Sim. \(P' = 2\cdot \pi \cdot r'\) e \(A' = \pi (r')^2\). Não. Embora \(P' = 2\cdot \pi \cdot r'\), \(A' \ne \pi (r')^2\). Não. Embora \(A' = \pi (r')^2\), \(P' \ne 2\cdot \pi \cdot r'\). Não. \(P' \ne 2\cdot \pi \cdot r'\) e \(A' \ne \pi (r')^2\). Não há como saber.
\(
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\)
Dois jovens matemáticos discutem um círculo que está mudando.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Riley, eu estava pensando sobre cálculo.
- Riley
- YOLO.
- Devyn
- Considere um círculo de raio \(r\).
- Riley
- Ha! De que outro jeito a gente chamaria o “raio?”
- Devyn
- Exatamente. Agora, qual é a fórmula do perímetro de um círculo?
- Riley
- \(P=2\cdot \pi \cdot r\), moleza.
- Devyn
- E a área?
- Riley
- Você sabe que é \(A=\pi \cdot r^2\).
- Devyn
- Certo, mas é isto que está me incomodando: se eu conheço \(r'\), quanto vale \(P'\)? E \(A'\)?
- Riley
- Oooh. Ai. Hmmm. Eu quero dizer que é \[ P' = 2\cdot \pi \cdot r' \qquad \text {e}\qquad A' = \pi (r')^2 \] mas não tenho certeza de que isso esteja certo.
- Devyn
- Pois é…eu também. Mas também não tenho certeza de que esteja certo. Será que estamos esquecendo alguma coisa?
Você acha que nossos jovens matemáticos acima estão certos?
Tome \(r(t)=3\cdot t\). Quanto vale \(r'(t)\) quando \(r=15\)? \(r'(t)=\class{xm-given}{3}\)
Tome \(r=3\cdot t\). Agora \(P(t) = 2\cdot \pi \cdot 3\cdot t\). Quanto vale \(P'(t)\) quando \(r=15\)? \(P'(t)=\class{xm-given}{2\cdot \pi \cdot 3}\)
Descreva o que \(P'\) significa neste contexto.
Tome \(r=3\cdot t\). Agora \(A(t) = \pi \cdot (3\cdot t)^2\). Quanto vale \(A'(t)\) quando \(r=15\)? \(A'(t)=\class{xm-given}{2\cdot \pi \cdot 15\cdot 3}\)
Descreva o que \(A'\) significa neste contexto. Faz sentido que \(A'\) seja positiva?