Funções racionais - Cálculo 1

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Funções racionais são funções definidas por frações de polinômios.

1 O que são funções racionais?

Na álgebra e no cálculo, os polinômios desempenham o mesmo papel que os inteiros desempenham na aritmética. Nós os somamos, subtraímos, multiplicamos e fatoramos. Não podemos dividi-los, porém, se só admitirmos resultados inteiros. (Como $4$ não é um fator de $7$, o quociente $\dfrac {7}{4}$ não é um inteiro.) Se quisermos ser capazes de dividir inteiros, acabamos chegando aos números racionais, que são frações $\dfrac {p}{q}$ em que $p$ e $q$ são inteiros e $q \ne 0$.

A mesma ideia vale para os polinômios. Podemos somá-los, subtraí-los, multiplicá-los e fatorá-los. No entanto, para dividi-los precisamos começar a considerar as funções racionais.

Uma função racional na variável $x$ é uma função que pode ser escrita na forma \[ f(x) = \frac {p(x)}{q(x)} \] em que $p$ e $q$ são funções polinomiais. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais, exceto aqueles em que o denominador é igual a zero.

Se $p$ é uma função polinomial, então ela pode ser escrita na forma $\dfrac {p(x)}{1}$, o que mostra que toda função polinomial é também uma função racional. Como uma função racional só tem zeros onde o polinômio do numerador tem zeros (desde que a fração esteja escrita na forma irredutível), funções como $\sin (x)$, que têm infinitos zeros, não podem ser funções racionais.

Quais das alternativas a seguir são funções racionais?

$f(x) = 0$ $f(x) = \frac {3x+1}{x^2-4x+5}$ $f(x)=e^x$ $f(x)=\frac {\sin (x)}{\cos (x)}$ $f(x) = -4x^{-3}+5x^{-1}+7-18x^2$ $f(x) = x^{1/2}-x +8$ $f(x)=\frac {\sqrt {x}}{x^3-x}$

Todos os polinômios podem ser vistos como funções racionais.

2 Como podem ser os gráficos?

Há uma variedade razoavelmente grande nos gráficos das funções racionais.

Aqui vemos os gráficos de quatro funções racionais.

Associe as curvas $A$, $B$, $C$ e $D$ às funções \begin{align*} &\frac {x^2-3x+2}{x-2}, &&\frac {x^2-3x+2}{x+2}, \\ &\frac {x-2}{x^2-3x+2}, &&\frac {x+2}{x^2-3x+2}. \end{align*}

Considere $\frac {x^2-3x+2}{x-2}$. Essa função não está definida apenas em $x=2$. Entre as curvas que vemos acima, $\class{xm-given}{D}$ é a que não está definida exatamente em $x=2$.

Agora considere $\frac {x^2-3x+2}{x+2}$. Essa função não está definida apenas em $x=-2$. A única função acima que não está definida exatamente em $x=-2$ é a curva $\class{xm-given}{A}$.

Agora considere $\frac {x-2}{x^2-3x+2}$. Essa função não está definida nas raízes de \[ x^2-3x+2 = (x-2)(x-1). \] Logo, ela não está definida em $x=2$ e em $x=1$. Parece que tanto a curva $B$ quanto a curva $C$ serviriam. Distinguir entre essas duas curvas é bem fácil se calcularmos o valor da função em $x=-2$. Confira. \begin{align*} \eval {\frac {x-2}{x^2-3x+2}}_{x=-2} &= \frac {-2-2}{(-2)^2-3(-2)+2}\\ &= \frac {-4}{4+6+2}\\ &=\frac {-4}{12}. \end{align*}

Como esse valor é negativo, vemos que $\frac {x-2}{x^2-3x+2}$ corresponde à curva $\class{xm-given}{B}$.

Finalmente, só pode ser que a curva $\class{xm-given}{C}$ corresponda a $\frac {x+2}{x^2-3x+2}$. Vale observar que, se essa função for calculada em $x=-2$, a saída é zero, e isso confirma o nosso trabalho acima.