\(
\newenvironment {prompt}{}{}
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\newcommand {\R }[0]{\mathbb R}
\newcommand {\N }[0]{\mathbb N}
\newcommand {\Z }[0]{\mathbb Z}
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\newcommand {\d }[0]{\,d}
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\newcommand {\ddx }[0]{\frac {d}{\d x}}
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\newcommand {\zeroOverInfty }[0]{\ensuremath {\boldsymbol {\tfrac {0}{\infty }}}}
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\newcommand {\dfn }[0]{\textbf }
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\newcommand {\eval }[1]{\bigg [ #1 \bigg ]}
\newcommand {\seq }[1]{\left ( #1 \right )}
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\newcommand {\vec }[1]{{\overset {\boldsymbol {\rightharpoonup }}{\mathbf {#1}}}\hspace {0in}}
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\newcommand {\pt }[1]{\mathbf {#1}}
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\DeclareMathOperator {\proj }{\mathbf {proj}}
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\)
Aqui vemos um diálogo em que estudantes discutem como combinar limites com
operações aritméticas.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Riley, eu andei pensando em limites.
- Riley
- Que demais!
- Devyn
- Pense em \[ \lim _{x\to a} \left (f(x) + g(x)\right ). \] Esse é o número do qual \(f(x) + g(x)\) fica cada vez mais perto, à medida que \(x\) fica cada vez mais perto de \(a\).
- Riley
- Pode apostar!
- Devyn
- Então eu acho que isso é o mesmo que \[ \lim _{x\to a} f(x) + \lim _{x\to a}g(x). \]
- Riley
- É, isso faz sentido, porque quando você soma dois números, digamos \[ (\text {um número próximo de $6$}) + (\text {um número próximo de $7$}) \] você obtém \[ (\text {um número próximo de $13$}) \]
- Riley
- Isso! E eu acho que o mesmo raciocínio vai funcionar para a multiplicação! Então deveríamos poder dizer que \[ \lim _{x\to a}\left (f(x) \cdot g(x)\right ) = \left (\lim _{x\to a} f(x) \right )\cdot \left (\lim _{x\to a} g(x)\right ). \]
- Devyn
- Sim, acho que está certo! Mas e a divisão? Podemos usar um raciocínio parecido para concluir que \[ \lim _{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {\lim _{x\to a} f(x)}{\lim _{x\to a} g(x)}. \]
Dê um argumento (semelhante ao anterior) que apoie a ideia de que \[ \lim _{x\to a}\left (f(x) \cdot g(x)\right ) = \left (\lim _{x\to a} f(x) \right )\cdot \left (\lim _{x\to a} g(x)\right ). \]
Nos próximos problemas, usamos \(\text {grande}\) para representar números positivos grandes e \(\text {pequeno}\) para representar valores positivos pequenos, próximos de \(0\).
Usando o contexto acima, \[ \frac {\text {grande}}{\text {pequeno}} = ? \]
“grande” “pequeno” impossível dizer
Usando o contexto acima, \[ \frac {\text {pequeno}}{\text {pequeno}} = ? \]
“grande” “pequeno” impossível dizer