\(
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\)
Dois jovens matemáticos pensam sobre derivadas e logaritmos.
Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):
- Devyn
- Riley, por que a regra do produto é tão mais difícil do que a regra da soma?
- Riley
- Desde a segunda série eu sei que multiplicação é mais difícil do que adição.
- Devyn
- Eu sei! Eu li em algum lugar que uma régua de cálculo, de algum jeito, transforma “multiplicação em adição.”
- Riley
- Uau! Como será que isso funciona?
- Devyn
- Eu acho que tem alguma coisa a ver com logaritmos?
- Riley
- O quê? Como é que isso funciona?
Devyn tem razão: os logaritmos são usados (e foram inventados) para converter problemas difíceis de multiplicação em problemas mais simples de adição.
Seja \(f(x) = \sqrt {x} \cos (x) \cdot e^x\). Calcule \[ \ddx f(x)\begin{prompt} = \class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-1}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Agora, vamos ver o que acontece se fizermos o mesmo problema, mas tomando primeiro o logaritmo natural de ambos os lados: \begin{align*} f(x) &= \sqrt {x}\cdot \cos (x)\cdot e^x\\ \ln (f(x)) &= \ln ( \sqrt {x}\cdot \cos (x)\cdot e^x)\\ \ln (f(x)) &=\frac {1}{2}\ln {(x)} + \ln (\cos (x)) + \ln (e^x) \end{align*}
Agora vamos derivar ambos os lados da equação. Pela regra da cadeia, \[ \ddx \ln (f(x))= \frac {f'(x)}{f(x)} \]
Calcule \[ \ddx \ln (x) \begin{prompt}=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-2}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Calcule \[ \ddx \ln (\cos (x)) \begin{prompt}=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-3}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Calcule \[ \ddx \ln (e^x) \begin{prompt}=\class{xm-answer}{\cssId{xm-answer-4}{\phantom{\rule{7em}{1.5em}}}}\end{prompt} \]
Assim, temos \begin{align*} \frac {f'(x)}{f(x)} &= \frac {1}{2x} - \frac {\sin (x)}{\cos (x)} + 1\\ f'(x) &= f(x) \left (\frac {1}{2x} - \frac {\sin (x)}{\cos (x)} + 1\right )\\ &= \sqrt {x}\cos (x)e^x\left (\frac {1}{2x} - \frac {\sin (x)}{\cos (x)} + 1\right ) \end{align*}