Apresentamos a notação de somatório (notação sigma).
1 A notação em si
A notação de somatório (ou notação sigma) é uma maneira de escrever
uma soma de muitos termos de forma concisa. Uma soma em notação de
somatório se parece com isto:
\[ \sum _{k=1}^{5} 3k \]
O \(\Sigma \) (sigma) indica que uma soma está sendo calculada. A variável \(k\) é
chamada de índice da soma. Os números acima e abaixo do \(\Sigma \) são
chamados de limites superior e inferior do somatório. Neste caso, o
limite superior é \(5\), e o limite inferior é \(1\). A notação significa que
tomamos cada valor inteiro de \(k\) entre \(1\) e \(5\) (ou seja, \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\)) e substituímos
cada um deles na fórmula do termo geral (aqui, essa fórmula é \(3k\)). Depois,
somamos todos esses valores. \[ \sum _{k=1}^{5} 3k= 3\cdot 1 + 3\cdot 2 + 3\cdot 3 + 3\cdot 4 + 3\cdot 5 = 45 \]
Escreva por extenso o que significa a expressão a seguir: \[ \sum _{k=0}^{3} \frac {1}{k+1} \]
Aqui, o índice \(k\)
assume os valores \(0\), \(1\), \(2\) e \(3\). Vamos substituir cada um deles em \(\frac {1}{k+1}\) e somar os
resultados. \[ \sum _{k=0}^3 \frac {1}{k+1} = \frac {1}{\class{xm-given}{0}+1} + \frac {1}{\class{xm-given}{1}+1} + \frac {1}{\class{xm-given}{2}+1} + \frac {1}{\class{xm-given}{3}+1} \]
Escreva por extenso o que significa a expressão a seguir: \[ \sum _{i=1}^{8} \left (-1\right )^i \]
Aqui, a
variável índice está escrita como \(i\) em vez de \(k\). Não há problema nisso. As
variáveis mais usadas como índice incluem \(i\), \(j\), \(k\), \(m\) e \(n\). \begin{align*} \sum _{i=1}^8 (-1)^i = (-1)^{\class{xm-given}{1}} &+ (-1)^{\class{xm-given}{2}} + (-1)^{\class{xm-given}{3}} + (-1)^{\class{xm-given}{4}} \\ &+ (-1)^{\class{xm-given}{5} }+ (-1)^{\class{xm-given}{6}} + (-1)^{\class{xm-given}{7}} + (-1)^{\class{xm-given}{8}} \end{align*}
Isso é igual a: \begin{align*} &= -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1\\ &= \class{xm-given}{0} \end{align*}
Tente uma por conta própria.
Escreva por extenso o que significa a
expressão a seguir (não é preciso simplificar): \[ \sum _{n=-1}^{4} \sqrt {n+1} =\sqrt {0}+\sqrt {\class{xm-given}{1}}+\sqrt {\class{xm-given}{2}}+\sqrt {\class{xm-given}{3}}+\sqrt {\class{xm-given}{4}}+\sqrt {\class{xm-given}{5}}\]
Vamos tentar fazer o caminho inverso.
Escreva a soma a seguir em
notação de somatório. \[ 2 + 4 + 6 + 8 + \ldots + 22 + 24 \]
Observe que podemos colocar um \(2\) em evidência
em cada termo para reescrever essa soma como \[ \class{xm-given}{2}\cdot 1 + \class{xm-given}{2} \cdot 2 + \class{xm-given}{2}\cdot 3 + \class{xm-given}{2} \cdot 4 + \ldots + \class{xm-given}{2}\cdot 11 + \class{xm-given}{2}\cdot 12 \] Isso significa
que estamos somando \(\class{xm-given}{2}\) vezes cada número entre \(1\) e \(12\). Se usarmos \(k\)
como índice, a notação de somatório pode ser \[ \sum _{k=1}^{12} \class{xm-given}{2k} \] Não é obrigatório
usar \(k\) como variável índice. Poderíamos muito bem ter usado \(m\)
ou \(j\) no lugar dela. \[ \sum _{k=1}^{12} 2k = \sum _{m=1}^{12} 2m = \sum _{j=1}^{12} 2j\] Observe que essas somas NÃO são iguais a \[ \sum _{k=1}^{12} 2m \]
Escreva a soma a seguir em notação de somatório. \[ 1 - \frac {1}{2} + \frac {1}{4} - \frac {1}{8} + \ldots - \frac {1}{64} + \frac {1}{128} \]
Esta é um pouco
mais complicada. Vamos nos preocupar com os sinais depois; primeiro,
cuidamos dos números em si. Você percebe algum padrão nos termos?
Claro: passamos de um termo para o seguinte dividindo por 2. Isto é:
\begin{align*} 1 &= \frac {1}{2^0} = \left (\frac {1}{2}\right )^0\\ \frac {1}{2} &= \frac {1}{2^1} = \left (\frac {1}{2}\right )^{1}\\ \frac {1}{4} &= \frac {1}{2^2} = \left (\frac {1}{2}\right )^{2}\\ &\vdots \\ \frac {1}{128} &= \frac {1}{2^7} = \left (\frac {1}{2}\right )^{7} \end{align*}
Se chamarmos nossa variável índice de \(k\), então \(k\) deve ir de \(0\) até \(\class{xm-given}{7}\), e os
números em si são simplesmente \(\left (\frac {1}{2}\right )^{\class{xm-given}{k}}\). Agora precisamos cuidar dos sinais.
Vimos acima que \((-1)^k\) alterna entre \(+1\) e \(-1\). Isso significa que, se multiplicarmos
os termos que acabamos de encontrar por \((-1)^k\), eles vão alternar entre \(+\) e \(-\).
Estamos começando com \(k=0\), então \((-1)^0 = +1\) nos dá a alternância começando com o
sinal que queremos. \[ \sum _{k=0}^{7} (-1)^k \left (\frac {1}{2}\right )^{k} = \sum _{k=0}^7 \left ( \class{xm-given}{\frac {-1}{2}} \right )^k \]
Queremos usar a notação de somatório para simplificar nossos cálculos.
Para isso, precisamos conhecer algumas somas básicas. Primeiro, vamos
falar da soma de uma constante. (Observe que, aqui, nosso limite
superior do somatório é \(n\). Neste caso, \(n\) não é a variável índice, mas sim o
maior valor que a variável índice vai assumir.) \[ \sum _{k=1}^n C = \underbrace {C+C+ \dots +C}_{\text {n termos}} \] Esta é uma soma de \(n\)
termos, cada um deles com valor \(C\). Isto é, estamos somando \(n\) cópias de \(C\).
Essa soma é simplesmente \(nC\). As outras somas básicas de que precisamos
são bem mais complicadas de deduzir. Em vez de explicar de onde elas
vêm, vamos apenas dar a você uma lista das fórmulas finais, que você
pode usar.
\(\sum _{k=1}^n C = nC\).
\(\sum _{k=1}^n k = \frac {n(n+1)}{2}\).
\(\sum _{k=1}^n k^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Agora que temos essa lista, vamos usá-la para calcular.
Determine o
valor da soma \(\sum _{k=1}^{5} 9\).
Esta é simplesmente a soma de uma constante, com \(C=\class{xm-given}{9}\) e \(n=\class{xm-given}{5}\).
O valor é \(nC=\class{xm-given}{45}\).
Determine o valor da soma \(\sum _{k=1}^{100} k\).
Esta é a soma \(1+2+3+ \ldots + 100\). De acordo com a Fórmula 2
acima (com \(n=\class{xm-given}{100}\)), ela vale \(\frac {\class{xm-given}{100}(\class{xm-given}{101})}{2} = \class{xm-given}{5050}\).
Como a notação de somatório é apenas uma nova maneira de escrever
uma adição, as propriedades usuais da adição continuam valendo, mas
algumas das mais importantes ficam com uma aparência um pouco
diferente.
\[ \sum _{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum _{k=1}^n a_k \]
Determine o valor da soma: \[ \sum _{k=1}^{10} \left (2k^2+5\right ) \]
Primeiro, usamos as propriedades acima
para separar isso em duas somas e, em seguida, colocamos o \(2\) em
evidência na primeira soma. \begin{align*} \sum _{k=1}^{10} \left (2k^2+5\right ) &= \sum _{k=1}^{10} 2k^2 + \sum _{k=1}^{10} 5\\ &= 2 \sum _{k=1}^{10} \class{xm-given}{k^2} + \sum _{k=1}^{10} 5 \end{align*}
As duas somas que restaram podem ser calculadas usando as fórmulas 1
e 3 acima! Vemos que: \[ \sum _{k=1}^{10} k^2 = \frac {\class{xm-given}{10}(\class{xm-given}{10}+1)(2\cdot \class{xm-given}{10}+1)}{6} = \class{xm-given}{385} \] Analogamente: \[ \sum _{k=1}^{10} 5 = \class{xm-given}{50} \] Juntando tudo isso, \(\sum _{k=1}^{10}\left (2k^2+5\right ) = 2 \cdot 385 + 50 = \class{xm-given}{820}\).
Determine o valor da soma: \[ \sum _{k=1}^{200} \left (-6k^2+3\right ) \]
Vamos usar a mesma abordagem do
exemplo anterior. Primeiro, usamos as propriedades para separar isso em
somas individuais e, em seguida, colocamos os coeficientes em evidência.
Depois disso, usamos as fórmulas acima para calcular o resultado.
\begin{align*} \sum _{k=1}^{200} \left (-6k^2+3\right ) &= \sum _{k=1}^{200} -6k^2 + \sum _{k=1}^{200}3\\ &= - 6 \sum _{k=1}^{200} \class{xm-given}{k^2} + \sum _{k=1}^{200}\class{xm-given}{3}\\ &= - 6 \left ( \frac {200(201)(401)}{6}\right ) + 200 \cdot 3\\ &= \class{xm-given}{-16119600} \end{align*}
Os números deste exemplo eram horrivelmente feios, mas conseguimos
calcular a soma sem precisar de fato calcular todos os 200 termos e
depois somá-los. Em \(4\) linhas curtas, conseguimos somar \(200\) números.
Tente uma por conta própria.
Determine o valor da soma \(\sum _{k=1}^{50} \left ( 4k^2-18k + 2(-1)^k \right )\) \[ \sum _{k=1}^{50} \left ( 4k^2 - 18k + 2(-1)^k \right ) = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}} \]