalo \[ \left (\class{xm-given}{1},\class{xm-given}{5}\right ) \] e decrescente no intervalo \[ \left (\class{xm-given}{-1},\class{xm-given}{1}\right ). \] Como a função \(f\), a derivada de \(F\), é crescente em \((-1,3)\), \(F\) tem concavidade para cima no intervalo \[ \left (\class{xm-given}{-1},\class{xm-given}{3}\right ). \] Como \(f\) é constante no intervalo \([3,5]\), \(F\) é linear em \([3,5]\).
A função \(F\) tem um mínimo local e absoluto em \[ x=\class{xm-given}{1}, \] e o máximo absoluto em \[ x=\class{xm-given}{5}. \] Agora estamos prontos para esboçar o gráfico de \(F\) no mesmo sistema de eixos do gráfico de \(f\).
E se a função \(f\) for a função velocidade de um objeto que se move ao longo de uma reta, isto é, \(f(t)=v(t)\), \(a \leq t \leq b\)?
Qual é o significado de uma função acumulação nesse caso?
Nesse caso, usamos variáveis diferentes, pois queremos que \(F\) seja uma função do tempo, \(t\). Com esse ajuste, definimos a função acumulação \(F\) da seguinte forma. \[ F(t)=\int _a^t v(z)\d z. \] Como a integral \[ \int _a^t v(z)\d z \] dá o deslocamento do objeto no intervalo de tempo \([a,t]\), segue que \[ s(t)-s(a)= \int _a^t v(z)\d z, \] onde \(s(t)\) dá a posição do objeto no instante \(t\). Se derivarmos essa equação em relação a \(t\), obtemos \[ s'(t)=\dd t \int _a^t v(z)\d z. \] Como \(s'(t)=v(t)\), temos que \[ v(t)=\dd t \int _a^t v(z)\d z. \] Este é o primeiro teorema fundamental do cálculo!
Suponha que \(\displaystyle F(x) = \int ^0_{x^2+x} \ln (t+e) \d t\). Aproxime o valor de \(F(0.1)\).
Começamos calculando \(L\), a aproximação linear
de \(F\) no ponto \(a=0\). \begin{align*} F(0) &= \int _{0^2+0}^0\ln (t+e) \d t\\ &= 0.\\ F'(x) &= \ddx \int _{x^2+x}^0 \ln (t+e) \d t\\ &= - \ddx \int ^{x^2+x}_0 \ln (t+e) \d t\\ &= -\ln (x^2+x+e)\cdot (2x+1)\\ F'(0) &= -\ln (0+e)\cdot (2\cdot 0 + 1)\\ &= \class{xm-given}{-1} \end{align*}
A função de aproximação linear é \(L(x) = -1(x-0)+0 = -x\). Isso nos dá \(F(0.1) \approx L(0.1) = -0.1\).