Aqui fazemos uma conexão entre o gráfico de uma função, sua derivada e suas
derivadas de ordem superior.
Dizemos que uma função \(f\) é crescente em um intervalo \(I\) se \(f(x_{1})<f(x_{2})\) para todos os pares de
números \(x_{1}\), \(x_{2}\) em \(I\) tais que \(x_{1}<x_{2}\). Dizemos que uma função \(f\) é decrescente em um intervalo \(I\) se \(f(x_{1})>f(x_{2})\) para todos os pares de
números \(x_{1}\), \(x_{2}\) em \(I\) tais que \(x_{1}<x_{2}\).
Quais das funções famosas a seguir são crescentes em \(\left (0,\frac {\pi }{2}\right )\)?
A
função \(\cos {(x)}\) não é crescente em \(I=\Bigl (0,\frac {\pi }{2}\Bigr )\), porque, se tomarmos um par de números em \(I\), digamos, \(x_{1}=\frac {\pi }{6}\)
e \(x_{2}=\frac {\pi }{3}\), então \(x_{1}<x_{2}\), mas \(f(x_{1})>f(x_{2})\), já que \(f(x_{1})=\cos {\Bigl (\frac {\pi }{6}\Bigr )}=\frac {\sqrt {3}}{2}\) e \(f(x_{2})=\cos {}\Bigl (\frac {\pi }{3}\Bigr )=\frac {1}{2}\).
Considere o gráfico da função \(f\) abaixo:
Em quais dos intervalos a seguir \(f\) é crescente?
A função \(f\) não é
crescente no intervalo \((-\infty ,b)\), porque, se escolhermos um par de números em \((-\infty ,b)\), digamos, \(x_{1}=a\) e \(x_{2}=0\),
então \(x_{1}<x_{2}\), mas \(f(x_{1})>f(x_{2})\).
Pense nas retas tangentes ao gráfico da função nos intervalos que você encontrou
nesta pergunta. Há algo que as inclinações de todas essas retas tangentes têm em
comum? Todas são POSITIVAS! Olhe para o intervalo \((a,b)\). Nesse intervalo, as
inclinações das retas tangentes são todas NEGATIVAS. Percebeu que as
inclinações positivas apareceram quando a função era crescente e as inclinações
negativas apareceram quando a função era decrescente? Isso não foi por
acaso.
Como a derivada nos dá uma fórmula para a inclinação da reta tangente a
uma curva, podemos obter informações sobre uma função apenas a partir
do sinal da derivada. Em particular, temos o seguinte teorema
Teste de
crescimento/decrescimento Uma função \(f\) é crescente em qualquer intervalo \(I\) em que \(f'(x)>0\)
para todo \(x\) em \(I\). Uma função \(f\) é decrescente em qualquer intervalo \(I\) em que \(f'(x)<0\) para todo \(x\) em
\(I\).
Abaixo esboçamos o gráfico de \(y=f(x)\):
A primeira derivada é positiva ou negativa no intervalo \(-1<x<1/2\)?
Positiva Negativa
Abaixo esboçamos o gráfico de \(y=f'(x)\):
A função \(f\) é crescente ou decrescente no intervalo \(-1<x<0\)?
Crescente Decrescente
Pelo gráfico de \(f'\) podemos ver que \(f'(x)>0\) para todo \(x\) em \((-1,0)\). Então, o teorema acima implica
que a função \(f\) é crescente nesse intervalo.
Chamamos a derivada da derivada de segunda derivada, a derivada da segunda
derivada (a derivada da derivada da derivada) de terceira derivada, e assim por
diante. Temos uma notação especial para as derivadas de ordem superior,
confira:
Primeira derivada:
\(\ddx f(x) = f'(x) = f^{(1)}(x)\).
Segunda derivada:
\(\dd [~^2]{x^2} f(x) = f''(x) = f^{(2)}(x)\).
Terceira derivada:
\(\dd [~^3]{x^3} f(x) = f'''(x) = f^{(3)}(x)\).
Usamos os fatos acima em nosso próximo exemplo.
Aqui temos os gráficos, sem rótulos, de \(f\), \(f'\) e \(f''\):
Identifique cada curva acima como o gráfico de \(f\), \(f'\) ou \(f''\).
Aqui vemos três curvas, \(A\), \(B\) e \(C\).
Como \(A\) é positiva negativa crescente decrescente quando \(B\) é positiva e positivanegativacrescentedecrescente quando \(B\) é negativa, vemos que \[ A'=B. \] Como \(B\) é
crescente quando \(C\) é positivanegativacrescente decrescente e decrescente
quando \(C\) é positivanegativacrescentedecrescente, vemos que \[ B'=C. \] Logo, \(f=A\), \(f'=B\) e \(f''=C\).
Aqui temos os gráficos, sem rótulos, de \(f\), \(f'\) e \(f''\):
Identifique cada curva acima como o gráfico de \(f\), \(f'\) ou \(f''\).
Aqui vemos três curvas, \(A\), \(B\) e \(C\).
Como \(B\) é positivanegativacrescentedecrescente quando \(A\) é positiva e positivanegativacrescentedecrescente quando \(A\) é negativa, vemos que \[ B'=A. \] Como \(A\) é
crescente quando \(C\) é positivanegativacrescentedecrescente e decrescente
quando \(C\) é positivanegativacrescentedecrescente, vemos que \[ A'=C. \] Logo, \(f=\class{xm-given}{B}\), \(f'=\class{xm-given}{A}\) e \(f''=\class{xm-given}{C}\).
Aqui temos os gráficos, sem rótulos, de \(f\), \(f'\) e \(f''\):
Identifique cada curva acima como o gráfico de \(f\), \(f'\) ou \(f''\).
Aqui vemos três curvas, \(A\), \(B\) e \(C\).
Como \(C\) é positivanegativacrescentedecrescente quando \(B\) é positiva e positivanegativacrescentedecrescente quando \(B\) é negativa, vemos que \[ C'=B. \] Como \(B\) é
crescente quando \(A\) é positivanegativacrescentedecrescente e decrescente
quando \(A\) é positivanegativacrescentedecrescente, vemos que \[ B'=A. \] Logo, \(f=\class{xm-given}{C}\), \(f'=\class{xm-given}{B}\) e \(f''=\class{xm-given}{A}\).
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