Derivação logarítmica

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Usamos logaritmos para nos ajudar a derivar.

Os logaritmos foram desenvolvidos originalmente como uma ferramenta de cálculo, principalmente por causa de sua famosa propriedade: \[ \log _b(xy) = \log _b(x)+\log _b(y). \]

Antes da época das calculadoras e dos computadores, esse era um conhecimento essencial para qualquer pessoa que trabalhasse com cálculos.

Calcule $138\cdot 23.4$ usando logaritmos.

Comece escrevendo os dois números em notação científica \[ \left (1.38\cdot 10^{2}\right )\cdot \left (2.34 \cdot 10^{1}\right ). \] Em seguida, usamos uma tábua de logaritmos, que fornece $\log _{10}(N)$ para valores de $N$ entre $0$ e $9$. Reproduzimos abaixo parte de uma tábua desse tipo.

Pela tábua, vemos que \[ \log _{10}(1.38) \approx 0.1399\qquad \text {e}\qquad \log _{10}(2.34)\approx 0.3692 \] Somando esses números, obtemos $0.5091$. Essencialmente, neste ponto sabemos o seguinte:

[Picture]

Usando a tábua novamente, vemos que $\log _{10}(3.23)\approx 0.5091$. Como estávamos trabalhando em notação científica, precisamos multiplicar isso por $10^3$. Nossa resposta final é \[ 3230 \approx 138\cdot 23.4 \] Como $138\cdot 23.4 = 3229.2$, essa é uma boa aproximação.

A moral da história é:

Os logaritmos nos permitem usar adição no lugar de multiplicação.

1 Derivação logarítmica

Ao calcular derivadas, tanto a regra do produto quanto a regra do quociente podem ser trabalhosas de usar. Os logaritmos vão salvar o dia. Um ponto-chave é o seguinte: \[ \ddx \ln (f(x)) = \frac {1}{f(x)}\cdot f'(x) = \frac {f'(x)}{f(x)} \] que segue da regra da cadeia. Vamos ver um exemplo ilustrativo para entender como isso é usado na prática.

Calcule: \[ \ddx \frac {x^9e^{4x}}{\sqrt {x-4}} \]

Lembre-se das propriedades dos logaritmos:

$\log _b(xy) = \log _b(x) + \log _b(y)$
$\log _b(x/y) = \log _b(x) - \log _b(y)$
$\log _b(x^y) = y\log _b(x)$

Embora pudéssemos usar a regra do produto e a regra do quociente para resolver este problema, seria tedioso. Comece tomando o logaritmo da função a ser derivada. \begin{align*} \ln \left (\frac {x^9e^{4x}}{\sqrt {x-4}} \right ) &= \ln \left (\class{xm-given}{x^9e^{4x}}\right ) - \ln \left (\class{xm-given}{\sqrt {x-4}}\right )\\ &= \ln \left (x^9\right )+\ln \left (e^{4x}\right ) - \ln \left ((x-4)^{1/2}\right )\\ &= \class{xm-given}{9}\ln (x)+4x - \class{xm-given}{\frac {1}{2}}\ln (x-4). \end{align*}

Fazendo $f(x) = \frac {x^9e^{4x}}{\sqrt {x-4}}$, podemos escrever \[ \ln (f(x)) = 9\ln (x)+4x - \frac {1}{2}\ln (x-4).\] Derivando ambos os lados, encontramos \[ \frac {f'(x)}{f(x)} = \class{xm-given}{\frac {9}{x}+4} - \frac {1}{2(x-4)}.\] Por fim, isolamos $f'(x)$ e escrevemos \[f'(x) = \left (\frac {9}{x}+4 - \frac {1}{2(x-4)}\right )\left (\class{xm-given}{\frac {x^9e^{4x}}{\sqrt {x-4}}}\right ). \]

O processo acima é chamado de derivação logarítmica. Ele começa tomando o logaritmo natural da função e, em seguida, usa as propriedades dos logaritmos para simplificar. A derivação logarítmica também nos permite calcular derivadas novas.

Para $x>0$, calcule: \[ \ddx x^x \]

A função $x^x$ é complicada de derivar. Não podemos usar a regra da potência, pois o expoente não é uma constante; a função também não é uma função exponencial, já que a base não é uma constante. Porém, se fizermos $f(x) = x^x$, podemos escrever \begin{align*} \ln (f(x)) &= \ln \left (x^x\right )\\ &=x\ln (x). \end{align*}

Derivando ambos os lados, encontramos \[ \frac {f'(x)}{f(x)} = \class{xm-given}{1 + \ln (x)}. \] Agora podemos isolar $f'(x)$, \[ f'(x) = x^x + x^x\ln (x). \]

Outra maneira: podemos escrever \[ x^x= e^{\ln (x^x)}=e^{x\ln (x)}. \] Portanto, \[ \ddx x^x=\ddx e^{x\ln (x)}=e^{x\ln (x)}\left (\ln (x)+1\right ), \] pela regra da cadeia e pela regra do produto.

Agora, segue que \[ \ddx x^x=x^x\left (\class{xm-given}{\ln (x)+1}\right ). \]

A função do exemplo anterior, $x^x$, é um tipo de função que chamamos de função torre. Funções torre são funções escritas como $f(x)^{g(x)}$, uma exponencial em que tanto a base quanto o expoente dependem da variável. A derivação logarítmica é um método para derivar uma função torre. No entanto, também podemos escrever \[ f(x)^{g(x)} = e^{\ln \left ( f(x)^{g(x)} \right )} = e^{g(x)\ln ( f(x) ) }. \] Reescrevendo dessa forma, podemos derivar funções torre usando a regra da cadeia e a regra do produto. No exemplo anterior, a derivada de $x^x$ foi calculada pelos dois métodos. Vamos derivar mais uma função torre usando os dois métodos.

Calcule a derivada de $f(x) = x^{\cos (x)}$ de duas maneiras: por derivação logarítmica e usando a regra da cadeia e a regra do produto.

Começamos com o método da derivação logarítmica. \begin{align*} \ln ( f(x) ) &= \ln \left ( x^{\cos (x)} \right ) \\ &= \cos (x) \ln (x) \end{align*}

Derivando ambos os lados, obtemos: \begin{align*} \dfrac {f'(x)}{f(x)} &= -\sin (x)\ln (x) + \dfrac {\cos (x)}{x} \\ f'(x) &= f(x)\left ( -\sin (x)\ln (x) + \dfrac {\cos (x)}{x}\right )\\ &= x^{\cos (x)} \left ( -\sin (x)\ln (x) + \dfrac {\cos (x)}{x}\right ) \end{align*}

Vamos derivar $f$ mais uma vez, mas agora usando a regra da cadeia e a regra do produto. Começamos reescrevendo a função torre como uma exponencial de base constante $e$. \[ f(x) = x^{\cos (x)} = e^{\ln \left (x^{\cos (x)} \right )} = e^{\cos (x) \ln (x)} \] Usando a regra da cadeia, encontramos: \begin{align*} f'(x) &= e^{\cos (x)\ln (x)}\left ( \cos (x)\ln (x)\right )'\\ &= e^{\cos (x)\ln (x)}\left ( -\sin (x) \ln (x) + \dfrac {\cos (x)}{x}\right ) \end{align*}

Reescrevendo $e^{\cos (x)\ln (x)}$ como $x^{\cos (x)}$, vemos que os dois métodos deram a mesma derivada $f'$.

Calcule: \[ \ddx \ln {(|x|)} \]

A função $|x|$ é uma função definida por partes. Se $x>0$, \begin{align*} \ddx \ln {(|x|)} &= \ddx \ln {(\class{xm-given}{x})}\\ &=\frac {1}{\class{xm-given}{x}}. \end{align*}

A função $\ln {(|x|)}$ não está definida em $x=0$. Se $x<0$, \begin{align*} \ddx \ln {(|x|)} &= \ddx \ln {(\class{xm-given}{-x})}\\ &=\frac {-1}{\class{xm-given}{-x}}\\ &=\class{xm-given}{\frac {1}{x}}. \end{align*}

O próximo exemplo será útil quando quisermos usar a derivação logarítmica para funções que assumem valores negativos.

Calcule: \[ \ddx \ln {(|f(x)|)} \]

Pelo exemplo anterior e pela regra da cadeia, \begin{align*} \ddx \ln {(|f(x)|)} &=\class{xm-given}{\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x).\\ &=\frac {f'(x)}{\class{xm-given}{f(x)}} \end{align*}

Calcule: \[ \ddx \left ( 6\sin ^2(x) + 3(x^2+1)^x(\cos (2x) + 3)^5\right ) \]

Observe que a função aqui é a soma de dois termos. As propriedades dos logaritmos listadas acima mostram que logaritmos de produtos podem ser simplificados, mas logaritmos de somas não. Em vez de tentar a derivação logarítmica, vamos usar a regra da soma para derivadas e derivar cada termo separadamente.

Chame $f(x) = 6\sin ^2(x) + 3(x^2+1)^x(\cos (2x) + 3)^5$, e os termos individuais de $g(x) = 6\sin ^2(x)$ e $h(x) = 3(x^2+1)^x(\cos (2x) + 3)^5$. Isso significa que $f(x) = g(x) + h(x)$. A regra da soma diz que $\ddx f(x) = \ddx g(x) + \ddx h(x)$, então derivamos cada termo separadamente.

Para calcular $g'(x)$, usamos a regra da cadeia: \[ g'(x) = 12\sin (x)\cos (x). \]

Para calcular $h'(x)$, usamos a derivação logarítmica (como $h(x)$ é um produto de fatores, cada um deles elevado a uma potência, os logaritmos vão ajudar a simplificar isso). \begin{align*} \ln ( h(x) ) &= \ln \left ( 3(x^2+1)^x(\cos (2x) + 3)^5 \right ) \\ &= \ln \left ( 3\right ) + \ln \left ((x^2+1)^x\right ) + \ln \left ( (\cos (2x) + 3)^5 \right ) \\ &= \ln \left ( 3\right ) + x \ln (x^2+1) + 5 \ln (\cos (2x) + 3) \end{align*}

Então \[ \ddx \ln ( h(x) ) = \ddx \left ( \ln \left ( 3\right ) + x \ln (x^2+1) + 5 \ln (\cos (2x) + 3) \right ) \] que calculamos como: \begin{align*} \dfrac {h'(x)}{h(x)} &= 0 + \left ( 1\cdot \ln (x^2+1) + x\cdot \dfrac {2x}{x^2+1}\right ) + 5 \cdot \dfrac {-2\sin (2x)}{\cos (2x)+3}\\ &= \ln (x^2+1) + \dfrac {2x^2}{x^2+1} -10 \dfrac {\sin (2x)}{\cos (2x)+3}\\ h'(x) &= h(x)\left (\ln (x^2+1) + \dfrac {2x^2}{x^2+1} -10 \dfrac {\sin (2x)}{\cos (2x)+3}\right )\\ &= \left (3(x^2+1)^x(\cos (2x) + 3)^5\right )\left (\ln (x^2+1) + \dfrac {2x^2}{x^2+1} -10 \dfrac {\sin (2x)}{\cos (2x)+3}\right ) \end{align*}

A derivada da função inteira é $f'(x) = g'(x) + h'(x)$: \begin{align*} &12\sin (x)\cos (x) + \\ &\left (3(x^2+1)^x(\cos (2x) + 3)^5\right )\left (\ln (x^2+1) + \dfrac {2x^2}{x^2+1} -10 \dfrac {\sin (2x)}{\cos (2x)+3}\right ). \end{align*}

2 Demonstração da regra da potência

Por fim, lembre-se de que, anteriormente, só demonstramos a regra da potência para expoentes inteiros positivos. Agora vamos usar a derivação logarítmica para dar uma demonstração para todos os expoentes reais. Reenunciamos a regra da potência por conveniência:

Regra da potência Para qualquer número real $n$, \[ \ddx x^n = n x^{n-1}. \]

Vamos usar a derivação logarítmica. Faça $f(x) = x^n$. Escreva \begin{align*} \ln (|f(x)|) &= \ln \left (|x|^n\right ) , x\ne 0\\ &= n\ln (|x|). \end{align*}

Agora derive ambos os lados e isole $f'(x)$ \begin{align*} \frac {f'(x)}{f(x)} &= \frac {n}{x}\\ f'(x) &=\frac {n f(x)}{x}\\ &= \class{xm-given}{n x^{n-1}}. \end{align*}

Sempre que $x=0$ está no domínio de $f$, a definição de derivada em $x=0$ implica que $f'(0)=0$, se $n\ne 1$, e $f'(0)=1$, se $n=1$, de modo que a regra da potência vale também em $x=0$.

Assim, vemos que a regra da potência vale para todos os expoentes reais (não nulos).

Embora a derivação logarítmica possa parecer estranha e nova no começo, com um pouco de prática ela vai parecer muito mais natural para você.