Vemos o fundamento teórico por trás do cálculo da derivada de uma função inversa
em um ponto.
Há um porém em todas as explicações dadas acima, em que calculamos derivadas de
funções inversas. Para escrever algo como \[ \ddx (e^y)=e^y\cdot y' \] precisamos saber que a função \(y\) tem
derivada. O Teorema da Função Inversa garante isso.
Teorema da função inversa Se \(f\) é uma função derivável que é injetora perto de \(a\) e \(f'(a) \neq 0\),
então
\(f^{-1}(x)\) está definida para \(x\) perto de \(b=f(a)\),
\(f^{-1}(x)\) é derivável perto de \(b=f(a)\),
e, por último, mas não menos importante: \[ \eval {\ddx f^{-1}(x)}_{x=b} = \frac {1}{f'(a)}\qquad \text {onde}\qquad b = f(a). \]
Vamos explicar apenas o último resultado. Sabemos que \[ f(f^{-1}(x)) = x, \] e agora usamos a regra da
cadeia para escrever \begin{align*} \ddx f(f^{-1}(x)) &= f'(f^{-1}(x)) (f^{-1})'(x)\\ &=1. \end{align*}
Isolando \((f^{-1})'(x)\), vemos que \[ (f^{-1})'(x) = \frac {1}{f'(f^{-1}(x))}. \] Isso é o que escrevemos acima.
Vale a pena dar mais uma evidência a favor da fórmula acima, desta vez baseada em
incrementos na função, \(\Delta f\), e em incrementos na variável, \(\Delta x\). Considere este gráfico de uma
função \(f\) e de sua inversa:
Como o gráfico da inversa de uma função é a reflexão do gráfico da função em
relação à reta \(y=x\), vemos que os incrementos são “trocados” na reflexão. Logo, vemos
que \[ \dfrac {\Delta f^{-1}}{\Delta {x}} = \dfrac {\Delta x}{\Delta f}=\dfrac {1}{\dfrac {\Delta f}{\Delta x}}. \] Tomando o limite quando \(\Delta x\) tende a \(0\), obtemos a expressão para a derivada de \(f^{-1}\).
\[ \dd [f^{-1}]{x} = \dfrac {1}{ \dd [f]{x} } \]
O teorema da função inversa nos dá uma receita para calcular as derivadas de
inversas de funções em pontos.
Seja \(f\) uma função derivável que tem inversa. Na tabela abaixo, damos vários valores
tanto de \(f\) quanto de \(f'\): \[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x & f & f' \\ \hline \hline 2 & 0 & 2 \\ \hline 3 &1 &5 \\ \hline 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array} \] Calcule \[ \ddx f^{-1}(x)\;\text {em $x=1$.} \]
Da tabela acima, vemos que \[ 1 = f(\class{xm-given}{3}). \] Logo, pelo teorema da
função inversa, \[ \left (f^{-1}\right )' (1)= \frac {1}{f'(\class{xm-given}{3})} = \class{xm-given}{\frac {1}{5}}. \]
Se um exemplo é bom, três são melhores ainda:
Seja \(f\) uma função derivável que tem inversa. Na tabela abaixo, damos vários valores
tanto de \(f\) quanto de \(f'\): \[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x & f & f' \\ \hline \hline 2 & 0 & 2 \\ \hline 3 & 1 &5 \\ \hline 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array} \] Calcule \[ \left (f^{-1}\right )'(0) \]
Observe que \[ \left (f^{-1}\right )'(0) = \ddx f^{-1}(x)\;\text {em $x=0$.} \] Da tabela acima, vemos que \[ 0 = f(\class{xm-given}{2}). \] Logo, pelo
teorema da função inversa, \[ \left (f^{-1}\right )'(0) = \frac {1}{f'(\class{xm-given}{2})} = \class{xm-given}{\frac {1}{2}}. \]
A função \(g(x) = x^2 + 3\) é injetora quando restrita ao intervalo \((0, \infty )\). Seja \(g^{-1}(x)\) a inversa dessa restrição.
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de \(y=g^{-1}(x)\) no ponto \((7, 2)\).
Como \(g(2) = (2)^2 + 3 = 7\), sabemos
que \((7, 2)\) se refere a um ponto do gráfico de \(g^{-1}\). Para encontrar a inclinação da reta,
precisamos calcular \(\left ( g^{-1}\right )'(7)\).
Como \(g'(x) = 2x\), isso dá \(\left ( g^{-1}\right )'(7) = \dfrac {1}{4}\).
Uma equação da reta tangente pode ser dada por: \[ y-2 = \dfrac {1}{4}(x-7) \]
Por fim, vamos ver um exemplo em que o teorema não se aplica.
Seja \(f\) uma função derivável que tem inversa. Na tabela abaixo, damos vários valores
tanto de \(f\) quanto de \(f'\): \[ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x & f & f' \\ \hline \hline 2 & 0 & 2 \\ \hline 3 & 1 & 4 \\ \hline 4 & 3 & 0 \\ \hline \end{array} \] Calcule \[ \eval {\ddx f^{-1}(x)}_{x=3} \]
Da tabela acima, vemos que \[ 3 = f(\class{xm-given}{4}). \] Ah! Mas aqui, \(f'(\class{xm-given}{4}) = \class{xm-given}{0}\), então
não temos garantia de que a inversa exista perto do ponto \(x=3\) e, mesmo que existisse, a
inversa não seria derivável ali.
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