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Dois jovens matemáticos discutem como esboçar os gráficos de funções.

Confira este diálogo entre dois estudantes de cálculo (baseado em uma história real):

Devyn
Riley, beleza, eu sei esboçar o gráfico de algo quando me dão uma descrição.
Riley
Sim, é até divertido, né?
Devyn
Eu sei! Mas agora não tenho certeza de como obter as informações de que preciso.
Riley
Sabe, eu gostaria de montar um procedimento baseado em todos esses fatos, que me dissesse como seria o gráfico de qualquer função.
Devyn
Eu também! Vamos ao trabalho!
Abaixo está uma lista de características do gráfico de uma função.

  1. Determine os pontos \(x=a\) onde \(f(x)\) vai para o infinito quando \(x\) tende a \(a\) (pela direita, pela esquerda ou por ambos os lados). Esses são os pontos onde \(f\) tem uma assíntota vertical.

  2. Determine os pontos críticos (os pontos onde \(f'(x) = 0\) ou \(f'(x)\) não está definida).

  3. Identifique os pontos de inflexão e a concavidade.

  4. Determine um intervalo que mostre todo o comportamento relevante.

  5. Determine a interseção com o eixo \(y\), que é o ponto \((0,f(0))\). Marque esse ponto no seu gráfico.

  6. Determine os candidatos a pontos de inflexão, os pontos onde \(f''(x) = 0\) ou \(f''(x)\) não está definida.

  7. Se possível, determine as interseções com o eixo \(x\), os pontos onde \(f(x) = 0\). Marque esses pontos no seu gráfico.

  8. Calcule \(f'\) e \(f''\).

  9. Analise o comportamento no infinito: quando \(x \to \pm \infty \), o que acontece com o gráfico de \(f\)? Ele tem assíntotas horizontais, cresce ou decresce ilimitadamente, ou tem algum outro tipo de comportamento?

Use o teste da primeira ou da segunda derivada para identificar os extremos locais e/ou determinar os intervalos em que sua função é crescente/decrescente. Em que ordem devemos executar esses passos? Por exemplo, é preciso calcular \(f'\) antes de calcular \(f''\). Além disso, é preciso calcular \(f'\) antes de determinar os pontos críticos. Há mais de uma resposta correta.
Aqui está uma resposta possível para essa pergunta. Compare-a com a sua!

  1. Determine a interseção com o eixo \(y\), que é o ponto \((0,f(0))\). Marque esse ponto no seu gráfico.

  2. Determine as assíntotas verticais, se houver; elas são os pontos \(x=a\) onde \(f(x)\) vai para o infinito quando \(x\) tende a \(a\) (pela direita, pela esquerda ou por ambos os lados).

  3. Se possível, determine as interseções com o eixo \(x\), os pontos onde \(f(x) = 0\). Marque esses pontos no seu gráfico.

  4. Analise o comportamento no infinito: quando \(x \to \pm \infty \), o que acontece com o gráfico de \(f\)? Ele tem assíntotas horizontais, cresce ou decresce ilimitadamente, ou tem algum outro tipo de comportamento?

  5. Calcule \(f'(x)\) e \(f''(x)\).

  6. Determine os pontos críticos (os pontos onde \(f'(x) = 0\) ou \(f'(x)\) não está definida).

  7. Use o teste da primeira ou da segunda derivada para identificar os extremos locais e/ou determinar os intervalos em que sua função é crescente/decrescente.

  8. Determine os candidatos a pontos de inflexão, os pontos onde \(f''(x) = 0\) ou \(f''(x)\) não está definida.

  9. Identifique os pontos de inflexão e a concavidade.

  10. Determine um intervalo que mostre todo o comportamento relevante